得
0 c
l 2 EIc p0 l 1 2l 2
4
32 2 p0 l 4 c 4 1 EI
32 2 p0 l 4 v x 4 1 EI
x 1 cos 2l
x
可以得到用位移表示的应力公式为
x x xy
E u v 2 y 1 x E v u 2 x 1 y E u v 2 1 y x
从而可以得到用位移表示的平衡方程
习题课
Chapter2 有限元分析的力学基础
2.1 p46
2.2 p46 2.3 p46 2.4 p46 2.9 p47
2.1分别对以下情形，写出所有基本变量，基本方程及边界田间， 并指明各分量形式与指标形式变量之间的对应关系。
1）1D情形 2）2D情形
解：
1）1D情形： 基本变量
调整上式中的积分常数A、B，使得其满足固定端的边界条件。从而得到 伽辽金加权残值法的试函数
1 2 2l v c x 2
2 x 2l x sin c x 2l

从而进一步有
ˆ EIv p0 1 x2 2l 0 2
解：对于平面问题，由平衡方程
xx xy bx 0 x y xx xy by 0 x y
在体积力为零情况下，可有以下关系成立
a2 a2 0 a4 a4 0
上两式成立，即平衡方程成立，方程满足平衡条件。
其应力边界条件
如图所示
xx xy bx 0 x y xx xy by 0 x y
在体积力为零情况下，可有以下关系成立
a2 a9 0 a8 a6 0
2.3在体积力作用下，下列应力分布是否满足平衡条件（平面应力 问题），就如图所示平面结构，给出该应力函数所表示的边界应 力分布情况。
4 2 x x 2 2l 2l 2 2 0 EIc sin 2l -2EIcp0 sin 2l +p0 dx 0
1 2l 2 2l EIc -4EIcp0 +p02l =0 2
l 4 l 2 x 2l x sin dx 0 2l 2 x 2l x sin dx 0 2l
2 1 x 2l 2l EIc sin p0 x 2 0 2l 2
vmax
最小势能原理
p0l 4 c 0.11937 EI
vmax
精确解
p0l 4 0.Leabharlann 25 EI 伽辽金加权残值法
当挠度取自变函数的试函数时，相应的加权残值法的伽辽金方程为
ˆ EIv
l 0 4
p0 n dx 0 n 1, 2,3...n
寻找伽辽金加权残值法的试函数时，要从研究力边界条件入手，设
3.3设某一类1D物理问题的微分方程为
边界条件为 若采用下列试函数
d2 x 0 0 1 dx2
0 = 1 =0
x c1 x 1 x c2 x2 1 x
试用以下方法求解该问题 1）加权残值法中的伽辽金法 2）加权残值法中的最小二乘法 3）瑞利-李兹法（当试函数（满足位移边界条件）取为许可基底函数的 线性组合时，该原理所描述的方法也就叫做Rayleigh-Ritz）
BC u : BC p :
x 0 0 x 0 0
M EI x 0 0 Q EI x 0 0
最小势能原理
作为一级近似，试函数仅仅取一项多项式的函数形式
x v x c 1 cos 2l
4
3
残值的最小二乘法
整理得
2l 2l EIc -8EIcp0 +2p02l =0
2 4 3
2l

EIc -8cp0
2
3 p0 2
4 EIl 2
0
从而可以计算得到c值，回代即可得到最终结果。
可见，伽辽金法的计算结果要比最小势能原理的一级近似解要好， 这是因为这里所取得试函数的性能较好，它满足了所有的条件， 而最小势能原理只能满足位移边界条件，如果选取的试函数一样 满足所有的边界条件，那么利用伽辽金法和最小势能原理得到的 结果一致。
证明：对于平面问题，由平衡方程
xx xy 0 x y xx xy 0 x y
根据几何和物理方程
E x y 1 2 E x y x 1 2 E xy xy 2 1
x
u x v y y u v xy y x
此状态的力学基本变量为：
我们先研究一对剪应力的情况。
证明2：若证明等式成立，必须首先证明
证明3：如图所示纯弯曲梁
纯弯曲梁
2.10 对于不考虑体积力的平面应力问题，试证明由位移表达的平 衡方程为
2 1 2 1 2v 0 2 2 u 2 xy x 2 y
1）写出各单元的刚度矩阵 2）写出总的刚度矩阵 3）求节点2的位移 4）求各单元的应力
解：由题意知，图中结构分为两个自然单元1和2，其节点为1、2 和3。根据
1）对于单元1
对于单元2
2)
3)求节点2的位移
4)求各单元的应力
4.2如图所示的桁架，求总刚方程，并求解节点位移。对于1，2，3 有EA=1。
2 1 2 1 2v 0 2 u 2 y 2 2 xy x
Chapter3 有限元分析的数学求解原理
3.1 p87
3.3 p88 3.4 p88
3.1如图所示为一受均匀分布载 荷的悬臂梁。
1）用挠度方程写出精确解 2）写出两种以上的许可位移场 （试函数） 3）基于许可位移（至少用一 种），分别用以下几种原理求 挠度曲线，并和精确解比较。
d2v x c 1 sin 2l dx 2
M EIv x 0 0 Q EIv x 0 0
积分得
1 2 2l 2 x v c x sin Ax B 2l 2
正应力边界条件
剪应力边界条件
2.4对于平面应力问题，已知一点的应力状态，如图所示。求
1）斜面上的应力表达式。 2）最大主应力、最小主应力及此时斜面的方向余弦。
2.9证明1：受纯剪作用的弹性体的应变能公式
证明2：指标形式与分量形式的应变能计算公式的对应关系
证明3：受弯梁应变能的表达式公式
证明1：对于纯剪单元，其应 力分量如图所示。
l EI p x

解：1）对于此悬臂梁问题，用材料力学知识直接求解。
max
ql 4 8EI

2）写出两种以上的许可位移场（试函数）
x 2l x 3 x 2 x c 2 cos cos 2l 2l 1 x c 1 cos

求解得
p0l 2 c 0.469 EI 2 p0l 2 1 2 2l 2l x v 0.469 x x sin EI 2 2l
vmax
伽辽金法
p0l 4 0.126 EI
vmax
最小势能原理
p0l 4 c 0.11937 EI
vmax
精确解
p0l 4 0.125 EI
残值的最小二乘法
利用和伽辽金法一样的试函数，有
ˆ wt EIv 4 p0 d 0
2 2


wt 2 (c, )d 0


直接积分得
l
2 l x 2l 0 EIc sin 2l p0 dl 0
2u 2 v E 2u 2v E 0 xy 2 1 y 2 xy 1 2 x 2
整理得
2u 2 v 1 2u 2 v 2 0 xy 2 y 2 xy x
3.4对于以下方程：
d 2 x 2 dx
边界条件为
0 0, 1 1
试推导出与它等效的泛函。若采用近似的函数求解时，试用泛函 极值的方法求解待定参数。
Chapter4 杆梁结构的有限元分析原理
4.1 p142
4.2 与4.3类似，自拟。
4.1如图所示的二力杆结构，E1=E2=2E6kg/cm2，A1=2A2=2cm2。
其中c为待定常数，该函数满足该问题的位移边界条件，所以是许可的 位移函数，代入总的势能表达式有
1 2 ˆ ˆ l EI v dx l p( x)v( x)dx 2
4
l l 1 x x EI c 2 cos 2 dx p0 c 1 cos dx 0 0 2 2l 2l 2l
0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
对于单元2：取i=1，j=2，α=45o，q=[u1,v1,0,v2]T
k k2 k
2 11 2 21
1 2 1 2 k12 E2 A2 2 2 l2 1 k22 2 1 2
基本方程
分量形式
指标形式
2）2D情形：
基本变量
2）2D情形—— 基本方程