高中数学圆的方程典型例题
类型一：圆的方程
例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．
例2 求半径为4，与圆04242
2
=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．
例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．
类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例5 已知圆42
2
=+y x O ：，求过点()42，
P 与圆O 相切的切线． 例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与02222
22=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．
例7、过圆12
2=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆2
2
(1)4x y -+=相切的直线l 的方程． 2、过坐标原点且与圆02
5
242
2
=+
+-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆022
2=+-y x x 相切，则a 的值为 .
类型三：弦长、弧问题
例8、求直线063:=--y x l 被圆042:2
2=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.
例9、直线0323=-+y x 截圆42
2=+y x 得的劣弧所对的圆心角为
例10、求两圆0222=-+-+y x y x 和52
2=+y x 的公共弦长
类型四：直线与圆的位置关系
例11、已知直线0323=-+y x 和圆42
2=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系.
例12、若直线m x y +=与曲线24x y -=
有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.
例13 圆9)3()3(2
2
=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？
练习1：直线1=+y x 与圆)0(022
2>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是
2：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(2
2=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .
3、 圆03422
2=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有（ ）．
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
4、 过点()43--，
P 作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆()()4212
2
=++-y x C ：有公共点，如图所示．
类型五：圆与圆的位置关系
例14、判断圆02662:2
2
1=--++y x y x C 与圆
0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，
例15：圆0222=-+x y x 和圆042
2=++y y x 的公切线共有 条。

练习1：若圆042222=-+-+m mx y x 与圆084422
22=-+-++m my x y x 相切，则实数m 的取值集合是 .
2：求与圆52
2=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.
类型六：圆中的对称问题
例16、圆2
2
2690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是
例17 自点()33，
-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆07442
2
=+--+y x y x C ：相切 求（1）求光线l 和反射光线所在的直线方程．（2）光线自A 到切点所经过的路程．
类型七：圆中的最值问题
例18：圆0104422
=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是
例19 (1)已知圆1)4()3(2
2
1=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求22y x d +=的最大、最小值．
(2)已知圆1)2(2
2
2=++y x O ：
，),(y x P 为圆上任一点．求1
2
--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．
图
例20：已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(2
2=-+-y x 上运动，则2
2PB PA +的最小
值是 .
练习：1：已知点),(y x P 在圆1)1(2
2=-+y x 上运动.
（1）求
2
1
--x y 的最大值与最小值；（2）求y x +2的最大值与最小值. 2 设点),(y x P 是圆12
2=+y x 是任一点，求1
2+-=x y u 的取值范围．
3、已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ，点P 在圆422=+y x 上运动，求2
2
2
PC PB PA ++的最大值和最小值. 类型八：轨迹问题
例21、基础训练：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为
2
1
，求点M 的轨迹方程. 例22、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(2
2=++y x 上运动，求线段AB
的中点M 的轨迹方程.
例23 如图所示，已知圆42
2
=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．
例24 已知圆的方程为2
22r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．
练习：1、由动点P 向圆12
2=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则
动点P 的轨迹方程是 .
解：设),(y x P .∵APB ∠=600，∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴222=+y x ，
化简得422=+y x ，∴动点P 的轨迹方程是42
2=+y x .
练习巩固：设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值
)0(>a a ，求P 点的轨迹.
2、已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于
4、已知定点)0,3(B ，点A 在圆12
2=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且MB AM 3
1
=
，问点M 的轨迹是什么？
例5、已知定点)0,3(B ，点A 在圆12
2=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的
轨迹方程是 .
练习巩固：已知直线1+=kx y 与圆42
2=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四
边形OAPB ，求点P 的轨迹方程. 类型九：圆的综合应用
例25、 已知圆062
2
=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且
OQ OP ⊥，求实数m 的值．
例26、已知对于圆1)1(2
2
=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．
例27 有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地的运费的3倍．已知A 、B 两地距离为10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．
11.求经过三点(1,5),(5,5),(6,2)A B C --的圆的方程:
12．已知过点(1,1)A --的直线l 与圆222660x y x y +-++=相交，则直线l 斜率的取值范围是：(,0)-∞
13.若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则m 的取值范是 . 14.已经圆222420x y x by b ++++=与x 轴相切，则b =
15.直线20x y +=被曲线2262150x y x y +---=所截得的弦长等于
16.已知两圆2210100x y x y +--=和2262400x y x y ++--=，则它们公共弦所在直线的方程是:
17.求圆心在y 轴上，且与直线1:43120,l x y -+=直线2:34120l x y --=都相切的圆的方程. 18.已知两个圆C 1：x 2
+y 2
=4，C 2：x 2
+y 2
-2x-4y+4=0，直线l ：x+2y=0，求经过C 1和C 2的交点 且和l 相切的圆的方程.
19，求经过点A （0，4），B （4，6）且圆心在直线x ―2y ―2=0上的圆的方程;
20，已知一个圆经过直线:240l x y ++=与圆2
2
:2410C x y x y ++-+=的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程。