7
其中mi是第i位专家的估计值，并请每个人标出各自对
所做估计值的信任度，记为 e1,e2, ,en, 这里ei表示第i
位专家对自己的估计的把握程度，并且规定 ei [0,1],第 有绝对把握时， ei＝１；毫无把握时，取ei＝０； 其
它情形，取 0 ei 1.
（６）计算
m
1 M
n
mi ,
iM
其中 M {iei;i1 ,2,...,n },
③中间型 A ( x ) 1, a x b
1
e
(
x
b
)
2
,x
b
a
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15
其它常见模糊分布还有 (3) 半梯形分布与梯形分布；
m21,m22, ,m2n
（４）重复２、３步，直至离差值小于或等于预先
给定的标准 0. 设重复k次后，有 d k , 这里 d k 为重复k次后的离差。
(5)将第k次得到的对
A (u 0 )的平均估计值
m
k
和d再交k给各位专家，请他们做最后的“判断”，给出估计
值
m1,m2, ,mn
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对于 m11,m12, ,m1n计算平均值 m 1 和离差 d 1 :
m1
1 n
n i 1
m1i ,
d1
1 n
n i1
m1i
m1
2
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6
（３）不记名将全部数据 m 11,m 12, ,m 1n,m 1,d 1送交 每位专家，同时附上进一步的补充资料，请每位
专家在阅读和思考之后，给出新的估计值：
可暂时使用m , 但要特别注意信息反馈，不断通过
“学习过程”，完 A(u0)m
善 Remark:
Delphi法特别适用于有限论域上的模糊集，即模糊 向量的估计，且最好是让专家一次给出对各元素隶 属度的估计值。
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9
§6.３ 模糊统计法
模糊统计法简言之即通过模糊试验来得元素 隶属度。模糊试验四个要素：
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5
§6.２ Delphi法
设Ｕ为论域，A 是Ｕ上待确定其隶属函数的模糊集，
用Dephi法确定 A 的隶属函数 A ( u ) 的步骤如下:
~
~
⑴ 提出影响 A 的主要因素，连同较为详尽的资料
发送选定的n位专家，请专家对于取定的 u 0 U , 给 出隶属度 A (u 0 ) 的估值 m ⑵设第ｉ位专家第一次给出的估计值为 m1i(i1,2,...,n).
1
a
0,x a
③ 中间型
A ( x ) 1, a x b
1
0, x b
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ab
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(２) 正态分布(normal distribution )：
①偏小型
A(x)
1, (
xa
)2
x
a
e ,x a
1 a
②偏大型
A(x) 0,
xa
( xa)2
1
1e ,x a
a
( xa )2
e ,x a
（３）若模糊集反映的模糊概念已有相应成熟 的指标，这种指标经过长期实践检验已成为 公认的对事物的真实的又是本质的描述，则 可直接采用这种指标，或者通过某种方式将 这种指标转化为隶属函数；
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4
（４）对某些模糊概念，虽然直接 给出其隶属函数比较困难，但却可 以比较两个元素相应的隶属度，此
时可用相对选择法（见§6.４ ）求的隶属函数； （５）若一个模糊概念是由若干个模糊因素复合 而成的，则可先求各因素模糊集的隶属函数，再 综合出模糊概念的隶属函数。
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2
§6.1 确定隶属函数的原则
（１）若模糊集反映的是社会的一般意识， 它是大量的可重复表达的个别意识的平均结 果，例如，青年人，经济增长快，生产正常 等，则此时采用模糊统计法（见§6.３ ）来 求隶属函数较为理想；
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3
（２）如果模糊集反映的是某个时间段内的个 别意识，经验和判断，例如，某专家对某个 项目可行性的评价，那么，对这类问题可采 用Delphi法；（见§6.２）
概率统计(a)与模糊统计(b)试验的区别：
. S
A不动
A
变动
(a)
A
•
u0
A*
(b)
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U0固定 Ｕ A*变动
12
例１、模糊统计试验的应用
设U=[0, 100]（单位：岁），A 是“青年人”在 上的Ｕ模糊集，取u0=27, 试用模糊统计试验来确定 u0对 A 的隶属度，并用模糊统计求A , 的隶属函数 曲线（见教材１３２－１３４页）。
（１）论域Ｕ，所论问题之范围； （２）Ｕ中的一个确定元素ｕ；
（３）Ｕ中的一个随机运动的普通集合Ａ*,Ａ* 联系着一个模糊集 A , Ａ*的每一次确定，都是对 相应于 A 的模糊概念的一个确定划分，可以看作 A 的一个显影，表示模糊概念的一个近似外延
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10
（４）条件Ｓ，它联系着对模糊概念所进行的划分 过程的全部客观或心理的因素，制约者Ａ*的运动。
第6章 确定隶属函数的方法
一、确定隶属函数的原则 二、Delphi法 三、模糊统计法 四、增量法 五、因素加权平均法
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1
隶属函数(Membership function)是建
立模糊集的基础，它在模糊数学中占有 突出的地位。隶属函数的确定，无论从 理论上还是实践上都是模糊数学及其应 用的基本而关键的问题。本章介绍确定 隶属函数的原则和方法。
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论域为实数域的隶属函数叫模糊分布（Fuzzy distribution), 即 A (X) ，其中X为实数集，称
~
= A ( x ) 为模糊分布。常见的模糊分布有： ~
(1) 矩形分布或半矩形分布(适用确切概念)：
① 偏小型
A(x)
1, x a 0, x a
1
a
② 偏大型
0, x a A(x) 1, x a
M
表示集合 M
的元素的个数，而
[0,1]是事先给
定的标准。
(7)以 m 作为 A (u 0 ) 的估计值，或直接计算
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8
m
1 n
n
mi,
i 1
e
1 n
n
ei
i1
此时 m 称为 A (u 0 ) 在信任度 e 下的估计值，若 e 值
较高，从而达到标准，从而 A (u 0 ) 取作 m , 否则，虽
Remark:
模糊统计法的基本要求是在每次实验中，对u0是 否属于 A 作出确切的判断，即要求在每次试验中， Ａ*必须确定。 模糊统计试验的特点：在各次试验中 u0固定，Ａ*是变的，这点不同于随机试验. 隶属度计算公式为:
u 0 对 A 的隶属频率 f n
A
*
覆盖u
的次数
0
n
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其中n为试验次数。实践证明，随着n的增大，隶属 频率也会呈现稳定性，频率稳定所在的那个数，称 为u 0 对 A 的隶属度