ε=n lim ∞
∑(x −m)
i=1 i
n
2
t
sx =
x
(xi − x)2 ∑
i=1
n
−
n
n −1
实验中先用贝塞尔公式计算测量列的标准偏差,然后,用t分布因 子对标准偏差进行修正,从而获得测量列的标准偏差.实验中常用 的t因子如表: 当n>6时,ε≈s 证明见后 ε=sχT0.683统误差大
准确度高
正确度好但精密度差 正确度好但精密度
不确定度(uncertainty) 不确定度
不确定度是测量结果带有的一个参数,用以表征合理赋予被测量值的分散性.不确定度提
供了测量分散范围的一个量度,它以很大的可能性包含了真值.它包含有A类不确定 度分量(随机误差统计分析所获)和B类不确定度分量(非统计方法所获).
δ仪
-δ仪 δ
Δ仪
均匀分布
对于正态分布:仪器不确定度 对于正态分布 仪器不确定度 u仪与仪器误差限的关系为 与仪器误差限的关系为:u 仪=kp×δ仪/C 为置信因子, kp为置信因子,在一倍标准偏 差下的置信概率0.683,C=3, 差下的置信概率0.683,C=3, 故uB=δ仪/3.
综上所述,所谓 类不确定度应由贝塞尔公式 算出有限次测量的标准偏差,然后 综上所述 所谓A类不确定度应由贝塞尔公式 算出有限次测量的标准偏差 然后 所谓 类不确定度应由贝塞尔公式S算出有限次测量的标准偏差 用平均标准偏差S 作为A类不确定度 类不确定度u 再由u 乘以因子t 用平均标准偏差 X作为 类不确定度 A = S X 再由 A乘以因子 p来求得扩展不 n 确定度UA.所以 确定度 所以: UA=uA×tP 所以 B类不确定度的评估 类不确定度的评估: 类不确定度的评估
= x1 − A
，
∆x 2 = x 2 − A
，．．．
∆x n = x n − A
算术平均值为：
1 n 1 n 1 n x = ∑ xi = ∑ ( A + ∆xi ) = A + ∑ ∆xi n i =1 n i =1 n i =1
当测量次数 n→∞ 时则有： 若n为有限次测量，则有：
2 2 u = uA + uB
u= A +B
2
2
u = uA + uB
2
2
讲义上用实验标准偏差和 仪器的基本误差限来合成. 仪器的基本误差限来合成
3.不确定度与误差的关系 不确定度与误差的关系
误差和不确定度是两个不同的概念. 误差和不确定度是相互联系
1.测量值的最佳值─算术平均值
设真值为A，则各次测量值的绝对误差： ∆X i = xi − A 分别为： x1 ∆
表中因子tp与测量次数n之间的关系
tp p 0.68 0.90 0.95 0.99 n 3 1.32 2.92 4.30 9.93 4 1.20 2.35 3.18 5.84 5 1.14 2.13 2.78 4.60 6 1.11 2.02 2.57 4.03 7 1.09 1.94 2.45 3.71 8 1.08 1.89 2.37 3.50 9 1.07 1.86 2.31 3.36 10 1.06 1.83 2.26 3.25 15 1.04 1.76 2.15 2.98 20 1.03 1.73 2.09 2.86 ∞ 1 1.65 1.96 2.58
测量误差与数据处理
一 测量与误差(measurement and error measurement error)
测量的定义: 测量的种类 {
测量就是用实验的手段对客观事实获取定量信息的过程.
1.直接测量(单次测量和多次测量)和间接测量 2.等精度测量和非等精度测量
误差的基本概念 误差的公理:误差始终存在于一切科学实验之中. 误差的定义:
测量仪器的误差来源很多,在物理实验中,常常把由国家技术标准或检定规程规定的计量器具 的允许误差或允许基本误差,经过适当简化称为仪器的误差限,用δ仪表示.仪器误差限与仪器 的级别有关,即δ仪=仪器级别/100×量程.实际上,仪器的误差在[-δ仪,δ仪]范围内是按一定 概率分部的.
-δ仪 δ -δ仪 Δ仪 三角分布 正态分部
这些区间被称为置信区间,测量误差在置信区间出现的概率叫置信率.为此正态分部 具有如下几个性质:
（１）单峰性 当x=A 时,f(A)=max=m （２）对称性 f(A-∆x)=f(A+∆x) （３）有界性 [f(x)]x>A+3ε≈0或[f(x)]x<A-3ε≈0 或 x<A（４）抵偿性 lim ∑ ∆ x = lim ∑ ( x − A ) = 0
s
x
=
∑
n
( x
i =1
i
− x )
−
2
(贝塞尔公式)
n − 1
算术平均值的标准偏差
算术平均值的标准偏差比有限次测量列的标准偏差要小的多．用
作为不确定度的A分量.
S
x
SX =uA
=
S n
=
∑
n
( x
n =1
i
− x )
−
2
n (n − 1)
高斯分布( 高斯分布 gaussian distribution)(S)与(T)(student distribution)分布: 高斯方程中的标准偏差ε是个理论值,只有当n→∞时,才趋于高斯分布. 在实际测量中,只进行有限次测量,而有限次测量的随机误差服从t分布, 如图所示: Fx) G
２．随机误差(stochastic error) ．随机误差 特点:随机误差是指在多次等精度测量中,误差的变化是随机的,忽大忽小, 忽正忽负,没有规律,当测量次数增多时就满足某一统计规律.
来源：（人的感官灵敏度和仪器精度限制；周边环境的干扰；被测对象 的不稳定性；）
３．粗大误差 粗大误差(gross error) 粗大误差
∫ε f (ε
+2 ε −2
) d (ε x ) = 68 .3 %
P ( − 2ε , + 2ε =
P ( − 3ε , + 3ε ) =
∫ε
f (ε x ) d (ε x ) = 94 . 5 %
) d (ε x ) = 99 .7 %
+3ε
−3
∫ε f (ε
x
误差在3倍标准差区间 误差在 倍标准差区间(-3ε-+3ε)区间出现的概率 倍标准差区间 区间出现的概率 是0.997.
来源：（实验者使用仪器方法不当或粗心大意读错、记错、算错、以及实验 条件突变等原因引起．）
← ↑
→
测量结果的评估: 测量结果的评估 精密度(precision)—表示多次等精度测量时所得各测量值的离散成度.精密 精密度 度高说明数据比较集中,随机误差小. 正确度(validity)---表示测量值与真值的接近程度.正确度高表明系统误差小. 正确度 准确度(accuracy)---它表示系统误差和随机误差的综合结果.准确度高说明 准确度 系统误差和随机误差都小,测量数据均集中在真值附近.所以人们期望的是准 确度高的测量结果.
k k k→∞ 1 k i=k i k→∞ 1 k i =1 i
总体标准偏差ɛ(standard deviation)
.因为正态分布中的m是n→∞时的总体平均值，不考虑系统误差分量时，ɛ称为标准误差，m 就称为近真值．但实验中不可能n➙∞,所以m是一个理想值,ε是理论值,所谓置信率p=68.3% 也是理论值;了.
ε = n lim
∑
∞
n
i =1
(xi − m )2 n
有限次测量列的标准偏差
实际的测量次数总是有限的，物理实验中常取5≤n≤10，因此实际应用中的有限次测量的概率分部 曲线下部就变的较为平坦,这种分部曲线称为t分部,也叫学生分部,其标准偏差公式也就是贝塞尔公 式：它的置信率接近于68.3%,但不等于68.3%
lim
n → ∞
1 n
∑
n
i=1
∆ xi = 0
x=A
1 n lim ∑ ∆xi ≈ 0 n →∞ n i =1
−
x ≈ A
合成不确定度:
测量结果表达方式:
x = x± u
三．随机误差(A类不确定度的评估)的分布与特性
随机误差是指在多次等精度测量中,误差的变化是随机的,忽大忽小,忽正忽负,没有 规律,当测量次数增多时就满足某一统计规律.最常见的就是正态分布. 正态分布(normaal distribution) 概率密度f(x): (高斯方程) F(x)
物理实验中的测量次数是有限次的,概率密度曲线变的平坦,这种分布称为t 分布或学生分布.那么对于有限次测量结果,要想保持同样的置信率,显然要 扩大置信区间,即把uA乘以一个大于1的因子tp.在t分布下,A类不确定度 UA=tpuA.若要保持与正态分布相同的置信率(p=0.683),置信区间就要扩大到 [x-tpuA,x+tpuA],其中的TP与测量次数有关.
2
σ
f (x) =
1
ε
2π
e
−( x− m )2 / 2ε
式中： m =
∑
n
n
lim
∞
i =1
xi
n
m-ɛ m m-ɛ x
M称为总体平均值；
ε =
∑
n
n
lim
∞
i=1
(xi − m ) n
2
ε是高斯方程中的特征量,称标 准偏差.f(x)定了,ε也唯一地 ε 确定了.ε越小,曲线越陡,反之 则越平坦.
误差的分类
１．系统误差 系统误差(systematic error) 系统误差
定义:对同一物理量进行等精度测量时,误差为常数或以一定规律变化的误差称为 定义 系统误差. 来源：（a .仪器本身缺陷；不完善的标准；人为使用不当．b .理论或方法的误差 来源 (T = 2 π l