―12]
再将其有理化就得到了 CAD 系统重要的造型 工具—非均匀有理 B 样条。 ( ) wi N i, p Ri , p ( ) n ( ) wi N i, p

i 0
(2)
S ( ) Ri , p ( ) Pi
i 0
n
(3)
。
其中： Ri , p ( ) 为阶数为 p 的第 i 个 NURBS 基函数；
Abstract: A novel numerical boundary method, scaled boundary isogeomtric analys (SBIGA), is applied to fracture mechanics problem. Comparisons on accuracy and convergence rate in calculating stress intensity factor (SIFs) have been carried out for SBIGA and the scaled boundary finite element method (SBFEM). In contrast to SBFEM, NURBS is used to geometric modeling and boundary discretization in SBIGA. It is characterized by the following two aspects. Firstly, the model of boundary isogeometric representation can be imported from CAD directly. Thus, the time costs of mesh generation are saved and it avoids geometric approximation. On the other hand, it can be automatically refined without further communication with the CAD system and keeps geometry invariability. Adaptive analysis strategy can be employed conveniently for 2D problems. The numerical results show that, in comparison with SBFEM, more accurate result and higher convergence rate could be achieved through SBIGA. This is due to geometric accurate description, as well as higher order continuity of NURBS. Key words: SBFEM; NURBS; stress intensity factor; fracture mechanics; adaptive analysis 断裂特性分析在结构安全性能评定中具有重 要意义。其中的一个重要内容是计算应力强度因 子。计算机飞速发展使包括有限元 、边界元 、 扩展有限元 等各种数值手段准确模拟复杂工程结 构的断裂行为成为可能。然而这些数值方法还存在 着不同程度的局限性，如在分析裂纹尖端奇异应力 时需要引入特殊的函数、特殊的单元或密集的网格。
要：该文将比例边界等几何方法(SBIGA)应用在断裂力学中，并就应力强度因子(SIFs)计算精度和收敛速度与
传统比例边界有限元(SBFEM)进行了比较。与 SBFEM 不同，SBIGA 采用非均匀有理 B 样条(NURBS)作为造型和 离散的工具。主要包括了以下两个特点：一方面，有限元模型可直接继承于 CAD 系统，即节约划分网格的时间 也避免了几何近似。另一方面，因为不需要进一步与 CAD 系统数据交换就可以保型细分，二维问题中自适应分 析策略的实施十分方便。算例表明，SBIGA 方法可以给出较 SBFEM 更为精确的结果和更快的收敛速度。其原因 不仅得益于对曲边几何形状的精确描述，还来源于 NURBS 高阶的连续性。 关键词：比例边界有限元；非均匀有理 B 样条；应力强度因子；断裂力学；自适应分析 中图分类号：O346.1 文献标志码：A doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2014.12.1085
[3] [1] [2]
这使得分析变得不方便或带来较大的计算工作量。 比例边界有限元是最早于 20 世纪 90 年代末由 Song 和 Wolf[4
―5]
提出的一种全新的半解析方法。 由
于引入比例坐标系统，该方法如同边界元一样仅需 要离散计算域的边界，但不需要基本解。不但避免 了奇异积分的复杂计算，还使其可以方便地分析各 向异性材料。在裂纹尖端，物理场沿环向的变化平
使用加权余量法对弹性力学微分方程环向弱 化，可以得到控制方程(二阶常微分方程组)和边界 条件如下：
函数相关。
E 0 2 u( ), ( E 0 + E 1T E 1 ) u( ), E 2 u( ) 2 Fb ( ) Ft ( ) 0 E u, E u P
第 33 卷第 7 期 2016 年 7 月
Vol.33 No.7 July 2016
工
程
力
学 7
ENGINEERING MECHANICS
文章编号：1000-4750(2016)07-0007-08
比例边界等几何方法在断裂力学中的应用
庞
摘
林，林 皋，钟 红
(大连理工大学建设工程学部水利工程学院，大连 116024)
———————————————
收稿日期：2014-12-29；修改日期：2015-03-30 基金项目：国家自然科学基金项目(51579033)；国家自然科学青年基金项目(51109134)；中国博士后基金特别项目(2013T60283)；国家自然科学 基金委创新研究群体项目(51421064) 通讯作者：庞林(1989―)，男，河北人，博士生，主要从事水工结构抗震研究(E-mail: panglin1989@). 作者简介：林皋(1929―)，男，江西人，教授，博导，中国科学院院士，主要从事水利工程及地震工程研究(E-mail: gaolin@)； 钟红(1981―)，女，湖南人，副教授，博士，主要从事混凝土结构静动力分析研究(E-mail: hzhong@).
0 1T
(6) (7)
图 2 坐标系变换及 NURBS 离散模型 Fig.2 Coordinates system transformation and NURBS discrete model
其中：E0、E1 和 E2 为与几何相关的常系数矩阵；P 为=1 的外边界力。当体积力 Fb ( ) 或通过相似中 心 O 的非离散的侧边界(图 2 中 OA、OB)上的作用 力 Ft ( ) 均为零时，满足控制方程的通解可以表示 成位移模态求和的形式，其中积分常数 ci 可由边界 条件确定。
3 自适应分析策略
图 3 给出了 h 细分(结点插入)和 p 细分(连续性 升阶)两种细分方式， 从图中可以看出非均匀有理 B 样条具有灵活的保型细分特性，计算模型始终与从 CAD 导入的设计模型一致。 计算中， 可以根据求解 的收敛情况细分模型，达到自适应分析的目的。预 先给定允许位移容差 u 和判据：
( ) 对应的权系数。非均 wi 为与 B 样条基函数 N i, p
匀有理 B 样条 S ( ) 由式(3)给出，式中 Pi 为控制点 向量。
(a) 基函数
(b) 非均匀有理 B 样条曲线 图 1 非均匀有理 B 样条曲线的构造 Fig.1 Construction of NURBS curve
图 1 中样条曲线的节点矢量为 ={0,0,0,0.5, 0.5,1,1,1}，基函数的阶数 p=2，控制点构成的控制 网如上图中虚线所示。 非均匀有理 B 样条作为基函 数具有以下特点[13]： 非负性、 单位分解性、 凸包性、 紧支性、灵活的连续性、保型的 p 细分(升阶)或 h 细分(插入节点)策略；显式的导数表达式。
SCALED BOUNDARY ISOGEOMTRIC ANALYS APPLIED TO FRACTURE MECHANICS PROBLEM
PANG Lin , LIN Gao , ZHONG Hong
(School of Hydraulic Engineering, Faculty of infrastructure Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)
2 比例边界等几何分析方法
如图 2 所示，外边界采用 NURBS 基函数离散 表示，可写成式(5)所示形式。进而通过比例变换的 思想，域内任一点坐标可表示为：
工
程
力
学
9
ˆ ( , ) ( R( ) xcps x0 ) x0 x (4) ˆ( y , ) ( R( ) ycps y0 ) y0 物理域的位移场可以近似地按等参的形式 构造： u ( , ) R( )u( )cps (5)
传统的比例边界有限元方法，边界采用拉格朗 日基函数离散。使用该基函数进行插值，对于不连 续数据，震荡现象会随基函数阶数的增加而加剧。 而计算机辅助设计(CAD)系统中常用的基函数非均 匀有理 B 样条(NURBS)则可以保持插值曲线的平滑 性[13]。用 NURBS 插值沿环向平滑变化的应力场应 更加合适。此外，NURBS 具有优秀的造型能力， 是沟通 CAD 几何模型设计和有限元分析的重要手 段[14]。使有限元分析的模型与设计的模型一致，无 需剖分网格。这不但确保了几何外形的精确性还节 省了划分网格的耗时。由于其具有保型细分的能 力，二维问题中自适应分析策略的实施也十分方 便。因而使用 NURBS 作为外边界造型和离散的基 函数可以在一定程度上提高了比例边界有限元分 析问题的能力，并使其有望实现 CAD 与 CAE 的无 缝对接。在文献[15]中，本文作者之一将这种方法 称 作 比 例 边 界 等 几 何 分 析 方 法 (Scaled Boundary Isogeomtric Analys-SBIGA)，并已被应用于求解静 力和动力问题[16]。本文将该方法进一步扩展到断裂 力学问题的分析中。基于简单的自适应策略，比较 了该方法与传统比例边界有限元的收敛行为。并定 性讨论其能够提高分析精度的原因。值得注意的 是，几乎同时 Natarajan[17]也做了相关的研究。与之 不同，本文更侧重于通过自适应策略对 SBIGA 收 敛行为和精度来源的讨论。