最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分别为多少？
y 1
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π 4π 6π
-1
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2
-1
2
2
2
思 考 2: 当 自 变 量 x 分 别 取 何 值 时 , 正 弦 函 数 y=sinx取得最大值1和最小值－1？
x
2
O
2
2-1
2
2
2
余弦函数当且仅当 x 2k 时取最大值1,
当且仅当 x (2k 1) 时取最小值-1.
思考4:根据上述结论函数y=Asinωx(ω≠0)的值域是什么?
[-|A| ， |A|]
探究（三）：正、余弦函数的正负值区间
1 y y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
(1) y sin x T 2
y
Asin( x )
T
2 | |
(2) y cos x T 2
y Acos( x )
T 2 | |
练习
• 已知函数 y f ( x) 的周期是3，且当 x [0,3] 时， f ( x) x2 1 ，求 f (1), f (5), f (16).
解（1）令 z 2x 则 y sin(2x ) sin z
3
3
y sin z 的对称轴为 z k ,k Z
即2x k
2
32
解得：对称轴为
x
k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
z k 2x k
3
x k
62
-π
O
π
3π 5π x
2π
4π
6π
2
2
-11 2
y
2
y=cosx
2
2
x
2
2
2
O -1
2
2
2
sin x 0 x (2k ,(2k 1) )k Z;
sin x 0 x ((2k 1) , 2(k 1) )k Z;
cos x 0 x ( 2k , 2k )k Z;
上都是减函数.
π
2]
3]π2
对称中心 对称轴
(kπ,0)
π
x = kπ+ 2
x∈ R
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π
偶函数
在x∈[2kπ, 2kπ+ π ]
y 1y=sinx来自-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π 4π 6π
-1
正弦函数当且仅当 x 2k 时取最大值1,
当且仅当
x
2k
时取最小值-1
思考3：当自变量x分别取何值时，余弦函数y=cosx取得最
大值1和最小值－1？
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
7 2
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
… 0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
π 22
+2]k],kZ
其值从-1增至1
减区间为
[[
2
+22k，, 332
+2]k],kZ
其值从 1减至-1
思考2：类似地，余弦函数在哪些区间上是增函数？ 在哪些区间上是减函数？
y
1
-3 5 -2 3
思考： f (5) 52 1 26 吗？
奇偶性
(1) f ( x) sin x, x R 任意x R f ( x) sin( x) sin x f ( x)
f ( x) sin x, x R 为奇函数
(2) f ( x) cos x, x R 任意x R f ( x) cos( x) cos x f ( x)
2
2
-
o 2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
-
…
2
…
0… 2
…
cosx -1
0
1
0
-1
y=cosx (xR)
增区间为 [ +2k, 2k],kZ 其值从-1增至1 减区间为 [2k, 2k， + ], kZ 其值从 1减至-1
探究（二）：正、余弦函数的最值
思考1:观察正弦曲线和余弦曲线,正、余弦函数是否存在
cos x 0
x
(
2
2k
,
3
2
2k
)k
Z.
2
2
函 数 y= sinx (k∈z)
y= cosx (k∈z)
性质
定义域
x∈ R
值域 最值及相应的 x
的集合
周期性 奇偶性
单调性
[-1,1]
x= 2kπ+
π
2
时
ymax=1
x=2kπ-
π
2
时 ymin=-1
周期为T=2π
奇函数
在上在x都x∈∈是[[22增kkππ函-+数ππ22,,2,2kkππ++
对称轴：x k
练习
• 为函数 y sin(2x ) 的一条对称轴的是（ ）
3
A.x 4
3
B.x
2
y
C.x
12
D.x 0
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
解：Q 2x k
32
当K=0时，x 为对称轴
12
•
求
y sin(2x )
3
函数的对称轴和对称中心
对称中心为( k ,0) ,k Z
62
练习:求
y
cos(
1 2
x
4
)函数的对称轴和对称中心
探究（一）：正、余弦函数的单调性
思考1:观察正弦曲线,正弦函数在哪些区间上是增函数? 在哪些区间上是减函数?如何将这些单调区间进行整合？
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
三角函数
1.4.2正弦函数余弦函数的性质
定义域和值域 y 1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数 y sin x 定义域：R 值域：[-1，1] y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数 y cos x 定义域：R 值域：[-1，1] | sin x |≤1 | cos x |≤1
练习
× (1)2cos x 3 cos x 3 1 2
√ (2)sin2 x 0.5 sin x 0.5 [1,1]
周期函数是怎样定义的？
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取 定义域内的每一个值时,都有f(x +T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.
f ( x) cos x, x R 为偶函数
正弦函数的对称性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
对称中心（ k ,0)
对称轴：x k
2
余弦函数的对称性
y
1
x
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
2
3
2
2
5 2
3
7 2
4
-1
对称中心（k ,0)
2