09级高三数学总复习讲义——数列概念 知识清单1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1n（n N +∈）。
说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n -=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩；③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。
（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
（6） 数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥课前预习1．根据数列前4项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7……；（2）2212-，2313-，2414-，2515-；（3）11*2-，12*3，13*4-，14*5。
2．数列{}n a 中，已知21()3n n n a n N ++-=∈， （1）写出10a ，1n a +，2n a ；（2）2793是否是数列中的项？若是，是第几项？3．如图,一粒子在区域{}(,)|0,0x y x y ≥≥上运动,在第一秒内它从原点运动到点1(0,1)B ,接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。
（1）设粒子从原点到达点n n n A B C 、、时，所经过的时间分别为n n n a 、b 、c ，试写出}n n n a {}、{b }、{c 的通相公式；（2）求粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过秒后，它所处的坐标。
4．（1项并写出其通项公式；（2）写出5项。
5．（05广东，14相平行，任意三条直线不过同一点．=____________；，用6．（2003京春理14，文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____）内。
09级高三数学总复习讲义——等差数列知识清单1那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差的单调性：为递减数列。
：如成等差数列，那么叫做45（12项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2（3，，（4）在等差值的值1．（01天津理，2）设S n是数列{a n}的前n项和，且S n=n2，则{a n}是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C. D.2．（06全国I）B C．D3．（02京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13项B.12项C.11项D.10项4．（01全国理）设数列{a n}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A.1B.2C.45．（06全国II）设S n是等差数列｛a n｝的前nA B C．D6．（00全国）设｛a n｝为等差数列，S n为数列｛a n｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，T nn项和，求T n。
7．（98全国）已知数列｛b n｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100.（Ⅰ）求数列｛b n｝的通项b n；（Ⅱ）设数列｛a n｝的通项a n=l g（S n是数列｛a n｝的前n项和，试比较S n gb n+1的大小，并证明你的结论。
8．（02上海）设｛a n｝（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误．．的是（）A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为S n的最大值9．（94全国）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.26009级高三数学总复习讲义——等比数列知识清单1．等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．，那么这个．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5（注意：“从第二项起”、2说明：（1是等差数列；（2（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。
一般地，n（2）注意求和公式中（3）5①等比数列任意两项间的列的，公比为则有n课前预习12( ) .3．4,)A B C D8．（1996全国文，21）设等比数列｛a n｝的前n项和为S n，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；9．（2005江苏3）在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝（）（A）33 （B）72 （C）84 （D）18910．（2000上海，12）在等差数列｛a n｝中，若a10＝0，则有等式a1+a2+…＋a n=a1+a2+…＋a19－n（n＜19，n∈.类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n｝中，若b9＝1，则有等式成立。
09级高三数学总复习讲义——数列通项与求和知识清单1．数列求通项与和（1）数列前n项和S n与通项a n的关系式：a n（2）求通项常用方法①作新数列法。
作等差数列与等比数列；②累差叠加法。
最基本的形式是：a n=(a n－a n－1)+(a n－1+a n－2)+…+(a2－a1)+a1；③归纳、猜想法。
（3）数列前n项和①重要公式：1+2+…；12+22+…+n2；13+23+…+n3=(1+2+…+n)22(n+1)2；②等差数列中，S m+n=S m+S n+mnd；③等比数列中，S m+n=S n+q n S m=S m+q m S n；④裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。
用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：n·n！=(n+1)!－n!、C n－1r－1=Cnr－C n－1r⑤错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。
⑥并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S n。
数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
2．递归数列数列的连续若干项满足的等量关系a n+k=f(a n+k－1,a n+k－2,…,a n)称为数列的递归关系。
由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。
如由a n+1=2a n+1，及a1=1，确定的数列递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。
（2）迭代法。
（3）代换法。
包括代数代换，对数代数，三角代数。
（4）作新数列法。
最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。
课前预习10，首项也不为023．设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，na n，…的前n项和。
4．a，公比也为a的等比数列，567．求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n项和。
典型例题一、有关通项问题1．EG：1）试写出数列的前5项；（2）数3变式题1、（2005湖北卷）n项和为S n=2n2式；变式题2、（2005北京卷）数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{a n}的通项公式．变式题3、（2005山东卷）2、解方程求通项：EG：在等差12(3)已知变式题1（A）667 （B）668 （C）669 （D）6703、待定系数求通项：EG：变式题1、（2006年福建卷）项公式；4、由前几项猜想通项：EG ：根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.12）个.＝ .变式题2、观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（ ），其通项公式为 .A ．40个B ．45个C ．50个D ．55个二、有关等差、等比数列性质问题EG ：48，前60，则前项的和为（ ）A ．83B ．108C ．75D ．632条直线相交，最多有1个交点3条直线相交，最多有3个交点4条直线相交，最多有6个交点（1）变式1、48，前60，则前项的和为。
变式2、（江苏版第76页习题1））A．12 B．10 C．8 D．EG12，前三项的积为48，则它的首项是（）A．1 B.2 C.4 D.8变式题1、21，则A 33B 72C 84D 189三、数列求和问题EG：已等差数列，其公（1）求数列20？（3）变式题1变式题2、EG变式题1、变式题2、（2007全国1文21）n变式题2q，前n项和为S n，若S n+1,S n，S n+2成等差数列，则q的值为.3EG变式题、（05天津）n项和EG：（12）已变式题1、变式题2、数列{a n}中，a1＝8，a4＝2，且满足：a n+2－2a n+1＋a n＝0（n∈N*），（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；m，使得任意的n求出m；若不存在，请说明理由．实战训练A1．（07重庆文）在等比数列{a n}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为（A）2 （B）3 （C）4 （D）82．（07重庆理）若等差数列）A．3 B.4 C. 5 D. 63．设为公比q>14．（070）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．85．设等差数列的公差是2，前项的和为6．等差数列{a n}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和S n=100,则n=(A)9 (B)10 (C)11 (D)125.等差数列{a n}的前n项和为S n（A）12 （B）18 （C）24 （D）426．（全国2文）已知数列的通项，则其前项和7．（07全国1，，成等差数列，则的公比为．810）9．已成等比数列，且曲线顶点是则）Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．110511．（07）A．63 B．45 C．36 D．2712．（07实战训练B1．（072．（07湖南文）中，则该数列的前10项和为（）A B C D3．（07为）A．2 B．3 C．4 D．54．（07广东理）已知数列的第A．B． C.D5．（07广东文）已知数列；若它的第项满足，则6．数列的前项和为，若，则）A．1 B C D7）8，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第项．9，则此数列的通项公式为10．（07安徽文）等差数列前和为若（A）12 （B）10 （C）8 （D）611．（07）A．63 B．45 C．36 D．2712．，（I（II。