2
2 2 2
y
较小 较大
上式中， 称为方差：
表示的
2 n 2
x=
[ ] lim lim n n n n
2 2 1 2 2
离散程度

称为标准差：
[2 ] [] lim lim n n n n
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衡量精度的标准 • 在测量工作中，常采用以下几种标准评定测 量成果的精度。 – 中误差 – 相对中误差 – 极限误差
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§6.4
1.方差与标准差
衡量精度的指标
y
2 2
由正态分布密度函数
x
式中
1 e 2
x a 2
正态分布曲线(a=0)
a、
e =2.72828… 为常数；
2 2
2
令： x a ，上式为：
x=
1 y f () e 2
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标准差 的数学意义
1 y f () e 2
(抵偿性)：
1 2 n lim lim 0 n n n n 特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
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偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小 (d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性。
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用频率直方图表示的偶然误差统计：
频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近， 对称于y轴。 各条形顶边中点 连线经光滑后的曲 线形状，表现出偶 然误差的普遍规律
测量的基本任务
高差测量
1.水准仪的使用及其普通 水准测量步骤 2.水准测量成果计算表 （闭合、附合）按距离 调整、按测站数调整 3.水准仪的检校。重点是i 角的校验与校正
角度测量
1.测回法测水平角，记录、 计算过程 2.竖直角的观测，记录、计 算 3.盘左、盘右观测法的好处
距离测量
1.钢尺量距 2.视距测量计算公式 3.直线定向与直线定线
其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比 较离散，其精度较低：
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2.容许误差(极限误差)
根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间 d内的概 2 率为： 1 2
P() f ()d
km
2 m
e
2m
d
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
图6-1 误差统计直方图 鲁东大学地理与规划学院
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衡量精度的标准
• 测量成果中都不可避免地含有误差，在测量工作中， 使用“精度”来判断观测成果质量好坏的。所谓精 度，就是指偶然误差分布的密集或离散程度。误差 分布密集，误差就小，精度就高；反之，误差分布 离散，误差就大，精度就低。 • 一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精 度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。 一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。
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3.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，
表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差， 导致观测值产生误差 。
4.几个概念:
● 准确度(测量成果与真值的差异） ● 精（密）度（观测值之间的离散程度） ● 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） ● 测量平差（求解最或是值并评定精度）
2 1 2 2 2 2 2 n 2 n

f x f x f x
2
K
2 1
K
K
K
即
m f m f m f m
2 z 2 1 2 x1 2 2 2 x2 2 n
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2 xn
(h)
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|容|=3|m| 或 |容|=2|m|
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3.相对误差(相对中误差)
——误差绝对值与观测量之比。 用于表示距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m； S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。 解：
上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：
i=i - X
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P123表5-2
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m1=2.7是第一组观测值的中误差；
m2=3.6是第二组观测值的中误差。
m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，
● 测量误差（真误差=观测值-真值） l X ● 测量误差的表现形式 l X （观测值与真值之差） （观测值与观测值之差） l l ij i j ● 测量误差的来源
（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等
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图6-1 误差统计直方图
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◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误 差的四个特性：
3.偶然误差的特性
(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定 的限值(有界性)； (2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋向性)； (3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)； (4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零
(f)
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f x f x f x 2 f f x x
2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 n 2 n n
f x f x f x 2
2
(f)式两边除以K，得(g)式：
i , j 1 i j
i
j
i
j
(f)
<<前面各项
K
2 1
2 1
K
2 2
2 2
K
2 n
2 n
K
由偶然误差的抵偿性知：
i , j 1 i j
f f
i
n
j
x x (g)
i j
K
x x lim 0
i j n
n
(g)式最后一项极小于前面各项， 可忽略不计，则：
(c)
令 xi 的系数为
， (c)式为：
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对Z观测 了k次， 有k个式
(1) (1) (1) f1x1(1) f 2 x2 f n xn ( 2) ( 2) ( 2) f1x1( 2) f 2 x2 f n xn
m f m f m f m
2 z 2 1 2 x1 2 2 2 x2 2 n
2 xn
(h)
考虑
fi
F xi
，代入上式，得中误差关系式：
2 2 2
F 2 F 2 F 2 mZ x m1 x m2 x mn 1 2 n
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粗差——要细心，注意避免读错、记错、听错 系统误差——检校仪器，加改正数、对称观测 偶然误差——多余观测，提高仪器等级、求最可 靠值 •如何处理含有偶然误差的数据？ –例如： –对同一量观测了n次
5、处理原则
•对标靶射n次 ，观测值为 :l1,l2,l3,….ln •如何评价数据的精度？ •如何取值？ •以上就是研究误差的两个目的 8 鲁东大学地理与规划学院
P( km)
km
1 e 2 m
2 2 2m
d
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在 一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率： P(|| m)=0.683=68.3 P(||2m)=0.954=95.4 P(||3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：
前面章节小结（重点掌握内容）
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测 量 学
第 6章
测量误差及数据处理的基本知识
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本章主要内容
1
2
测量误差的概念
评定精度的标准
3
4
观测值的精度评定
误差传播定律
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0.02 1 K1=—— =—— 100 5000
0.02 1 ； K2= —— = —— 200 10000
K2<K1，所以距离S2精度较高。