合肥一中2020—2021学年第一学期高二年级段一考试
数学试卷（理科）
时间：120分钟
满分：150分
一、选择题（每小题5分，共60分）1.下列命题中，错误的是()A.平行于同一个平面的两个平面平行B.平行于同一条直线的两个平面平行
C.一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
2.如图所示，三棱台111ABC A B C -中，沿面1A BC 截去三棱锥1A ABC -，则剩余部分（）
3.设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的（）
A.若l ∥α，l ∥β，则α∥β
B.若α∥β，l ∥α，则l ∥β
C.若l ⊥α，l ∥β，则α∥β
D.若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β
4.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为（
）
5.用斜二侧面法表示水平放置的△ABC 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形△A'B'C'．若点O'是斜边B'C'的中点，且A'O'=1，则原图形△ABC 的边BC 边上的高为（
）
A.1
B.2
C.22
D.2
A.三棱锥
B.四棱锥
C.三棱台
D.四棱台
6.三棱锥P ABC -的三条侧棱互相垂直，且1PA PB PC ===,则其外接球上的点到平面ABC 的距离的最大值为（）
7.若P 为两条异面直线l,m 外的任意一点，则（）A.过点P 有且仅有一条直线与l,m 都平行 B.过点P 有且仅有一条直线与l,m 都相交C.过点P 有且仅有一条直线与l,m 都垂直 D.过点P 有且仅有一条直线与l,m 都异面8.九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1为正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA 1为底面矩形的一遍，则这样的阳马个数是（）A.4 B.8C.12
D.16
正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为2.点M,N 分别是BC,CC 1的中点，动点P 在正方形BCC 1B 1内运动，且AMN PA //1则PA 1的长度范围为（）A.5
1,
2
B.
32
,52 C.
32
,32
D.31,
2
直三棱柱111ABC A B C -中，AB=AC=AA 1,60BAC Ð=°,则异面直线BA 1和AC 1所成角的余弦值为（）
A.
2
3 B.
4
3 C.
4
1 D.
3
1如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为π3
4
的鸡蛋放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋的最高点与蛋巢的底面的距离为（）
A.
6322+ B.
23C.
2322
+ D.
3322
+A.
233
B.
33
C.
36
D.
32
12已知三棱锥ABC P -的顶点P 在底面的射影O 为△ABC 的垂心，
若2
ABC OBC PBC
S S S ×=,
且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++的最大值为（）
A.8
B.10
C.18
D.22
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13.有一种多面体的饰品，其表面右6个正方形和8个正三角形组成(如图)，则AB 与CD 所成的角的大小是.
14.已知圆锥的母线长度为2，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为2，则此圆锥的底面半径为.15.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，动点P 在线段D 1E 上，则点P 到直线CC 1的距离的最小值为.
16.已知四面体ABCD 中，AB =CD =5，AC =BD =34，AD =BC =41，O 为其外接球球心，AO 与AB 、AC 、AD 所成的角分别为α、β、γ。
有下列结论：①该四面体的外接球的表面积为50π；②该四面体的体积为10；③γβα222cos cos cos ++=1；
④DAB CAD BAC ∠+∠+∠=180。
.
其中所有正确结论的编号为：_________.
17.（本小题满分10分）
一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA 底面ABCD ，E 为PD 的中点。
(1)求证：PB //平面AEC ；(2)若三棱锥C -ADE 的体积为
3
2
2，求PC 与底面ABCD 所成角的大小。
19.（12分）如图，正三棱柱'''ABC A B C -中底面边长为a ，E D 、分别在'BB 与'
CC 上，且1
,2
BD a CE a =
=。
（1）求截面ADE 的面积；
（2）AE 上是否存在一点P ,使得''?DP ACC A ^面若不存在，说明理由；若存在，指出
P 的位置。
20.（12分）如图，ABCD 是边长为a 的正方形，DE ABCD ^平面,3 3.DE AF ==（1）证明：DCE ABF 平面平面//；
（2）在DE 上是否存在一点G ,使FBG 平面将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为?11:3若存在，求出G 的位置；若不存在，说明理由；
21.（12分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，
111111,,,22,336
ABC B BD B BA B BC AB A B B B p p
Ð=
Ð=Ð=Ð===（1）求证：1AC BDB ^直线平面；
（2）求直线11B A 与平面1ACC 所成角的正弦值。
22.（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面111,,AA BC A B BB ^^（1）求证：11;A C CC ^；
（2）若2,AB AC BC ===问1AA 为何值时，三棱柱111ABC A B C -体积最大，并
求此最大值。