第七章第三讲线性系统的稳定性（续）⎡例：考虑系统100111x x u ⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥−⎦⎦[]11y x⎣⎣=讨论其BIBS 、BIBO 及BIBS 、BIBO 全稳定。

解系统是不可控但可观测的可控模态是解：系统是不可控但可观测的，可控模态是−1。

根据定理7-6，系统BIBS 稳定，但非BIBS 全稳定。

又系统可控、可观的模态是−1，故系统BIBO 稳定。

但不可控、可观的模态是1，故系统也非稳定但不可控可观的模态是故系统非BIBO 全稳定。

三、总体稳定( T 稳定)定义若对任意的x (0) 及在任意有界输入u(t) 作用下, 均有x(t) 、y(t)有界, 则称系统(A-1)总体稳定。

)(A1)总体稳定总体稳定包含了BIBO全稳定和BIBS全稳定；而BIBS全稳定蕴涵BIBO全稳定，于是我们有总体稳定的充分必要条件是BIBS全稳定。

全稳定()（定）可观则有四、稳定性之间的关系命题(6-1)：（定理7-8）若（Ａ，Ｃ）可观，则有BIBO 稳定⇔BIBS 稳定证明：“⇐”显然。

下面证“⇒”：假定系统已具可控性分解形式：⎧12114111,00()[]y s u −⎡⎤⎡⎤==⎪⎢⎥⎢⎥⇒=−⎣⎦⎣⎦⎨A A B A B A C I A B []()12s ⎪=⎩G C C C 则是可控可观测的(A ,C )可观意味子系统(A 1, B 1, C 1)是可控可观测的。

BIBO ⇔A 1的所有特征值均具负实部。

另外，(A 1, B 1)可控BIBS 稳定可控、A 1的所有特征值均具负实部⇔BIBS 稳定。

证完。

命题(6-2)：（定理7-9）若（Ａ, B）可控，则有BIBS 稳定⇔Reλi(A)<0, ∀λi明只需要稳定i()即可证明：只需要证BIBS ⇒Re λA)<0即可。

事实上，系统BIBS 稳定等价于所有可控模态所对应事实上系统S的模式收敛，即可控模态（特征值）具负实部。

因为（Ａ, B）可控，故A阵的所有模态（特征值）均为可）可控故控模态，此时系统BIBS 稳定必等价于其所有特征值均具负实部从而所有的模式均收敛均具负实部，从而，所有的模式均收敛。

证完。

命题(6-3)（定理7-10）若（Ａ,B ,Ｃ）可观、可控，R )0则有BIBO 稳定⇔Re λi (A )<0证明：⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯→←(A,C)(A,B)可观可控Re ()0i λ<←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯6-16-2BIBO BIBS A 命题命题稳定稳定命题(6-4)（定理7-11）BIBS BIBS BIBS 全稳定⇔BIBS 稳定, 且A Lyapunov 稳定命题(6-5)（定理7-12）若（Ａ, Ｃ）可观，则有BIBO BIBO 稳定A BIBO 全稳定⇔BIBO 稳定、A Lyapunov 稳定证明充分性显然必要性因可观测则证明：充分性显然。

必要性：因(A , C )可观测，则所有的模式均可出现在(0)A C te x 中由于的任意性要求稳定中。

由于x 0的任意性，要求A Lyapunov 稳定。

证完推论：若（A , C ）可观，则BIBO 全稳定与BIBS 全稳定等价。

证明：由命题(6-5)，BIBO 全稳定等价于BIBO 稳定、A 6-1A 是Lyapunov 稳定；而命题（61）表明系统还是BIBS 稳定的。

故由命题(6-4)知结论真。

证完BIBS 全稳定稳定BIBO 全稳定BIBS 稳定(6-4)+A 稳定BIBS 全稳定可观(6-1)(6-5)可观(6-1,5，推论)BIBO 稳定+A 稳定BIBO 全稳定可观(6-1) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有(6-5) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有若（Ａ、Ｃ）可观，则有BIBO 稳定BIBS 稳定BIBO 全稳定BIBO 稳定,A 李氏稳定BIBO 全稳定BIBS 全稳定定理7-13若（Ａ，B，Ｃ）可观、可控，以下事实等价11.BIBO稳定;2.BIBS稳定;3.A渐近稳定;.的所有特征值具负实部;4.A ;5.传递函阵极点具负实部;6.总体稳定注：定理中的5 用到了第三章中的定理3-8：(A,B,C)可控、可观测的充分必要条件是G s的极点多项式与()A的特征多项式相等。

7-13(6-3)若（Ａ、B 、Ｃ）可观、可控，则R 定理传函阵极点A 可观可控有BIBO 稳定Re λi (A)<0负实部特征值负实部6-16-2A 渐近稳定BIBS 稳定BIBO 稳定可观可控总体稳定传函阵极点A 可观可控负实部特征值负实部A 渐近稳定BIBS 稳定BIBO 稳定可观可控总体稳定A 稳定时不变系统判断各种意义下的稳定性，一般要求出A的特征值，再对这些特征值的可控、可观性近行研究，再根据定理作判断。

因为系统的可控性、可观性与传函阵零、极点对消（或约去模态）有联系，因此可以不去判别各特征值的可控、可观性，直接计算：BIBS稳定：(s I−A)−1B (所有极点在左半面）S稳定BIBS全稳定：(s I A)(不发散) BIBS稳定−−1 )+BIBO稳定：C(s I−A)−1B (所有极点在左半面）BIBO全稳定：C(s I−A)−1 (不发散) + BIBO稳定由计算的结果判别。

例3系统状态方程和输出方程如下000⎡⎤⎡⎤b 001001⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−− x x u a a 12⎣⎦⎣⎦1y b x=−[]其中a 1、a 2和b 均为实常数，试分别给出满足下列条件时，a 1、a 2和b 的取值范围李普诺夫意义稳定1.李亚普诺夫意义下稳定；22.有界输入、有界输出(BIBO )稳定。

解：特征多项式为221()0s s a s a ++=1 李氏稳定：1)特征值个为两个有负实部10a >20a >特征值一个为0，两个有负实部；2),0a =0a >)特征值两个为0，一个有负实部。

经验算，零特征值几何重数与代数重数相同初等因子为一次12值几何重数与代数重数相同，初等因子为一次；3)10a >20=a 一个零特征值，一对共轭零实部特征值。

4) a 1=0, a 2=0，系统不稳定。

例4：考虑动态方程：001−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−= a []55155,000001+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦x x u y b x讨论当常数a 、b 为何值时有11.关于零解李氏稳定；2.系统BIBS 稳定；3.系统BIBO 稳定。

系统可控性矩阵是21525a a ⎡⎤−解系统可控性矩阵是：255100b b b a ⎢⎥⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎢⎥−⎣⎦A A 使系统不可控的a =0, 5/2。

例5 系统动态方程为1000100a u σσ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥=+⎢x x =00100001λλ⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]010y b x试分别给出系统满足各种稳定性时，参数a 、b 、σ、应满足的充分必要条件λ应满足的充分必要条件。

解可知det()0−=±由有解和二重的可知：s j σλI A 1.x =0李雅普诺夫意义下稳定:00σλ≤<渐近稳定2.x =0渐近稳定：00σλ<<3BIBS 稳定：2200,a b λ=<时其可控部分是由()决定的，只需即可；A σ为；任意实数000±≠<<时，由于有特征值，须。

必a j σλσ4BIBS 全稳定：BIBS 全稳定等价于所有可控的模式收敛所有不可控的模式不发散收敛、所有不可控的模式不发散。

时系统可控对特征值000≠<<±时，系统可控，对特征值必须。

，j a λσσ22,000a b j σλσ±=<≤；时其可控部分是由()决定的，需要其不可控部分的根均为单根：，需要就可以了。

A5BIBO 稳定：根据定理7-7:BIBO 稳定等价于所有可控可观的模式收敛可控可观的模式收敛。

时00,b a λσσλ==⎧一：时，对应若当块不可观，对应若当块不可控，为任意实数00a σσλ⎨≠<⎩，对应若当块可控，，为任意实数0b λ≠二：时，对应若当块可观00a σσλ=<⎧，对应若当块不可控，为任意，对应若当块可控000a σσλ⎨≠<<⎩，对应若当块可控，，6BIBO 全稳定：BIBO 全稳定等价于所有可控可观的模式收敛所有可观不可控模式不发散的模式收敛、所有可观不可控模式不发散：=≤⎧00,000,a b a σλσλ=⎨≠<⎩，可为任意实数第一种情形：，可为任意实数00000a b σλσ=≤<⎧≠⎨第二种情形：00a λ≠<<⎩Lyapunov第二方法29非线性系统和时变系统Lyapunov方法Lyapunov第一方法Lyapunov第二方法Lyapunov第二方法为了分析稳定性, Lyapunov y p 提出了两种方法: 第一方法 用微分方程的显式解来对稳定性进 行分析 是一个间接的方法 行分析，是一个间接的方法。

第二方法不是求解微分方程组，而是通过构 造所谓Lyapunov函数（标量函数）来直接判断运 动的稳定性，因此又称为直接法。

例:考虑如下系统关于零解的稳定性： = −5x x首先构造 个函数： 首先构造一个函数：v (x ) = x 2显然，v (x ) > 0, ∀x ≠ 0, 且v (x ) = 0 ⇔ x = 0。

现考虑v 沿上述微分方程的解对时间t的导数，有 = 2xx  = −10x 2 < 0, v 0 ∀x ≠ 0这意味着v (x )，从而x 必将渐近收敛到零。

我们 得出了这个结论但却并未求解微分方程。

例：考虑阻尼线性振动系统：1 = x2 ⎧x ⎨ 2 = − x1 − x2 ⎩xx2x1试研究其平衡状态x1 = 0, x2 = 0的稳定性。

类似于前例，取一个函数，通常称为v函数： 2 2 v (x1 , x 2 ) = 3x1 + 2x1x 2 + 2x 2易于验证，这是一个常正函数。

而方程2 3 x12 + 2 x1 x2 + 2 x2 = C , 当0 < C < ∞时表示一个椭圆族。

时表示 个椭圆族求出 v 沿微分方程解的导数：= v ∂v ∂v 2 2 1 + 2 = (6x1 + 2x 2 )x 2 + (2x1 + 4x 2 )(−x1 − x 2 ) = −2(x1 x x + x2 ) ∂x1 ∂x 2当x1和x2不同时为零时，即在相 平面上，除原点x1=x2=0外，总 有dv/dt<0，这说明v总是沿着微 分方程的运动而减小的。

也就是 说，运动轨线从v=C的椭圆的外 面穿过椭圆走向其内部。

因此， 系统关于零解必是渐近稳定的。

x2x1以上例子说明，籍助于一个特殊的 以上例子说明 籍助于一个特殊的v函数，不求 函数 不求 解微分方程，就可以按v及dv/dt的符号性质来判断零 解的稳定性。