甲可能的情况
变式：三个男生四个女生排成一排,甲只能在中间
或两头，有几种不同排法？ 找位置：
甲可能的情况
1 6 A3 A6
（2）三个男生，四个女生排成一排，甲不在 最左，乙不在最右，有几种不同方法？
方法一： (排除法)
七人的全排列
A A A A
7 7 6 6 6 6
5 5
乙在最右 甲在最左
例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，
三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念.
7)男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？ 插空法
例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，
三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念.
8)甲、乙两人不相邻且不排两端，有多少种 不同的排法？ 甲 插空法
7 6 2 A7 A6 A2 3600
5 2 A5 A6 3600
小 结一：对于“在”与“不在”等有特殊元素 或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或 特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法 （优限法）。 小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先 捆后松）． 小结三：对于不相邻问题，常用“插空法” （特殊元素后考虑）．
拓展：③甲、乙和丙三个同学都不 能相邻的排法共有多少种？
解：先将其余四个同学排好有A44种方 法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙 和丙三个同学分别插入这五个“空”有A53种 方法，所以一共有A44 A53 ＝1440种．
归结(3)：对于不相邻问题，常用“插 空法”（特殊元素后考虑）．
强化练习：三名女生和五名男生 站成一排， ⑴如果女生全排在一起，有多少 A66 A33 =4320 种不同排法？
⑶ 7位同学站成一排．甲、乙两同学必须相邻的 排法共有多少种？ 解：先将甲、乙两位同学“捆绑”
在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行 全排列有A66 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行 排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A66 A22 ＝1440 种． 拓展：①甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ 解：方法同上，一共有A55A33 ＝720种． ②甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾 的排法有多少种？
解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起 看成一个元素与其余的5个元素（同学） 6 一起进行全排列有 种方法，再将甲、乙 A6 2 A2 两个同学“松绑”进行排列有 种方 法．所以这样的排法一共有
6 2 A6 A2 1440
有约束条件的排列问题--相邻问题
（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有 5 3 多少种？ A5 A3 720 （3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站 在排头和排尾的排法有多少种？
现有7位同学站成一排,甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ 解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的 5个元素（同学）一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同 学“松绑”进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A66 A22 ＝1440种．
拓展：①甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2A55 种方法， 所 以 丙 不 能 站 在 排 头 和 排 尾 的 排 法 有 （ A66 2A55）· 22=960种方法． A 解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以 可以从其余的四个位置选择共有A41种方法， 再将其余的5个元素进行全排列共有A55种方法，最后将 甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有A41 A55 A22 ＝960种方法．
5)若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，
有多少种不同的排法？
例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，
三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念.
6)若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？ 插空法
“插空法”：某些元素不能相邻排列时，可以先排其他元 素，再将这些不相邻元素插入空挡的这种排列方法.
小结二：对于相邻问题，常 用“捆绑法”（先捆后 松）．
2 2
A
(1)三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一
起，有几种不同方法？
捆绑法：
A A A
2 2 3 3
4 4
(2)四对夫妇坐成一排照相,每对夫妇都不能隔开的 排法有多少种?
捆绑法：
AAAAA
4 4
2 2
2 2
2 2
2 2
（1）
甲
3 （3） （4） （5） 甲 乙
甲、乙及一个人
（2）
乙
甲在最左同 时乙在最右
方法二：
(直接法)
6
最左
最右
A6 A5 A5 A5
1 1
5
乙在最左
乙不在最左
（3）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、 后排四人，有几种不同排法？
3 4 7 A7 A4 A7
思考：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，
所以
两排可看作一排来处理
不同的坐法有 A7 种
练习巩固
七名学生排座位；（1）甲必须坐正中间；（2）甲不能坐两边； (1) N= (2) 甲 甲 甲 甲 甲
1 6 A5 A6 N=
先排甲
A
6 6
或
先排两边
A A
2 6
5 5
(1) 三个男生，四个女生排成一排，甲不能在中间， 也不在两头，有几种不同方法？ 找位置：
1 6 A4 A6
或
3 4 A6 A4
解：方法同上，一共有A55A33 ＝720种． ②甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有 多少种？ 解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共 有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元 素中选取2个元素放在排头和排尾，有A52种方法；将剩下的4个元 素进行全排列有A44 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行 排列有A22种方法.则这样的排法一共有A52 A44 A22 ＝960种方法．
乙
例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，
三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念.
9)甲在乙的右边(不一定相邻)，有多少种不同的排法？
对称分析法：解决等可能性排列问题.
10)甲、乙、丙三人顺序固定，有多少种不同的排法？
11)甲、乙中间恰有两人，有多少种不同的排法？
例题:
2个女生和3个男生排成一排
⑷甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
解法一：（排除法） A77-A66 A22 =3600 解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有A55种方法，此 时他们留下六个位置（就称为“空” ），再将甲、乙同学分 别插入这六个位置（空）有A62种方法.
a
b
甲
c
d
乙
e
则共有A55 A62=3600种方法．
（特殊元素、位置分析法） A A
2 3
3 3
女1 女2 男1 男2 男3 男1 男2 女1 女2 男3 女2 女1 男1 男2 男3 男1 男2 女2 女1 男3
男1 女1 女2 男2 男3
„„
N=
A
4 4
男1 女2 女1 男2 男3
4 4
„„
A
N=
A
4 4
分步:第一步 第二步
女生看作一个整体 整体内部全排列
7
练习2
5个人站成一排照相：
（l）共有多少种不同的排法？

5 5
（2）其中甲必须站在中间有多少种不同排法？
A
2 2
4 4
（3）其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
A A
4 4
（4）五人中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
AA
3 3
2 4
（5）五人中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种 不同的排法？
二、新课：例： 7位同学站成一排．
⑴甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有A22种；第二步 余下的5名同学进行全排列有A55种 则共有A22 A55 =240种排列方法 ① 甲 ② d ③ e ④ a ⑤ b ⑥ c ⑦ 乙
A22
① 乙 ② c ③ a A55 ④ e ⑤ b ⑥ d ⑦ 甲
⑵如果女生全分开，有多少种不 同排法？ ⑶如果两端都不能排女生，有多 少种不同排法？
A55A63=14400 A52A66=14400
⑷如果两端不能都排女生，有多 A 2A 6+2A 1A 1A 6 5 6 3 5 6 少种不同排法？
=36000 或A88- A32 A66=36000
例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，
插空法：
先排男生
3 4 A3 A4
注意:如果女生先排 会使女生相邻
女生插空
第一步
女生先排
N= N=
A
A
2 3
第二步
排其他人
3 3
小结： 1、捆绑法和插空法对于有的问题的确是适用的好方法，一般地， 相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法。
2、解决排列问题最常用、最基本的方法是位置分析法和元素 分法。若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置， 若以元素为主，需先满足特殊元素的要求，再处理其他元素。
解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共 有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元 素中选取2个元素放在排头和排尾，有A52种方法；将剩下的4个元素 进行全排列有A44 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排 列有A22种方法．所以这样的排法一共有A52 A44 A22 ＝960种方法．