科目名称：高等数（甲）
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五 、 ( 本 题 满 分 10 分 ) 已 知 y1 = x, y2 = x2, y3 = ex 为 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 ：
的三特解，求该方程满足初始条件
的特解.
六、 (本题满分 10 分)
七、(本题满分 10 分)
八、(本题满分 10 分) 将函数 f(x) = x − 1,(0 ≤ x ≤ 2)展开成周期为 4 的余弦级数.
=
-2 ，则函数
f
(x) 在 x
=
a 处（
）
（A） 导数值不等于零 （C） 取得极大值
（B）导数值等于零但 x = a 不是极值点 （D） 取得极小
（4）设函数 f (x) 在定义域内可导，f (x) 的图像如右图所示，
则 f ¢(x) 的图像最有可能为（
）
（A）
（B）
(C)
（D）
科目名称：高等数学（甲）
中国科学院大学 2015 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：高等数学（甲）
整理版 考生须知：
1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、 选择题 （本题满分 50 分，每小题 5 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填 充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你 的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。）
ò ( ) 七、（本题满分 10 分）计算曲线积分 I =
L
xdy - ydx 4x2 + y2
，其中是以
L
为
1, 0
中心，为 R 半
) ( 径的圆周 R > 0，R ¹1 ，取逆时针方向。
( ) ( ) 八、（本题满分 10 分）设函数 f x 在 -¥，+¥ 上有定义，在 x = 0 的某个领域内有一阶
A.|b|2 = 7|a|2
B.|a|2 = 7|b|2
C.|b|2 = 5|a|2
D.|a|2 = 5|b|2
A.I1 < I2 < I3
B.I3 < I1 < I2
C.I1 < I3 < I2
D.I3 < I2 < I1
A.2
B.
C.
D.
(10)已知曲面 x2 + y2 + 2z2 = 5，在其上点(x0,y0,z0)处的切平面与平面 x + 2y + z = 0 平分，则有( )
，则实数 满足 (
)。
(A)
(C)
(B)
(D)
的任一解 满足当
时
(B) (D)
(9) 幂级数
的收敛域是 (
)。
(A)
(B)
(10) 过
点且与直线
(
)。
(A)
(C)
(C) 及
(B) (D)
(D) 都平行的平面方程为
二、(本题满分 10 分) 计算 三、 (本题满分 10 分) 求微分方程
的解。 四、(本题满分 10 分) 求函数
科目名称：高等数学（甲）
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(5) 已知
,则
（ ）。
(A) 20 (6)
(B) 10 (
(C) 5 )。
(D)不能确定
(A) 0
(B)
(C)
(D) 不存在
(7) 设 在 (2, 2) 区间内可导且
，
， 为单位圆周
被
和 轴正半轴所夹的弧段，则关于弧长的曲线积分
和
满足 (
)。
(A)
(C)
(8) 设二阶线性齐次常系数微分方程
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（5）设 x2 ln x 是函数 f (x) 的一个原函数，则不定积分òxf '(x)dx = （ ）
（A） 2 x3 ln x + 1 x3 + C
3
9
（C） x2 ln x + x2 + C
（B） 2x - x2 ln x + C （D） 3x2 ln x + x2 + C
（6）设 y1, y2 是二阶线性函数齐次微分方程 y ''+ p ( x ) y '+ q ( x ) y = 0 的两个
(1) 函数 的导函数 在
上是连续函数， , 则函数
一定是 （ ）。 (A) 有界可微函数 (C) 连续可微函数
(2)
(B) 有界连续函数 (D) 以上结论都不正确
＝（ ）。
(A) 1 (3) 函数
(A) (4) 设
(A) (C)
(B)
(C)
(D)
在区间
上的最大值是（ ）。
(B)
(C)
(D)
，下面四个结论正确的是（ ）。 (B) (D)
.
科目名称：高等数学（甲）
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中国科学院大学 2013 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：高等数学（甲）
考生须知：
1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、 选择题 （本题满分 50 分，每小题 5 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填 充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你 的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。）
3
( ) ò ) ) ( ( 对任意的光滑有向封闭曲面 Σ ，都有 ex f ' x dydz - 2 yf x dzdx - zdxdy =0 ，求函 Σ
数 f (x) 的表达式。
( ) 十一、（本题满分 10 分）设一个平面通过点 1, 2, 3 ，他在 x 轴， y 轴上的截距相等。问：
当平面在三个坐标轴上的截距分别为何值时，它与三个坐标面所围成的空间体积最小？并写 出此平面的方程。
十二、（本题满分 10 分）设函数 f (x) 在[0，c]上可导， f '(x) 单调递减且 f (0) = 0 ，证 明：对于 0 £ a £ b £ a + b £ c ，都有 f (a + b) £ f (a) + f (b) 。
{ } ( ) D = x, y | x2 + y2 £ 25 上的最大值和最小值。
òò( ) 六、（本题满分 10 分）计算二重积分 | x | + | y | dxdy ，其中积分区域 D 是由直线 x = 0 ，
D
x + y = 3 ， y = x - 1 及 y = x +1 所围成的区域。
特解， C1,C2 是两个任意常数，则（
）
（A） C1 y1 + C2 y2 不一定是该微分方程的解
（B） C1 y1 + C2 y2 是该微分方程的解，但未必是通解
（C) C1 y1 + C2 y2 是该微分方程的解，但不是通解
（D) C1 y1 + C2 y2 不是该微分方程的通解
å å ¥
¥
（7）若级数 un 和 vn 都发散，则级数（
A.x0 : y0 : z0 = 4 : 2 : 1
B.x0 : y0 : z0 = 2 : 4 : 1
C.x0 : y0 : z0 = 1 : 4 : 2
D.x0 : y0 : z0 = 1 : 2 : 4
二、(本题满分 10 分)
三、 (本题满分 10 分)
，计算 在点(π,2)处的值.
四、(本题满分 10 分) 设 D 为第一象限内由 y = x, y = 2x, xy = 1, xy = 2 所围成的区域,f 为一元 可微函数，且 f / = g，记 L 为 D 的边界，证明：
lim f (x) 。
x ® -¥
四、（本题满分 10 分）设函数 z
=
f
(
x,
y
)
满足
¶2 z ¶x¶y
=
x+
y ， f (x，0)=x ， f
(0，y) =
y2 ，
试求 f (x, y) 。 科目名称：高等数学（甲）
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五 、 （ 本 题 满 分 10 分 ） 求 函 数 f (x, y) = (x - 6)2 +( y + 8)2 在 区 域
(1) 对于函数
.结论不正确的是：
A.在(0,∞)内有界.
B.在(0,∞)内 f(x)没有最大值和最小值.
C.在(0.∞)内处处可导. D.当 x → ∞和 x → 0+时，f(x)极限存在.
A.1
B.0
C.∞
D.
(3).微分方程
的通解为( )
A.x = y + Ce−y – 1
B.y = x + Ce−x − 1
x ®+¥
x
（A）0
（B） ¥
）。 （C） e 2
（D） - e 2
（2）若函数
f
(x)
=
ìïíïîlxn2(1++2
x ax
)
(x ³ 0) 在 x = 0 处可导，则 a 等于（ (x < 0)
）
（A）-2 （B） 2 （C） -1 （D） 1
（3）设极限 lim x®a
f
(x) - f (a) (x - a)4
中国科学院研究生院 2011 年招收硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：高等数学（甲）
考生须知： 1.本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计为 180 分钟。 所有的答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。