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人教版高数必修二第6讲:空间中的垂直关系(教师版)

空间中的垂直关系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解空间中三种垂直关系的定义;掌握空间中三种垂直关系判定及性质;用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题.一、直线与平面垂直1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点,并且交角为直角,则称这两条直线互垂直.2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O,并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面互相垂直,记作AB⊥α,直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足.垂线上任一点到垂足间的线段,叫做这点到这个平面的垂线段.垂线段的长度叫做这点到平面的距离3.直线和平面垂直的判定4.(1)判定定理:如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.符号语言:l⊥a,l⊥b,a∩b=A,a⊂α,b⊂α⇒l⊥α,如图:(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面.符号语言:a∥b,a⊥α⇒b⊥α,如图:5.直线与平面垂直的性质(1)性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.符号语言:a⊥α,b⊥α⇒a∥b,如图:(2)一条直线垂直于一个平面,它就和平面内的任意一条直线垂直.符号语言:a⊥α,b⊂α⇒a⊥b,如图:6.设P是三角形ABC所在平面α外一点,O是P在α内的射影(1)若PA=PB=PC,则O为△ABC的外心.特别地当∠C=90°时,O为斜边AB中点.(2)若PA、PB、PC两两垂直,则O为△ABC的垂心.(3)若P到△ABC三边距离相等,则O为△ABC的内心.7.(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.二、直线和平面平行1.平面与平面垂直的定义:如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直.平面α、β互相垂直,记作α⊥β.2.两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.符号表示:a⊥α,a⊂β⇒α⊥β,如图:3.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线,垂直于另一个平面.符号表示:α⊥β,α∩β=CD,BA⊂α,BA⊥CD,B为垂足⇒BA⊥β,如图:推论:如果两个平面垂直,那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.类型一线面垂直例1:如图,直角△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.解析:由于D是AC中点,SA=SC,∴SD是△SAC的高,连接BD,可证△SDB≌△SDA.由AB=BC,则Rt△ABC是等腰直角三角形,则BD⊥AC,利用线面垂直的判定定理即可得证.答案:(1)∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.在Rt△ABC中,连接BD,则AD=DC=BD,又∵SB=SA,SD=SD,∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD=D,∴SD⊥面ABC.(2)∵BA=BC,D为AC中点,∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥面ABC,∴SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线,∴BD⊥平面SAC.练习1:((2014·河南南阳一中高一月考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱P A⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PC的中点,P A=AD.求证:EF⊥平面PCD.答案:如图,取PD的中点H,连接AH、HF.∴FH 12 CD,∴FH AE,∴四边形AEFH是平行四边形,∴AH∥EF. ∵底面ABCD是矩形,∴CD⊥AD.又∵PA⊥底面ABCD,∴PA ⊥CD ,PA ∩AD =A , ∴CD ⊥平面PAD .又∵AH ⊂平面PAD ,∴CD ⊥AH .又∵PA =AD ,∴AH ⊥PD ,PD ∩CD =D , ∴AH ⊥平面PCD ,又∵AH ∥EF ,∴EF ⊥平面PCD .练习2:如右图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为1DD 的中点,O 为ABCD 的中心, 求证:1B O ⊥平面PAC 答案:连结111,,PO PB B D ,由正方体的性质可知,1,AC BD AC BB ⊥⊥,且1BD BB B =I ∴AC ⊥面11BDD B 又∵BO ⊂面11BDD B ∴1B O AC ⊥ 设AB a =,则11121,2,2OB OD a B D a PD PD a ===== ∵2222222222221113113,22424OB OB BB a a a OP PD DO a a a =+=+==+=+= 222222111119244PB B D PD a a a =+=+=∴2221OB PO PB += ∴1B O PO ⊥ ∵PO AC O =I∴1B O ⊥平面PAC练习3:在如右图,在空间四边形ABCD 中,,AB AD BC CD ==, 求证:AC BD ⊥答案:设E 为BD 的中点,连结,AE EC∵AB AD = ∴BD AE ⊥ 同理可证:BD EC ⊥又∵AE EC E =I ∴BD ⊥面AEC∵AE ⊂面AEC ∴BD AC ⊥例2:如图在△ABC 中,∠B =90°,SA ⊥平面ABC , 点A 在SB 和SC 上的射影分别是N 、M ,求证:MN ⊥SC .解析:根据直线平面垂直的性质,找到所求垂直的线段中的 一条与另一条所在的平面垂直,即可证明这两条线段互相垂直. 答案:证明:∵SA ⊥平面ABC , ∴SA ⊥BC ,又∠ABC =90°, ∴BC ⊥AB ,∴BC ⊥平面SAB , ∴AN ⊥BC ,又AN ⊥SB ,∴AN ⊥平面SBC ,E ABCDOP D 1C 1B 1A 1DCBA∴AN ⊥SC ,又AM ⊥SC , ∴SC ⊥平面AMN , ∴MN ⊥SC .练习1:如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为A 1D 、AC 上的点,且EF ⊥A 1D ,EF ⊥AC .求证:EF ∥BD 1. 答案:如图所示,连接A 1C 1、C 1D 、BD 、B 1D 1. 由于AC ∥A 1C 1,EF ⊥AC ,∴EF ⊥A 1C 1. 又EF ⊥A 1D ,A 1D ∩A 1C 1=A 1, ∴EF ⊥平面A 1C 1D . ∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1, ∴BB 1⊥A 1C 1.又∵四边形A 1B 1C 1D 1为正方形,∴A 1C 1⊥B 1D 1. ∵BB 1∩B 1D 1=B 1,∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1D . 而BD 1⊂平面BB 1D 1D ,∴BD 1⊥A 1C 1. 同理,DC 1⊥BD 1,DC 1∩A 1C 1=C 1, ∴BD 1⊥平面A 1C 1D . 由①②可知EF ∥BD 1.练习2:在空间中,下列命题:①平行于同一条直线的两条直线平行;②垂直与同一直线的两条直线平行;③平行与同一平面的两条直线平行;④垂直于同一平面的两条直线平行.其中正确的由___. 答案:①④练习3:已知,,a b c 及平面β,则下列命题正确的是( )A 、////a a b b ββ⎫⇒⎬⊂⎭B 、a a b b ββ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭C 、//a c a b b c ⊥⎫⇒⎬⊥⎭D 、//a a b b ββ⊂⎫⇒⎬⊂⎭ 答案:B例3:如图,在底面为直角梯形的四棱锥P -ABCD 中,AD ∥BC , ∠ABC =90°,PA ⊥平面ABCD ,PA =3,AD =2,AB =23,BC =6.求证:BD ⊥平面PAC .解析:通过计算得到直角,进而得到垂直. 答案:∵PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,∴BD ⊥PA .∵∠BAD 和∠ABC 都是直角,∴tan ∠ABD =AD AB =33,tan ∠BAC =BCAB=3, ∴∠ABD =30°,∠BAC =60°.∴∠AEB =90°,即BD ⊥AC , 又PA ∩AC =A ,∴BD ⊥平面PAC .练习1:在正方体中ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P 为DD 1的中点, O 为底面ABCD 的中心.求证:B 1O ⊥平面PAC . 答案:如图所示,连接AB 1、CB 1、B 1D 1、PB 1、PO .设AB =a ,则AB 1=CB 1=B 1D 1=2a ,AO =OC =22a , ∴B 1O ⊥AC .∵B 1O 2=OB 2+BB 21=⎝⎛⎭⎪⎫22a 2+a 2=32a 2,PB 21=PD 21+B 1D 21=⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2+(2a )2=94a 2,OP 2=PD 2+DO 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫12a +⎝⎛⎭⎪⎫22a 2=34a 2,∴B 1O 2+OP 2=PB 21,∴B 1O ⊥OP . 又PO ∩AC =O ,∴B 1O ⊥平面PAC . 练习2:如图,若测得旗杆PO =4,P A =PB =5,OA =OB =3,则旗杆PO 和地面α的关系是________.答案:∵PO =4,OA =OB =3,P A =PB =5,∴PO 2+AO 2=P A 2,PO 2+OB 2=PB 2, ∴PO ⊥OA ,PO ⊥OB .又OA ∩OB =O ,∴PO ⊥平面AOB ,∴PO ⊥地面α.类型二平面与平面垂直例4:(2014·山东临沂高一期末测试)如图,在底面为正三角形的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,点D 是BC 的中点,求证:平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1.解析:运用平面垂直的判定.答案:∵△ABC 为正三角形,D 为BC 的中点,∴AD ⊥BC .又∵CC 1⊥底面ABC ,AD ⊂平面ABC , ∴CC 1⊥AD .又BC ∩CC 1=C , ∴AD ⊥平面BCC 1B 1. 又AD ⊂平面AC 1D ,∴平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1.练习1:三棱锥S -ABC 中,∠BSC =90°,∠ASB =60°,∠ASC =60°,SA =SB =SC . 求证:平面ABC ⊥平面SBC .答案:解法一:取BC 的中点D ,连接AD 、SD .由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角形,则AB =AC . ∴AD ⊥BC ,SD ⊥BC .令SA =a ,在△SBC 中,SD =22a , 又∵AD =AC 2-CD 2=22a ,∴AD 2+SD 2=SA 2. 即AD ⊥SD .又∵AD ⊥BC ,∴AD ⊥平面SBC . ∵AD ⊂平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面SBC .解法二:∵SA =SB =SC =a , 又∵∠ASB =∠ASC =60°,∴△ASB 、△ASC 都是等边三角形. ∴AB =AC =a .作AD ⊥平面SBC 于点D ,∵AB =AC =AS ,∴D 为△SBC 的外心. 又∵△BSC 是以BC 为斜边的直角三角形, ∴D 为BC 的中点,故AD ⊂平面ABC . ∴平面ABC ⊥平面SBC .练习2:如右图,在四面体ABCD 中,2,BD a AB AD CB CD a =====.求证:平面ABD ⊥平面BCD . 答案:取BD 的中点E ,连结,AE EC∵AB AD = ∴AE BD ⊥同理CE BD ⊥ 在△ABD 中,12,2AB a BE BD a === ∴2222AE AB BE a =-=同理22CE a = 在△AEC 中,2,2AE CE a AC a ===∴222AC AE CE =+ ∴AE CE ⊥ ∵BD CE E =I ∴AE ⊥平面BCD ∵AE ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面BCD 练习3:空间四边形ABCD 中,若,AD BC BD AD ⊥⊥,那么有( ) A 、平面ABC ⊥平面ADC B 、平面ABC ⊥平面ADBC 、平面ABC ⊥平面DBCD 、平面ADC ⊥平面DBC 答案:D例5:已知P 是△ABC 所在平面外的一点,且P A ⊥平面ABC ,平面P AC ⊥平面PBC ,求证:BC ⊥AC .解析:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条放入一平面中,使另一条直线与该平面垂直,即由线面垂直得到线线垂直.在空间图形中,高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到:面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直. 答案:如图,在平面P AC 内作AD ⊥PC 于点D ,∵平面P AC ⊥平面PBC ,AD ⊂平面P AC ,且AD ⊥PC , ∴AD ⊥平面PBC ,又BC ⊂平面PBC ,∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC , ∴P A ⊥BC ,∵AD ∩P A =A ,∴BC ⊥平面P AC , 又AC ⊂平面P AC ,∴BC ⊥AC .练习1:已知三棱锥P -ABC 中,侧面PAC 与底面ABC 垂直,PA =PB =PC . (1)求证:AB ⊥BC ;(2)若AB =BC ,过点A 作AF ⊥PB 于点F ,连接CF ,求证:平面PBD ⊥平面AFC .ABCDE答案:如图所示:(1)取AC的中点D,连接PD、BD,∵PA=PC,∴PD⊥AC,又平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面ABC=AC,∴PD⊥平面ABC,D为垂足.∵PA=PB=PC,∴DA=DB=DC,∴AC为△ABC的外接圆的直径,故AB⊥BC.(2)∵PA=PC,AB=BC,PB=PB,∴△ABP≌△CBP.∵AF⊥PB,∴CF⊥PB,又AF∩CF=F,∴PB⊥平面AFC,又PB⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面AFC.练习2:已知平面P AB⊥平面ABC,平面P AC⊥平面ABC,如图所示.求证:P A⊥平面ABC.答案:如图所示,在平面ABC内任取一点D,作DF⊥AC于点F,作DG⊥AB于点G,∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,∴DF⊥平面PAC,又∵PA⊂平面PAC,∴PA⊥DF,同理可证:DG⊥PA,∵DF∩DG=D,且DF⊂平面ABC,DG⊂平面ABC,∴PA⊥平面ABC.1.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是() A.平行B.垂直C.相交不垂直D.不确定答案:B2.若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等,则l与α的关系是()A.平行B.相交C.垂直D.不确定答案:D3.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,给出下列四个命题:①α∥β,l⊄β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的两个命题是()A.①②B.③④C.②④D.①③答案:D4.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是()A .平面ABD ⊥平面ABCB .平面ADC ⊥平面BDC C .平面ABC ⊥平面BDCD .平面ADC ⊥平面ABC 答案:D5.若有直线m 、n 和平面α、β,下列四个命题中,正确的是()A .若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB .若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC .若α⊥β,m ⊂α,则m ⊥βD .若α⊥β,m ⊥β,m ⊄α,则m ∥α 答案:D6.Rt △ABC 所在平面α外一点P 到直角顶点的距离为24,到两直角边的距离都是610,那么点P到平面α的距离等于__________.答案:12_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.已知一平面平行于两条异面直线,一直线与两异面直线都垂直,那么这个平面与这条直线的位置关系是()A .平行B .垂直C .斜交D .不能确定 答案:B2.直线a ⊥直线b ,a ⊥平面β,则b 与β的位置关系是()A .b ⊥βB .b ∥βC .b ⊂βD .b ⊂β或b ∥β 答案:D 3.下列命题①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b ; ②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α; ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b; ④⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥ba ⊥b b ⊂αc ⊂α⇒a ⊥α; ⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥a ⇒b ∥α. 其中正确命题的个数是( ) A .3 B .4 C .5 D .6答案:A4..若平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,那么a、b的位置关系是()A.无公共点B.平行C.既不平行也不相交D.相交答案:A5.直线a与平面α内的两条直线都垂直,则a与α的位置关系是()A.垂直B.平行C.a在平面α内D.不确定答案:D6.若平面α⊥平面β,且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则() A.直线a必垂直于平面βB.直线b必垂直于平面αC.直线a不一定垂直于平面βD.过a的平面与过b的平面垂直答案:C7.长方体ABCD-A1B1C1D1中,MN在平面BCC1B1内,MN⊥BC于M,则MN与AB的位置关系为____________________.答案:MN⊥AB8.如图所示,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C,求证B1C⊥C1A.答案:如图所示,连接A1C,交AC1于点D,则点D是A1C的中点.取BC的中点N,连接AN、DN,则DN∥A1B.又A1B⊥B1C,∴B1C⊥DN.又△ABC是正三角形,∴AN⊥BC.又平面ABC⊥平面BB1C1C,平面ABCD∩平面BB1C1C=BC,AN⊂平面ABC,∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C⊂平面BB1C1C,∴B1C⊥AN.又AN⊂平面AND,DN⊂平面AND,AN∩DN=N,∴B1C⊥平面AND.又C1A⊂平面AND,∴B1C⊥AC1.能力提升9.若两直线a与b异面,则过a且与b垂直的平面()A.有且只有一个B.至多有一个C.有无数多个D.一定不存在答案:B10.已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上,球心O在AB上,SO⊥底面ABC,AC=2r,则球的体积与三棱锥体积之比是()A.πB.2πC.3πD.4π答案:D11.(2014·浙江文,6)设m,n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面()A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α答案:C12.已知平面ABC外一点P,且PH⊥平面ABC于H.给出下列4个命题:①若P A⊥BC,PB⊥AC,则H是△ABC的垂心;②若P A、PB、PC两两互相垂直,则H是△ABC的垂心;③若∠ABC=90°,H是AC的中点,则P A=PB=PC;④若P A=PB=PC,则H是△ABC的外心.其中正确命题的个数为()A.1 B.2C.3 D.4答案:D13.平面α的斜线AB交α于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交α于点C,则动点C的轨迹为________.(填直线、圆、其它曲线)答案:直线14.如图所示,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a,P A⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于________.答案:215.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD.底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________________时,平面MBD⊥平面PCD.(注:只要填写一个你认为正确的即可)答案:BM⊥PC(其它合理答案亦可)16.如图所示,△ABC为正三角形,CE⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=AC=2BD,M是AE的中点.(1)求证:DE=DA;(2)求证:平面BDM⊥平面ECA;(3)求证:平面DEA⊥平面ECA.答案:(1)取EC的中点F,连接DF.∵CE⊥平面ABC,∴CE⊥BC.易知DF∥BC,∴CE⊥DF.∵BD ∥CE ,∴BD ⊥平面ABC .在Rt △EFD 和Rt △DBA 中,EF =12CE =DB ,DF =BC =AB , ∴Rt △EFD ≌Rt △DBA .故DE =DA .(2)取AC 的中点N ,连接MN 、BN ,则MN CF . ∵BD CF ,∴MN BD ,∴N ∈平面BDM . ∵EC ⊥平面ABC ,∴EC ⊥BN .又∵AC ⊥BN ,EC ∩AC =C ,∴BN ⊥平面ECA . 又∵BN ⊂平面BDM ,∴平面BDM ⊥平面ECA .(3)∵DM ∥BN ,BN ⊥平面ECA ,∴DM ⊥平面ECA .又∵DM ⊂平面DEA ,∴平面DEA ⊥平面ECA .。

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