MATLAB插值与拟合2015.4.19 19:21 【目录】1. 线性拟合函数：regress()2. 多项式曲线拟合函数：polyfit( )3. 多项式曲线求值函数：polyval( )4. 多项式曲线拟合的评价和置信区间函数：polyconf( )5. 稳健回归函数：robustfit( )§1曲线拟合实例：温度曲线问题气象部门观测到一天某些时刻的温度变化数据为：t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10T 13 15 17 14 16 19 26 24 26 27 29试描绘出温度变化曲线。
曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系，由此可描绘其变化曲线及估计非采集数据对应的变量信息。
曲线拟合有多种方式，下面是一元函数采用最小二乘法对给定数据进行多项式曲线拟合，最后给出拟合的多项式系数。
1. 线性拟合函数：regress()调用格式：b=regress(y,X)[b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X)[b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X,alpha)说明：b=regress(y,X)返回X处y的最小二乘拟合值。
该函数求解线性模型：y=Xβ+ε;β是p´1的参数向量；ε是服从标准正态分布的随机干扰的n´1的向量；y为n´1的向量；X为n´p矩阵。
bint返回β的95%的置信区间。
r中为形状残差，rint中返回每一个残差的95%置信区间。
Stats向量包含R2统计量、回归的F值和p值。
例1：设y的值为给定的x的线性函数加服从标准正态分布的随机干扰值得到。
即y=10+x+ε；求线性拟合方程系数。
程序：x=[ones(10,1) (1:10)’]y=x*[10;1]+normrnd(0,0.1,10,1)[b,bint]=regress(y,x,0.05)结果：x =1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 10y =10.956711.833413.012514.028814.885416.119117.118917.996219.032720.0175b =9.92131.0143bint =9.7889 10.05370.9930 1.0357 即回归方程为：y=9.9213+1.0143x2. 多项式曲线拟合函数：polyfit( )调用格式：p=polyfit(x,y,n)[p,s]= polyfit(x,y,n)说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。
矩阵s 用于生成预测值的误差估计。
（见下一函数polyval）例2：由离散数据x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.91y 0.3 0.5 1 1.4 1.6 1.9 0.6 0.4 0.8 1.5 2 拟合出多项式。
程序：x=0:.1:1;y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2]n=3;p=polyfit(x,y,n)xi=linspace(0,1,100);z=polyval(p,xi); %多项式求值plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')legend('原始数据','3阶曲线')结果：p =16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035多项式为：16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.0035曲线拟合图形：也可由函数给出数据。
例3：x=1:20,y=x+3*sin(x)程序：x=1:20;y=x+3*sin(x);p=polyfit(x,y,6)xi=linspace(1,20,100);z=polyval(p,xi); %多项式求值函数plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')legend('原始数据','6阶曲线')结果：p =0.0000 -0.0021 0.0505 -0.5971 3.6472 -9.7295 11.3304 曲线拟合图形：再用10阶多项式拟合程序：x=1:20;y=x+3*sin(x);p=polyfit(x,y,10)xi=linspace(1,20,100);z=polyval(p,xi);plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')legend('原始数据','10阶多项式')结果：p =Columns 1 through 70.0000 -0.0000 0.0004 -0.0114 0.1814 -1.8065 11.2360 Columns 8 through 11-42.0861 88.5907 -92.8155 40.2671曲线拟合图形：可用不同阶的多项式来拟合数据，但也不是阶数越高拟合的越好。
3. 多项式曲线求值函数：polyval( )调用格式：y=polyval(p,x)[y,DELTA]=polyval(p,x,s)说明：y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。
它假设polyfit 函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。
则Y DELTA将至少包含50%的预测值。
4. 多项式曲线拟合的评价和置信区间函数：polyconf( )调用格式：[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s)[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s,alpha)说明：[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s)使用polyfit函数的选项输出s给出Y的95%置信区间Y DELTA。
它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。
1-alpha为置信度。
例4：给出上面例1的预测值及置信度为90%的置信区间。
程序：x=0:.1:1;y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2]n=3;[p,s]=polyfit(x,y,n)alpha=0.05;[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s,alpha)x1=0:.1:1;f=polyval(p,x1);plot(x,y,'ro',x1,f,'-') %绘图查看拟合效果hold onplot(x,Y+DELTA,'--b')plot(x,Y-DELTA,'--b') %给出拟合的置信区间hold off结果：p =16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035s =R: [4x4 double]df: 7normr: 1.1406Y =Columns 1 through 7-0.0035 0.8538 1.2970 1.4266 1.3434 1.1480 0.9413Columns 8 through 110.8238 0.8963 1.2594 2.0140DELTA =Columns 1 through 71.3639 1.1563 1.1563 1.1589 1.1352 1.1202 1.1352Columns 8 through 111.1589 1.1563 1.1563 1.3639例5.x：1656,2122,2864,4033,6099y：2112,2170,2291,2456,2759用matlab做出一元线性回归图形,以及置信区间。
程序：clear all;close all;clc;x=[1 1 4 6 8 11 14 17 21];y=[2.49 3.30 3.68 12.20 27.04 61.10 108.80 170.90 275.50];[P,S]=polyfit(x,y,1) %P为拟合回归系数即y=P(1)*x+p(2)[Y,delta]=polyconf(P,x,S) %给出回归Y的95%的置信区间为[Y-delta，Y+delta]x1=0:1:25;f=polyval(P,x1);plot(x,y,'ro',x1,f,'-') %绘图查看拟合效果 hold onplot(x,Y+delta,'-g')plot(x,Y-delta,'-g') %给出拟合的置信区间 结果：-150-100-500501001502002503003505. 稳健回归函数：robustfit ( )稳健回归是指此回归方法相对于其他回归方法而言，受异常值的影响较小。
调用格式：b=robustfit(x,y)[b,stats]=robustfit(x,y)[b,stats]=robustfit(x,y,’wfun’,tune,’const’)说明：b返回系数估计向量；stats返回各种参数估计；’wfun’指定一个加权函数；tune为调协常数；’const’的值为’on’(默认值)时添加一个常数项；为’off ‘时忽略常数项。
例5：演示一个异常数据点如何影响最小二乘拟合值与稳健拟合。
首先利用函数y=10-2x加上一些随机干扰的项生成数据集，然后改变一个y的值形成异常值。
调用不同的拟合函数，通过图形观查影响程度。
程序：x=(1:10)';y=10-2*x+randn(10,1);y(10)=0;subplot(1,2,1)scatter(x,y)hold onbls=regress(y,[ones(10,1) x]) %线性拟合plot(x,bls(1)+bls(2)*x,':')xlabel('线性拟合regress')subplot(1,2,2)scatter(x,y)hold onbrob=robustfit(x,y) %稳健拟合plot(x,brob(1)+brob(2)*x,'r')xlabel('稳健拟合robustfit')hold off结果：bls =8.4452-1.4784brob =10.2934-2.0006分析：稳健拟合(实线)对数据的拟合程度好些，忽略了异常值。
最小二乘拟合(点线)则受到异常值的影响，向异常值偏移。
(如下图：)线性拟合regress稳健拟合robustfit。