x A2 A1 cos( 2 t 1 ) T 2
4．在一竖直轻弹簧下端悬挂质量 m = 5g 的小球，弹簧伸长 l =1cm 而平衡。经推动后， 该小球在竖直方向作振幅为 A = 4cm 的振动，则小球的振动周期为__________；振动能 量为_________________。 答案： 0.201s ； 3.92 10-3J 。 解：平衡时，有 k l mg ，所以 k mg / l 。 （1） （2）
T
2π

2π
m l 2π 0.201s ； k g
1 1 mg 2 E kA2 A = 3.92 10-3 J 。 2 2 l
5．为测定某音叉 C 的频率，选取频率已知且与 C 接近的另两个音叉 A 和 B，已知 A 的
频率为 800 Hz，B 的频率是 797 Hz，进行下面试验： 第一步，使音叉 A 和 C 同时振动，测得拍频为每秒 2 次。 第二步，使音叉 B 和 C 同时振动，测得拍频为每秒 5 次。

1
2π
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4 机械振动习题详解
习题册-上-4
4．一个质点作简谐振动，振幅为 A，在起始时刻质点的位移为 运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为［ ］
1 A ，且向 x 轴的正方向 2

(A)

x (B)
o1 A
2
o
1 2
A

x
(C)
A
1 2
o
x
(D)
1 2 A
x o

1 2 3 （C） x 2 A cos(t π ) ； 2
（A） x 2 A cos(t π ) ；
（B） x 2 A cos(t π ) ； （D） x2 A cos(t ) 。
1 2
答案：B 解：由题意，第二个质点相位落后第一个质点相位 π/2 ，因此，第二个质点的初相位为
O
3． 一长为 l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上， （如图所示） ，
1 2 构成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量 J ml ，此摆作 3
微小振动的周期为 ［ （A） 2 答案：C 解：由于是复摆，其振动的周期公式为 T ］
l
l l 2l l ； （B） 2 ； （C） 2 ； （D） 。 g 2g 3g 3g 2π 2J 2l 2π ，所以答案为 C。 mgl 3g
3
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由此可确定音叉 C 的频率为______________。 答案：802 Hz 解：设音叉 C 的频率为 ，由 800 2 和 797 5 ，联立求得 802Hz 。 三、计算题 1．在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长 l0 =1.2cm 而平衡．再经拉动后，该小 球在竖直方向作振幅为 A = 2cm 的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移 处开始计时，写出此振动的数值表达式。 答案： x 2 10
d2x k Mg x g 0, 不是简谐振动。 答案： 2 dt M m M m
5
O x
M v m
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5．一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为
) (SI) ， x2 =3 10-2sin(4t - ) 3 6 画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程。
1 答案： （1） T 0.63s ， 10 rad/s ； （2） v0 1.3m/s ， π ； 3
（3） x 15 10
2
1 cos(10t ) 。 3
4
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习题册-上-4
解： （1）
2π k 0.63s ； 10 rad/s ， T m
π
1 3
1 x 15 10 2 cos(10t ) 3
(SI)
3．一质点作简谐振动，其振动方程为
1 1 x 6.0 10 2 cos( t ) 3 4
(SI)
（1）当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？ （2）质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？ 答案： （1） x 4.24 102 m ； （2） 0.75 s 。 解： （1）势能 由题意
答案： （1）旋转矢量如图； （2）合振动方程 x =2 10-2 cos(4t + 解：
x1 =5 10-2 cos(4t +



3
)。
2 x2 =3 10-2sin(4t - )=3 10-2cos(4t - - )=3 10-2cos(4t ) 6 6 2 3 作两振动的旋转矢量图，如图所示。由图得，合振动的振幅和
初相分别为
A = (5-3)cm = 2cm ， =
-2

3
，所以
合振动方程为 x =2 10 cos(4t +

3
) (SI)
O A2
A1 A

x

6
· A2 A1 O x x1(t) T x2(t) t
T
2
-A1 -A2
解：由图可知，两振动其初相位差为 ，所以其合振动的振幅为 A2 A1 又由公式
tan
程为
A1 sin 1 A2 sin 2 3 ，而 1 , 2 ，由此得 。所以合振动的振动方 2 2 A1 cos 1 A2 cos 2 2
k(l0+x)
g 28.58 9.1π l0
设振动表达式为
mg
x A cos(t )
由题意： t 0 时， x0 A 2 102 m ， v0 0 ，由此解得 0 。 所以
x 2 10 2 cos(9.1t )
2．一质量 m 0.25kg 的物体，在弹簧的力作用下沿 x 轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的 劲度系数 k 25N / m 。 （1）求振动的周期 T 和角频率 ； （2）如果振幅 A 15cm ， t 0 时物体位于 x 7.5cm 处，且物体沿 x 轴反向运动， 求初速 v0 及初相 ； （3）写出振动方程表达式。
答案：B 解：根椐题意，此简谐振动的初相位为
5 ，或 ，所以答案为 B。 3 3
1 ) ．则该物体在 t = 0 时刻的动能 2
］
5．一物体作简谐振动，振动方程为 x A cos(t 与 t = T/8（T 为振动周期）时刻的动能之比为［
（A）1:4；
答案：D
（B）1:2；
（C）1:1； （D）2:1。
π ，所以答案应选取 B。
2．劲度系数分别为 k1 和 k2 的两个轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为 m 的物体，构成 一个竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为 ［ ］ （A） T 2
1 2
m(k1 k 2 ) ； 2k1 k 2
（B） T 2
m ； (k1 k 2 )
k1 k2 m
EP
1 2 k x； 2
总能量 E
1 2 kA 2
1 2 A 4.24 102 m 。 kx kA2 / 4 ， x 2 2
T 2π
（2）周期 从平衡位置运动到 x

6s
A 2
的最短时间 t 为 T/8，所以
t t 0.75 s
4．4．一质量 M = 3.96 kg 的物体，悬挂在劲度系数 k = 400 N/m 的轻弹簧下端．一质量 然后子弹与物体一 m = 40g 的子弹以 v = 152 m/s 的速度从下方竖直朝上射入物体之中 ， 起振动 ．若取平衡位置为原点，x 轴指向下方，如图，试写出其振动微分 方程，并判断该振动是否是简谐振动。 k
（2） A 15cm ；当 t 0 时， x0 7.5cm ， v0 0 ， 由 得 由 因 x0 0 ，所以应取 （3）振动方程
v 2 A x0 0
2
2 v0 A2 x0 1.3m/s
tg 1
v0 1 4 ，得 π ，或 π 3 3 x0
2
cos(劲度系数
k mg / l0
选平衡位置为原点，向下为正方向。小球在 x 处时，根据牛顿第二定律得 d2 x mg k (l0 x) m 2 dt 将 k mg / l 0 代入整理后得 kl0 l0 2 d x g x0 x d t 2 l0 mg 所以此振动为简谐振动，其角频率为 x
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习题册-上-4
习题四 一、选择题 1．两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同，第一个质点的振动方程为 当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时， 第二 x1 A cos(t ) 。 个质点正在最大正位移处，则第二个质点的振动方程为 [ ]
x (cm) 10 5 O 1 4710 -10 13 t (s)
A = _______cm； =__________rad/s；=________。
答案：10；(/6)；/3。 解 ： 由 图 可 直 接 看 出 ， A =10cm ， 周 期 T=12s ， 所 以
2 rad/s ；再由图看出，t = 0 时刻质点在位移 5cm T 6 处，下一时刻向着平衡位置方向移动，所以其初相为 = /3。

2
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习题册-上-4
2．一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示。当振子处在位 移为零、速度为 A 、加速度为零和弹性力为零的状态时， 应对应于曲线上的________点；当振子处在位移的绝对值为