坐标系与参数方程（一）极坐标系：1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）.对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标.这样建立的坐标系叫做极坐标系.2、极坐标与直角坐标互化公式：★极坐标与直角坐标的互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ。

★极坐标与直角坐标的互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与x 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。

例如：极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=⇒+=（在转化成,x y 时要设法构造cos ,sin ρθρθ ， 然后进行整体代换即可）3、求极坐标方程的两种方法：★处理极坐标系中问题大致有两种思路：(1)公式互化法：把极坐标方程与直角坐标方程进行互化；(2)几何法：利用几何关系（工具如：三角函数的概念、正弦定理、余弦定理）建立ρ与θ的方程.（二）参数方程：1、参数方程的定义：如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩，那么()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 就称为该曲线的参数方程，其中t 称为参数。

2、常见的消参技巧： （1）代入法：()3()2333723x t t y x y x y t=+⎧⇒=+-⇒=-⎨=+⎩为参数（2）整体消元法：2211x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()t 为参数，由222112t t t t ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可得：22x y =+ （3）三角函数法：利用22sin cos 1θθ+=消去参数例如：22cos 3cos 3()12sin 94sin 2x x x y y yθθθθθ⎧=⎪=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩为参数3、常见曲线的参数方程如下：（1）圆：()()222x a y b r -+-=的参数方程为：[)cos 0,2sin x a r y b r θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，，其中θ为参数，其几何含义为该圆的圆心角；（2）椭圆：()222210x y a b a b +=>>的参数方程为[)cos 0,2sin x a y b θθπθ=⎧∈⎨=⎩，，其中θ为参数，其几何含义为椭圆的离心角；（3）双曲线：()222210x y a b a b -=>>的参数方程为[)10,2cos tan x ay b θπθθ⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，，其中θ为参数，其几何含义为双曲线的离心角；（4）抛物线：()220y px p =>的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩，其中t 为参数；（5）直线：过()00,M x y ，倾斜角为θ的直线参数方程为00cos sin x x t t R y y t θθ=+⎧∈⎨=+⎩，，其中t 为参数，其中t 代表该点与M 的距离。

注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传统的解析几何知识求解。

4、直线的参数方程进一步讨论：1、过定点()00,x y ，倾角为θ的直线的标准参数方程形式：00cos sin x x t t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩（为参数）其中参数t 是“以定点P （x 0，y 0）为起点，动点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量”，又称为点P 与点M 间的有向距离。

[提醒] 在直线的标准参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义并且t 的几何意义为：|t|是直线上任一点M(x ，y)到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M|＝|t|. 2、根据t 的几何意义，有以下结论．经过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为P ，点P 所对应的参数为t 0， 则以下结论在解题中经常用到：(1)|AM |＝|t 1|, |BM |＝|t 2|；(2)|AB |＝|t 2－t 1|；(3)|AM |·|BM |＝|t 1·t 2|；(4)AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅-+4)(2； (5)t 0＝t 1＋t 22.★常常涉及的相关内容：（1）辅助角公式及三角函数的值域.（2）直线斜率的几何意义、点到直线的距离公式、圆的弦长公式. （3）韦达定理、圆锥曲线两种弦长公式及其推导过程.（三）常见的四种题型：1、方程互换；2、直线标准参数方程的应用；3、最值问题；4、简单的平面解析几何问题。

极坐标与参数方程经典问题：题型一：客观题1.在极坐标系中，关于曲线:4sin 3C πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的下列判断中正确的是（ ） A.曲线C 关于直线56πθ=对称 B.曲线C 关于直线3πθ=对称 C.曲线C 关于点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.曲线C 关于极点()0,0对称 2.已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A的极坐标为74A π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 .3.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是sin 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则两曲线交点间的距离是 .解：1.由4sin 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得22sin cos ρρθθ=-即(()2214x y ++-=，所以曲线C 是圆心为()，半径为2的圆，所以曲线C 关于直线56πθ=对称，关于点52,6π⎛⎫⎪⎝⎭对称,答案A . 2.直线:sin cos sin cos 1l θθρθρθ-=⇒-=，转化为直角坐标方程为1y x -=，点A的直角坐标为()2,2-，则A 到直线的距离为2d==，答案：2.3.1:C 11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 2222114y x t t t t ⎛⎫⎛⎫∴-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21:sin coscos sin1sin cos 13322C ππρθρθρθρθ+=⇒+= 2C ∴的方程为1122x y += 联立方程可得：2242y x y ⎧-=⎪⎨=+⎪⎩ 代入消去y可得：()2222420x x +-=⇒-=设交点()()1122,,,A xy B x y 则120,x x ==12AB x ∴=-=答案：题型二：方程互换+直线标准参数方程的应用 2.1: 选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=，2C的参数方程为22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （1）将曲线1C 与2C 的方程化为直角坐标系下的普通方程； （2）若1C 与2C 相交于A B 、两点，求AB . 解：（1）曲线1C 的直角坐标系的普通方程为22y x =曲线2C 的直角坐标系的普通方程为4x y += ………………5分 （2）将2C 的参数方程代入1C 的方程22y x =得2(2)2(2)22-=+得：2102t -=解得120,t t ==12||||AB t t ∴=-= ………………10分2.2: 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=．（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 交于A B ,两点，点P的极坐标为π4⎛⎫- ⎪⎝⎭，求11||||PA PB +的值． 解：（1）曲线1C 的普通方程为4320;x y +-=曲线2C 的直角坐标方程为:2y x =.（2）1C 的参数方程的标准形式为32,5(42.5x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)代入2y x =得 29801500,t t -+=设12,t t 是A B 、对应的参数,则121280500.93t t t t +==>， 1212||11||||8.||||||||||15t t PA PB PA PB PA PB t t ++∴+===⋅题型三：方程互换+最值问题3.1:选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩，后得到曲线2C ．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=．（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程；（2）已知点M 是曲线2C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），因为2.x x y y '=⎧⎨'=⎩，，则曲线2C 的参数方程2cos 2sin .x y αα'=⎧⎨'=⎩，．所以2C 的普通方程为224x y ''+=． 所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆．所以2C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=．（2）解法1：直线l 的普通方程为100x y --=．曲线2C 上的点M 到直线l的距离+)10|d απ-==． 当cos +=14απ⎛⎫ ⎪⎝⎭即()=24k k αππ-∈Z 时，d2-． 当cos +=14απ⎛⎫- ⎪⎝⎭即()3=24k k απ+π∈Z 时，d+ 解法2：直线l 的普通方程为100x y --=．因为圆2C 的半径为2，且圆心到直线l 的距离252|1000|=--=d ， 因为225>，所以圆2C 与直线l 相离．所以圆2C 上的点M 到直线l 的距离最大值为225+=+r d ，最小值为225-=-r d ．3.2:选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (1sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数），曲线2C 的参数方程为2cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数） （1）将1C ，2C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为(cos 2sin )4ρθθ-=，若1C 上的点P 对应的参数为2πθ=，点Q 上在2C ，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值.解：（1）1C 的普通方程为22(1)1x y +-=，它表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，2C 的普通方程为2214x y +=，它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆.（2）由已知得(0,2)P ，设(2cos ,sin )Q θθ，则1(cos ,1sin )2M θθ+， 直线:240l x y --=，点M 到直线l的距离为d ==，所以d ≤=，即M 到直线l的距离的最小值为5.题型四：方程互换+简单的平面解析几何问题 4.1：选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C：2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩，．（α为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρcos 8=，直线l 的极坐标方程为)(3R ∈=ρπθ．（1）求曲线1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与1C ，2C 在第一象限分别交于A ，B 两点，P 为2C 上的动点，求PAB ∆面积的最大值． 解：（1）依题意得，曲线1C 的普通方程为7)2(22=+-y x ， 曲线1C 的极坐标方程为03cos 42=--θρρ， 直线l 的直角坐标方程为x y 3=．（2）曲线2C 的直角坐标方程为16)4(22=+-y x ，由题意设)3,(1πρA ，)3,(2πρB ，则033cos4121=--πρρ，即032121=--ρρ，得31=ρ或11-=ρ（舍），43cos82==πρ，则121=-=ρρAB ， 2C )0,4(到l 的距离为32434==d ．以AB 为底边的PAB ∆的高的最大值为324+，则PAB ∆的面积的最大值为32)324(121+=+⨯⨯．4.2：选修4－4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14，得曲线C . （1）写出C 的参数方程；（2）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.解：（1）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y == 代入221x y +=中得2216''1x y +=，故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）； （2）由题知，121(,0),(0,1)4P P --，----------6分 故线段P 1 P 2中点11(,)82M --， ∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14，故线段P 1 P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入，得其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=4.3：选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 倾斜角为α，其参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C 的极坐标方程为4cos 0-=ρθ．（1）若直线l 与曲线C 有公共点，求直线l 倾斜角α的取值范围；（2）设()M x y ，为曲线C 上任意一点，求x 的取值范围． 解：（1）法一：由曲线C 的极坐标方程得24cos 0ρρθ-=，∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，即()2224x y -+=∴曲线C 是圆心为C (2, 0)，半径为2的圆.∵直线l 过点P (−2,0)，当l 斜率不存在时，l 的方程为x = -2与曲线C 没有公共点；∴当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为：(2)y k x =+，即20kx y k -+= 直线l 与圆有公共点，则2d =≤∴33k -≤≤…………4分 ∵[)0πα∈，，∴α的取值范围是π5π[0]π66⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，法二：∵曲线C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=， 将2cos sin x t y t αα=-+=⎧⎨⎩，代入2240x y x +-=整理得28cos 120t t α-+=∵直线l 与曲线C 有公共点，∴264cos 480α∆=-≥即cos α或cos α≤，∵[)0πα∈，，∴α的取值范围是π5π[0]π66⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，（2）法一：设x m +=，由于圆2240x y x +-=即()2224x y -+=与0x m -=有交点， ∴|m 2|22d -==≤26m ∴-≤≤ ∴x 的取值范围是[]26-，． 法二：曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=可化为()2224x y -+= 其参数方程为22cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩（θ为参数）∵()M x y ，为曲线C 上任意一点，∴22cos x θθ=++ π24sin 6θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴x 的取值范围是[]26-，．。