第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7不变子空间
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
§7.2 线性变换的运算
一、线性变换的乘积 二、线性变换的和 三、线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆 五、线性变换的多项式
1 1
1 k 1 k 1 1 k 1 1 k 1 k 1 k 1
1 是V的线性变换.
§7.2 线性变换的运算
(2) 线性变换 可逆 线性变换 是一一对应. 证：" " 设 为线性空间V上可逆线性变换. 任取 , V , 若 ( ) ( ), 则有 ( 1 )( ) 1( ( )) 1( ( ))
X Pnn
则 , 皆为 Pnn 的线性变换，且对 X P nn , 有
( )( X ) ( ( X )) ( XB) A( XB) AXB, ( )( X ) ( ( X )) ( AX ) ( AX )B AXB.
.
§7.2 线性变换的运算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、 线性变换的和
§7.2 线性变换的运算
一、 线性变换的乘积
1．定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们
的乘积 为： , V
则 也是V的线性变换.
事实上， ( )( ) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( ),
( 1 )( ) . 为单射. 其次，对 V , 令 1( ), 则 V ,且 ( ) ( 1( )) 1( ) . 为满射. 故 为一一对应.
§7.2 线性变换的运算
" " 若 为一一对应，易证 的逆映射 也为V 的线性变换，且 E. 故 可逆， 1 .
§7.2 线性变换的运算
(3) 设 1, 2 , , n 是线性空间V的一组基， 为V的
线性变换，则 可逆当且仅当 (1 ), ( 2 ), , ( n )
线性无关.
证：" " 设 k1 (1 ) k2 ( 2 )
于是 (k11 k2 2 kn n ) 0
kn ( n ) 0.
故 (1), (2 ), , (r ) 线性无关.
§7.2 线性变换的运算
kr 0.
五、线性变换的多项式
1．线性变换的幂
设 为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义
n ,
n
称之为 的n次幂. 当 n 0 时，规定 0 E（单位变换）.
§7.2 线性变换的运算
注：
① 易证 mn m n , m n mn ,
m,n 0
② 当 为可逆变换时，定义 的负整数幂为
n 1 n
③ 一般地， n n n.
§7.2 线性变换的运算
2．线性变换的多项式
设 f x am xm a1x a0 P[x],
为V的一个线性变换，则 f ( ) am m a1 a0E
也是V的一个线性变换，称 f ( )为线性变换 的
§7.2 线性变换的运算
练习：设 , 为线性变换，若 E,
证明： k k k k1, k 1.
证：对k作数学归纳法.
当k=2时，若 E,
①
对①两端左乘 ，得 2 ,
对①两端右乘 ，得 2 ,
上两式相加，即得 2 2 2 2 21.
§7.2 线性变换的运算
D f x f x
J
f
x
x
0
f
t
dt
DJ f x D
x
0
f
t dt
f x,
即 DJ E.
而，
JD
f
x
J
f x
x
0
f t dt
f
x
f
0
DJ JD.
§7.2 线性变换的运算
例2. 设A、B Pnn为两个取定的矩阵，定义变换
( X ) AX , ( X ) XB,
也为V的一组基. 因而，对 V , 有
k1 (1 ) k2 ( 2 ) kn ( n ),
即有 (k11 k2 2 kn n ) . 为满射.
§7.2 线性变换的运算
n
n
其次，任取 , V , 设 aii , bii ,
i 1
i 1
若 ( ) ( ), 则有
则称 为可逆变换，称 为 的逆变换，记作 1.
2．基本性质
(1) 可逆变换 的逆变换 1 也是V的线性变换.
§7.2 线性变换的运算
证：对 , V , k P,
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
1．定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们
的和 为： , V
则 也是V的线性变换.
事实上， ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ( )(k ) (k ) (k ) k ( ) k ( ) k( ( ) ( )) k( )( ).
的向量组.
证：设 为线性空间V的可逆变换，1,2 , ,r V
线性无关. 若 k1 1 k2 2 kr r 0.
则有， (k11 k22 krr ) 0
又 可逆，于是 是一一对应，且 (0) 0
k11 k22 krr 0
由 1,2 , ,r 线性无关，有 k1 k2
n
n
ai (i ) bi (i ),
i 1
i 1
(1 ), ( 2 ), , ( n ) 线性无关
ai bi , i 1, 2, , n, 即 . 从而， 为单射. 故 为一一对应.
由(2)， 为可逆变换.
§7.2 线性变换的运算
(4) 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关
( )(k ) ( (k )) (k ( )) k ( ( )) k( )( )
§7.2 线性变换的运算
２．基本性质
（1）满足结合律：
（2） E E ，E为单位变换
（3）交换律一般不成立，即一般地，
.
§7.2 线性变换的运算
例1. 线性空间 R[x]中，线性变换
假设命题对 k 1时成立，即
k1 k1 (k 1) k2 .
②
对②两端左乘 ，得
k k1 (k 1) k1,
③
对①两端右乘 k1, 得
k1 k k1,
④
③＋④，得 k k k k1.
由归纳原理，命题成立..
§7.2 线性变换的运算
, V
则 也为V的线性变换，称之为 的负变换.
注： ( ) 0
§7.2 线性变换的运算
三、 线性变换的数量乘法
1．定义
设 为线性空间V的线性变换，k P, 定义 k与 的数量乘积 k 为：
k k , V
则 k 也是V的线性变换.
§7.2 线性变换的运算
2．基本性质
因为 可逆，由(2)， 为单射，又 (0) 0,
§7.2 线性变换的运算
k11 k2 2 kn n 0 而 1, 2 , , n线性无关，所以 ki 0, i 1, 2, , n.
故 (1 ), ( 2 ), , ( n ) 线性无关. " " 若 (1 ), ( 2 ), , ( n ) 线性无关，则它
(1) (kl) k(l ) (2) (k l) k l (3) k( ) k k (4) 1
注： 线性空间V上的全体线性变换所成集合对于
线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性 空间，记作 L(V ).
§7.2 线性变换的运算
四、 线性变换的逆
1．定义
设 为线性空间V的线性变换，若有V的变换 使 E
§7.2 线性变换的运算
2．基本性质
（1）满足交换律：
（2）满足结合律：
（3） 0 0 , 0为零变换.
（4）乘法对加法满足左、右分配律：
§7.2 线性变换的运算
3．负变换
设 为线性空间V的线性变换，定义变换 为：
多项式.
§7.2 线性变换的运算
注： ① 在 P[x] 中，若
h x f x g x, p x f x g x 则有，h f g ,
p f g
② 对 f ( x), g( x) P[x], 有
f g g f f g g f
即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.