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高中数学数列知识点总结

数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义:1n n a a d +-=(d 为常数),()11n a a n d =+- 等差中项:x A y ,,成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()11122n n a a n n n S nad +-==+性质:{}n a 是等差数列(1)若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+;(2)数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列,232n n n n n S S S S S --,,……仍为等差数列,公差为d n 2;(3)若三个成等差数列,可设为a d a a d -+,, (4)若n n a b ,是等差数列,且前n 项和分别为n n S T ,,则2121m m m m a S b T --= (5){}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+(a b ,为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数)n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值;或者求出{}n a 中的正、负分界项,即:当100a d ><,,解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>,,由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ,有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n Snd S S =-奇偶,1+=n na a S S 偶奇. (7)项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ,有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-,n a S S =-偶奇,1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质定义:1n na q a +=(q 为常数,0q ≠),11n n a a q -=. 等比中项:x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=,或G =前n 项和:()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩(要注意!)性质:{}n a 是等比数列(1)若m n p q +=+,则mn p q a a a a =·· (2)232n n n n n S S S S S --,,……仍为等比数列,公比为n q . 注意:由n S 求n a 时应注意什么?1n =时,11a S =; 2n ≥时,1n n n a S S -=-. 3.求数列通项公式的常用方法 (1)求差(商)法如:数列{}n a ,12211125222n n a a a n +++=+……,求n a解 1n =时,112152a =⨯+,∴114a = ①2n ≥时,12121111215222n n a a a n --+++=-+…… ②①—②得:122n n a =,∴12n n a +=,∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩[练习]数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==,,求n a注意到11n n n a S S ++=-,代入得14n nS S +=;又14S =,∴{}n S 是等比数列,4n n S =2n ≥时,1134n n n n a S S --=-==……· (2)叠乘法如:数列{}n a 中,1131n n a na a n +==+,,求n a解3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……,∴11n a a n=又13a =,∴3n a n =. (3)等差型递推公式由110()n n a a f n a a --==,,求n a ,用迭加法2n ≥时,21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++…… [练习]数列{}n a 中,()111132n n n a a a n --==+≥,,求n a (()1312nn a =-)(4)等比型递推公式1n n a ca d -=+(c d 、为常数,010c c d ≠≠≠,,)可转化为等比数列,设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=,∴1d x c =-,∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11d a c c +-,为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·,∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭ (5)倒数法 如:11212nn n a a a a +==+,,求n a 由已知得:1211122n n n na a a a ++==+,∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,111a =,公差为12,∴()()11111122n n n a =+-=+·,∴21n a n =+( 附:公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. 如:{}n a 是公差为d 的等差数列,求111nk k k a a =+∑解:由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·∴11111223111111111111nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭[练习]求和:111112123123n+++++++++++ (121)n n a S n ===-+…………, (2)错位相减法若{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列,求数列{}n n a b (差比数列)前n 项和,可由n n S qS -,求n S ,其中q 为{}n b 的公比.如:2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时,()()2111nnnx nx S xx -=---,1x =时,()11232n n n S n +=++++=…… (3)倒序相加法把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……[练习]已知22()1x f x x =+,则 111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2222222111()111111x x x f x f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦(附:a.用倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列{a n },与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。

我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:等差数列前n 项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。

b.用公式法求数列的前n 项和对等差数列、等比数列,求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。

运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。

c.用裂项相消法求数列的前n 项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前n 项和。

d.用错位相减法求数列的前n 项和错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。

即若在数列{a n ·b n }中,{a n }成等差数列,{b n }成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前n 项和。

e.用迭加法求数列的前n 项和迭加法主要应用于数列{a n }满足a n+1=a n +f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下,可把这个式子变成a n+1-a n=f(n),代入各项,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,经过整理,可求出a n,从而求出S n。

f.用分组求和法求数列的前n项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。

g.用构造法求数列的前n项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项的特征,构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求出数列的前n项和。

)。

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