（朝阳）29．在平面直角坐标系xOy 中，A （t ，0），B （，0），对于线段AB 和x 轴上方的点P 给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P 为AB 的“等角点”． （1）若，在点302C ⎛⎫⎪⎝⎭，,D ⎫⎪⎪⎝⎭，32E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭中，线段AB 的“等角点”是； （2）直线MN 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，点M 的坐标是（6，0），∠OMN=30°．①线段AB 的“等角点”P 在直线MN 上，且∠ABP =90°，求点P 的坐标； ②在①的条件下，过点B 作BQ ⊥P A ，交MN 于点Q ，求∠AQB 的度数； ③若线段AB 的所有“等角点”都在△MON 内部，则t 的取值范围是．（大兴）29.设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y都有唯一t+t =-确定的值和它对应，那么就说y 是x 的函数，记作()=y f x .在函数()=y f x 中，当自变量=x a 时，相应的函数值y 可以表示为()f a .例如：函数2()23=--f x x x ，当4=x 时，2(4)42435=-⨯-=f在平面直角坐标系xOy 中，对于函数的零点给出如下定义：如果函数()=y f x 在≤≤a x b 的范围内对应的图象是一条连续不断的曲线，并且().()0 f a f b ，那么函数()=y f x 在≤≤a x b 的范围内有零点，即存在c （≤≤a c b ），使()f c =0，则c 叫做这个函数的零点，c 也是方程()0=f x 在≤a x .例如：二次函数2()23=--f x x x 的图象如图所示 观察可知：(2)0- f ，(1)0, f 则(2).(1)0- f f .所以函数2()23=--f x x x 在21-≤≤x 范围内有零点.由于(1)0-=f ，所以，1-是2()23=--f x x x 的零点，1-也是方程2230--=x x 的根.(1) 观察函数1()=y f x 的图象，回答下列问题：①()().f a f b ______0（“＜”“＞”或“=”）②在≤≤a x b 范围内1()=y f x 的零点的个数是_____.（2）已知函数222()1)2)==---y f x a x a a 的零点为1x ，2x且121 x x .①求零点为1x ，2x (用a 表示)；②在平面直角坐标xOy 中，在x 轴上A, B 两点表示的数是零点1x ，2x ，点 P 为线段AB 上的一个动点（P 点与A 、B 两点不重合），在x 轴上方作等边△APM 和等边△BPN ，记线段MN 的中点为Q ，若a 是整数，求抛物线2y 的表达式并直接写出线段PQ 长的取值范围.（东城）29. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P 的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线. （1）当⊙O 的半径为1时，○1分别判断在点D （，14），E （0，-3），F （4，0）中，是⊙O 的相邻点 有__________；○2请从○1中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程.○3点P 在直线3y x =-+上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y x =+x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段．．MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．图1（房山）29.在平面直角坐标系xoy 中，对于任意三点A ，B ，C 给出如下定义：如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在正方形的内部或边界上，那么称该正方形为点A ，B ，C 的外延正方形，在点A ，B ，C 所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点A ，B ，C 的最佳外延正方形.例如，图1中的正方形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，A 3B 3CD 3都是点A ，B ，C 的外延正方形，正方形A 3B 3CD 3是点A ，B ，C 的最佳外延正方形.（图1）（图2）（1）如图1，点A （-1，0），B （2，4），C （0，t ）（t 为整数）.① 如果t =3，则点A ，B ，C 的最佳外延正方形的面积是；② 如果点A ，B ，C 的最佳外延正方形的面积是25，且使点C 在最佳外延正方形的一边上，请写出一个符合题意的t 值；（图3 ）（图4）（2）如图3，已知点M （3，0），N （0，4），P （x ，y ）是抛物线y=x 2-2x -3上一点，求点M ，N ，P 的最佳外延正方形的面积以及点P 的横坐标x 的取值范围；（3）如图4，已知点E （m ，n ）在函数x6y （x >0）的图象上，且点D 的坐标为（1，1），设点O ，D ，E 的最佳外延正方形的边长为a ，请直接写出a 的取值范围.（丰台）29. 如图，点P (x ,y 1)与Q (x ,y 2)分别是两个函数图象C 1与C 2上的任一点. 当a ≤x ≤b时，有-1≤y 1- y 2≤1成立，则称这两个函数在a ≤x ≤b 上是“相邻函数”，否则称它们在a ≤x ≤b 上是“非相邻函数”. 例如，点P (x ,y 1)与Q (x ,y 2)分别是两个函数y =3x +1与y =2x - 1图象上的任一点，当-3≤x ≤-1时，y 1- y 2=(3x +1) - (2x - 1)=x +2，通过构造函数y =x +2并研究它在-3≤x ≤-1上的性质，得到该函数值的范围是-1≤y ≤1，所以-1≤y 1-y 2≤1成立，因此这两xy12345–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5B 1C 1B 2C 2C B 3oA 2D 3A 1A 3D 1D 2A By12345–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5Do个函数在-3≤x ≤-1上是“相邻函数”.（1）判断函数y =3x +2与y =2x +1在－2≤ x ≤ 0上是否为“相邻函数”，并说明理由； （2）若函数y =x 2-x 与y =x - a 在0 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”，求a 的取值范围；（3）若函数y =x a与y =－2x +4在1≤x ≤2上是“相邻函数”，直接写出a 的最大值与最小值.（海淀）29．在平面直角坐标系中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若为 直线PC 与⊙C 的一个交点，满足，则称 为点P 关于⊙C 的限距点，右图为点P 及其关于⊙C 的限 距点的示意图．xOy P '2r PP r '≤≤P 'P'（1）当⊙O 的半径为1时．①分别判断点M ，N ，T 关 于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；②点D 的坐标为（2,0），DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△DEF 的 边上.若点P 关于⊙O 的限距点存在，求点的横坐标的取值范围；（2）保持（1）中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E →F →D →E 的方向运动，⊙C 的圆心C 的坐标为（1,0），半径为r .请从下面两个问题中任选一个作答. 温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分，两题均答不重复计分.（怀柔）29．给出如下规定：两个图形G 1和G 2，点P 为G 1上任一点，点Q 为G 2上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值时，就称该最小值为两个图形G 1和G 2之间的“近距离”；如果线段PQ 的长度存在最大值时，就称该最大值为两个图形G 1和G 2之间的“远距离” ． 请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题： 在平面直角坐标系xOy 中，点A （-4， 3），B （-4，-3），C （4，-3），D （4， 3）．(3,4)5(,0)2P 'P '(1)请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD ，直接写出线段AB 和线段CD 的“近距离”和“远距离”． (2)设直线b x y +=34（b>0）与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ，若线段EF 与四边形ABCD 的“近距离”是1，求它们的“远距离” ；(3)在平面直角坐标系xOy 中，有一个矩形GHMN ，若此矩形至少有一个顶点在以O 为圆心，2为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内.将四边形ABCD 绕着点O 旋转一周，在旋转的过程中，它与矩形GHMN 的“远距离”的最大值是；“近距离”的最小值是．（门头沟）29．如图1，P 为∠MON 平分线OC 上一点，以P 为顶点的∠APB 两边分别与射线OM 和ON 交于A 、B 两点，如果∠APB 在绕点P 旋转时始终满足OA ·OB =OP 2，我们就把∠APB 叫做∠MON 的关联角．图1 图2 图3（1）如图2，P 为∠MON 平分线OC 上一点，过P 作PB ⊥ON 于B ，AP ⊥OC 于P ，那么∠APB ∠MON 的关联角（填“是”或“不是”）． （2）①如图3，如果∠MON =60°，OP =2，∠APB 是∠MON 的关联角，连接AB ，求△AOB 的面积和∠APB 的度数； ②如果∠MON =α°（0°＜α°＜90°），OP =m ，∠APB 是∠MON 的关联角，直接用含有α和m 的代数式表示△AOB 的面积． （3）如图4，点C 是函数2y x（x ＞0）图象上一个动点，过点C 的直线CD 分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，且满足BC =2CA ，直接写出∠AOB 的关联角∠APB 的顶点P 的坐标．图4（平谷）29．对于两个已知图形G 1，G 2，在G 1上任取．．一点P ，在G 2上任取．．一点Q ，当线段PQ 的长度最小时，我们称这个最小长度为G 1，G 2的“密距”，用字母d 表示；当线段PQ 的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形G 1，G 2的“疏距”，用字母f 表示．例如，A BO MN CPA N M O CPBAOM CNP BOxyC当(1,2)M ，(2,2)N 时，点O 与线．段．MN ．．O 与线．段．MN ．．的“疏距”为（1）已知，在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()0,4B ，()2,0C ，()0,1D ， ①点O 与线段AB 的“密距”为，“疏距”为； ②线段AB 与△COD 的“密距”为，“疏距”为；（2）直线2y x b =+与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ，以()0,1C -为圆心，1为半径作圆，当⊙C 与线段EF 的“密距”0<d <1时，求⊙C 与线段EF 的“疏距”f 的取值范围．（石景山）29．在平面直角坐标系xOy 中，图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点),(11y x P ，),(22y x Q 是图形W 上的任意两点．若21x x -的最大值为m ，备用图则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =；若21y y -的最 大值为n ，则图形W 在y 轴上的投影长度n l y =．如右 图，图形W 在x 轴上的投影长度213=-=x l ；在y 轴 上的投影长度404=-=y l ．（1）已知点)3,3(A ，)1,4(B ．如图1所示，若图形W为△OAB ，则=x l ，=y l ．（2）已知点)0,4(C ，点D 在直线26y x =-+上，若图形W 为△OCD ．当y x l l =时，求点D 的坐标．（3）若图形W 为函数2x y =）（b x a ≤≤的图象，其中0a b ≤<．当该图形满足1≤=y x l l 时，请直接写出a 的取值范围．（顺义）29．在平面直角坐标系xOy 中，点P （a ，b ）的“变换点”Q 的坐标定义如下：当a b ≥时，Q 点坐标为（b ，-a ）；当a b <时，Q 点坐标为（a ，-b ）． （1）求（-2，3），（6，-1）的变换点坐标；（2）已知直线l 与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B （0，2）．若直线l 上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W ，请画出图形W ，并简要说明画图的思路； （3）若抛物线234y x c =-+与图形W 有三个交点，请直接写出c 的取值范围．（通州）29.对于⊙P 及一个矩形给出如下定义：如果⊙P 上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P 是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD的顶点A2），顶点C 、D 在x 轴上，且OC =OD. （1）当⊙P 的半径为4时，①在P 1（0，3-），P 2（3），P 3（-，1）中可以成为矩形ABCD 的“等距圆”的圆心的是_________________________； ②如果点P在直线13y x =-+上，且⊙P 是矩形ABCD 的“等距圆”，求点P 的坐标；（2）已知点P 在y 轴上，且⊙P 是矩形ABCD 的“等距圆”，如果⊙P 与直线AD 没有公共点，直接写出点P 的纵坐标m 的取值范围.29．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形W ,如果线段OP 与图形W 无公共点，则称点P 为关于图形W 的“阳光点”；如果线段OP 与图形W 有公共点，则称点P 为关于图形W 的“阴影点”．（1）如图1，已知点()13A ，，()11B ，，连接AB ①在()11,4P ，()21,2P ，()32,3P ，()42,1P 这四个点中，关于线段AB 的“阳光点”是；②线段11A B AB P ；11AB 上的所有点都是关于线段AB 的“阴影点”，且当线段11A B 向上或向下平移时，都会有11A B 上的点成为关于线段AB 的“阳光点”．若11A B 的长为4，且点1A 在1B 的上方，则点1A 的坐标为 ；（2）如图(，C e 与y 轴相切于点D ．若E e 的半径为32，圆心E 在直线l y =+：E e 上的所有点都是关于C e 的“阴影点”，求圆心E 的横坐标的取值范围；（3）如图3，M e 的半径是3，点M 到原点的距离为5．点N 是M e 上到原点距离最近的点，点Q 和T 是坐标平面内的两个动点，且M e 上的所有点都是关于NQT ∆的“阴影点”，直接写出NQT ∆的周长的最小值．（燕山）29．在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的密距，记为d (M ，N )．特别地，若图形M ，N 有公共点，规定d (M ，N )＝0．(1)如图1，⊙O 的半径为2，①点A (0，1)，B (4，3)，则d (A ，⊙O )＝，d (B ，⊙O )＝．2016年毕业考试数学试卷第7页（共8页）②已知直线l ：b x y +=43与⊙O 的密距d (l ，⊙O )＝56，求b 的值．(2)如图2，C 为x 轴正半轴上一点，⊙C 的半径为1，直线33433+=x y －与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，线段．．DE 与⊙C 的密距d (DE ，⊙C )<21．请直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围．图2图1。