R S (0)
( f )df
x
x
（2.38）
由相关函数定义得， 0 时，有
R (0) lim 1
T
x(t)x(t 0)dt
x
T 0
x lim 1 T x T T 0
2(t)dt lim T T 0
2 (t) T dt （2.39）
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功率谱密度函数的物理意义
比较以上两式可得：
T 2 (t)
x ( f )df lim
dt
S x
T T 0
（2.40）
上式表明：Sx( f ) 曲线下的总面积与 x2(t) T 曲线下的总面积相等，如图2.17所示
从物理意义讲，x2(t) 是信号x（t）的能量，x2(t) T 是信号x（t）的功率，从而，
T 2 (t)
x lim
dt
T T 0
功率谱分析及其应用
主讲人：冯启涛 导师：蔡明仪
随机信号的功率谱密度
随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能 直接进行傅里叶变换。又因为随机信号的频率、幅值、相 位都是随机的，因此从理论上讲，一般不作幅值谱和相位 谱分析，而是用具有统计特性的功率谱密度(power spectral density)来作谱分析。 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function) 互功率谱密度函数(cross-power spectral density function)
随机信号的互功率谱密度函数（互谱）为
S R e
(f)
xy
( ) d j 2f （2.36）
xy
其逆变换为
R S e
( )
xy
( f ) j 2 f df
xy
（2.37）
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功率谱密度函数的定义
由于S ( f ) 与 R( ) 的傅里叶变换对的关系，两者是唯一对应的。S ( f )
yx
T
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Page 14
是信号x（t）的总功率。
Page 8
功率谱密度函数的物理意义
这一总功率与 S x ( f ) 曲线下 的总面积相等，故 S x ( f )曲
线下的总面积就是信号的总 功率。 这一总功率由无数不同频率
S上x (的f )频表率示元总S功x (率f )在df 不组同成频，率
处的功率分布，因此 S x ( f )
|X
(
f
)|2
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功率谱的计算
数字信号自谱的估值计算式：
S
(k )
x
1 | X (k )|2
N
G x(k )
2 N
|X
(k )|2 其中k
0,1,2..... N 1
模拟信号互谱的估值计算式：
S X ( f ) 1
xy
T
( f )Y ( f )
Gห้องสมุดไป่ตู้Y
1
(f) X(f)
( f )
因此可在 (0, ) 频率范围内 Gx( f ) 2Sx( f ) 表示信号的全部功率谱。Gx( f ) 称为x（t）
信号的单边功率谱密度函数。如下图所示：
Page 10
功率谱密度函数的物理意义
Sx ( f ), Gx ( f )
Gx ( f )
0
Sx( f )
f
单边谱和双边谱
Page 11
功率谱的计算
中包含着 R( ) 的全部信息。因为 RX ( )为实偶函数， S x ( f ) 亦为实偶
函数。互相关函数
Rxy( ) 并非偶函数，因此
S (f) xy
具有虚、实两个部
分，同样
S( xy
f
)
保留了
R ( ) xy
的全部信息。
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功率谱密度函数的物理意义
S
(
x
f
)
和
S (f) xy
是随机信号的频域描述函数。因为随机信号的积分不收敛，
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功率谱密度函数的定义
随机信号的自功率谱密度函数（自谱）是该随机信号自相关函数的傅 里叶变换，记为 SX ( f )
S R e
(f )
() j2f d
X
X
（2.34）
其逆变换为
R S e ( )
( f ) j 2f df
X
X
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（2.35）
功率谱密度函数的定义
2 (t)dt
1
lim
2
df
T av T 0
T T
再由式（2.38）、（2.39）、（2.41）得：
（2.41）
S
x
lim
T
1 T
|X
(
f
)|2
自功率谱密度函数是偶函数，频率范围 (,) ，故称双边自功率谱密度函
数。它的频率范围在(,0) 的函数值是在 (0,) 频率范围内函数值的对称映射。
不满足狄里赫利条件，因此其傅里叶变换不存在，无法直接得到频谱。
但均值为零的随机信号的相关函数 时是收敛的，即
Rx ( ) 0
时，满足傅里叶变换条件
R| ( ) | d
x
根据傅里叶变换理论，自相关函数 Rx ( ) 绝对可积。
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功率谱密度函数的物理意义
所以对于式子（2.35），当 0 时，有
布拉克-杜开法：首先根据原始信号计算出相关函数，然后进行傅里叶变 换而得到相应的功率谱函数；
模拟滤波器法：采用模拟分析仪进行分析计算； 库利-杜开法 ：即用FFT（快速傅里叶变换）计算功率谱。
以下是库利-杜开法的估值计算式： 模拟信号自谱的估值计算式：
S
(
x
f
)
1 T
|X
(
f
)|2
Gx(
f
)
2 T
表示信号功率密度沿着频率
轴的分布，所以称 S x ( f ) 为功
率谱密度函数。
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功率谱密度函数的物理意义
下面说明自功率谱密度函数 Sx ( f ) 和幅值谱 X ( f ) 或能谱 |X ( f )|2 之间的关
系。由巴塞法尔定理，在整个时间轴上的信号平均功率为
P x |X ( f )| lim 1 T