毕业论文（设计）题目：概率论中数学期望的概念姓名：学号：0411*******教学院：数学与计算机科学学院专业班级：数学与应用数学专业2008级1班指导教师：完成时间：2012年04月10日毕节学院教务处制概率论中数学期望概念摘要：数学期望是现代概率论中最重要的基本概念之一，无论在理论上还是在应用中都具有重要的地位和作用。

但是，数学期望这一概念对许多学者来说却又是一个难点，特别是对概念的理解和对这一数学工具的使用上都很难掌握。

本文从离散型随机变量的来源、定义、分布及其理解上详细阐述概率论中的数学期望的概念及其性质，并介绍说明这一数学工具在实际生活中的应用。

目的是希望能给更多的学者提供一些参考及帮助。

关键词：离散型；随机变量；分布；函数；期望Mathematical expection conceptin theory of probabilityCandidate:Xiong Xiao-ping Major:Mathematics and appliedmathematicsStudent No:0411******* Advisor:Xue Chao-kui(Lecturer)Abstract:Mathematical expectation is the modern theory of probability in the most important one of the basic concept, whether in theory or in the applications has an important position and role. But, mathematical expectation is a difficult concept for many scholars, especially for the understanding of concepts and the mathematical tools to the use of all difficult to master. This article from source of discrete random variable, definition, distribution and understand the detail on the mathematics of the concept of probability theory and its properties expectations, and introduces the mathematical tools that in the actual life application. The main purpose is to give more scholars can provide some reference and help.Keywords:discrete; Random variable, Distribution; Functions; expect目录引言 (1)1 预备知识 (2)1.1 随机变量的定义 (2)1.2 离散型随机变量的定义 (2)2 离散型随机变量的几种分布 (5)2.1 0—1分布（两点分布） (5)2.2 二项分布 (6)2.3 泊松分布 (6)3 随机变量的分布函数及期望 (7)3.1 一维随机变量的分布函数 (7)3.2 二维随机变量及其概率分布 (9)3.3 多维随机变量分布及其数学期望 (10)结束语 (13)参考文献 (14)致谢 (15)附录 (16)引言数学期望的概念起源于赌博，早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机会相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可获得100法郎的奖励。

等比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因终止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平呢？用概率论的知识不难得出，甲获胜的概率为11132224+⨯=，或者分析乙获胜的概率为111224⨯=，因此由此引出了甲的期望所得值为3100754⨯=法郎，乙的期望所得值为25法郎。

概率论是1718，世纪欧洲思想和文化的产物，其每一概念和方法的提出和进展几乎都受到当时盛行的价值观，社会思潮和所拥有的社会资源的影响。

在这方面，概率论中期望思想的发展历史是一个典型的案例。

对它在17和18世纪的历史作一些研究，就会发现这个议题涉及当时人们在所有领域中对清晰性和确定性的态度和希望。

在这个过程中，他们遇到的一些困难以及他们对这些困难的回应，为审视数学期望的发展和社会化之间的关系提供了一种具有启发性的视角。

尽管由帕斯卡和惠更斯等人所启动的概率论这门学科被称作概率演算，但早期概率论学者研究的一个中心问题是期望而不是概率。

早期概率论中对数学期望的强调是由于这个概念承载了当时常用的“期望“术语的两种不同的定性含义，一是人们对法律中公平公正的期望，另一种是源于经济学中的公平获利的思考。

这两重含义使得它成为将数学概率与社会科学连接起来的桥梁。

因此，早期的概率期望承袭了当时常用术语“期望”的两种不同的定性含义，这两种关于期望的视角——法律的和经济的，一个与公平有关，而另一个与利益有关，两者铸造了尚未成熟的概率期望的早期数学理论。

从1654年概率论最早形成直到1812年拉普拉斯《分析概率论》的出版，法律的平等和经济的谨慎在不同的方向上推动了数学概率中的概率期望的发展，使得期望成为这个学科中早期发展中的一个中心概念。

为了便于研究，下面只探讨概率论中离散型随机变量的数学期望，将从随机变量的定义，分布进行分析引入。

自然界的现象，可以分成必然现象和随机现象两大类。

在一组给定条件下，某一事情必然发生。

例如，在一个大气压下水的温度降到零度以下就会结冰；偶数与偶数的和仍是偶数…，这些称为必然现象。

但另外有些现象就不是这样。

比如，明年七月十日下雨。

这个判断只有等到明年七月十日以后才能给出正确的答案。

它有可能下，也有可能不下。

又如掷骰子，每掷一次出现1,2,3,4,5,6各点的可能性是相同的，无法判断到底出现几点。

这就是随机现象。

如何用数学方法来描述一个随机现象呢？注意到随机现象有四个特征。

首先是它具有几种可能的状态，对此每个状态可用一个实数来表示。

这样就得到了一个定义在基本概念空间Ω上的函数：()X ω 其次是对于一些最简单的复合事件如： {:()}X a ωω≤它应该属于事件σ—域，因而也可以确定它的概率。

这时()X ω就的确可以代表一个随机变量了。

这样的()X ω被称为随机变量，用测度论的术语来说，随机变量就是关于σ—域γ可测的可测函数。

1 预备知识1.1 随机变量的定义随机变量：设随机实验的样本空间为{},()S e X X e ==是定义在S 上实（单值）函数，称()X X e =为随机变量。

随机变量的取值随实验的结果而定，在实验前不能预知它取什么值，且它的取值有一定的概率。

这是随机变量与普通函数的本质差异。

1.2 离散型随机变量的定义离散型随机变量：可取的不相同的值为有限个或可列无限多个的随机变量，称为离散型随机变量，并称,{}1,2,...k k P X x P k ===为离散型随机变量X 的分布律。

它具有如下性质：(1)非负性 0,1,2,...k P k ≥= (2)完备性 11k k P ∞==∑为了引入离散型随机变量的数学期望，先来观察，讨论数学期望的直观模型， 例1，设某班有学生F 人，其中年龄为i x 的有i f 人，1,2,...i n =。

试求这个班学生的平均年龄。

解：记这个班学生的平均年龄为x ，于是有112212......n nnx f x f x f x f f f +++=+++1212111...nnnnnjjjj j j f f f x x x fff====+++∑∑∑ni i ix ω=∑(其中1iii njj f f F fω===∑是年龄i x 的频率)，显然11ni i ω==∑,可见：平均年龄x 是以频率为加权的加权平均。

如果近似地把i x 看成一随机变量，那么它发生的概率i ii x f P F F==，即年龄i x 的频率近似地等于i x 发生的概率。

例2,设进行N 次独立实验，得到随机变量ξ的统计分布如下：ξ 1x 2x ...n x 总计频数 1m2m... n mN频率1()x ω 2()x ω ...()n x ω1计算随机变量ξ的样本平均值：解：11221...1nn n iii x m x m x m x x m N N=+++==∑或者写成下面的形式：1212...n n m m mx x x x N N N=+++ 1122()()...()n n x x x x x x ωωω=+++ 1()ni i i x x ω==∑由此可见，随机变量ξ的统计分布的样本平均值x 与理论分布的数学期望()E ξ的计算法是完全类似的，这里只是用试验中的频率代替了概率。

当实验次数很大时，事件i x ξ=的频率()i x ω在对应的概率()i P x 的附近摆动，所以当实验次数很大时，随机变量ξ的样本平均值x 将在随机变量的数学期望()E ξ的附近摆动，近似地看成数学期望。

例3,求2,3,2,4,2,3,4,5,3,2这10个数的平均值。

解：将这10个数的平均值记为()E x ,则2324234532()310E x +++++++++==把分子数据重新归并，得到另一种平均值的形式： 4321()2345310101010E x =⨯+⨯+⨯+⨯= 上式表明，可以按频率的加权平均来求这10个数的平均值。

如果将这10个数分类整理成下表：i x 2 3 4 5 k f410310210110则有：41()k k k E x x f ==∑其中k f 是k x 出现的频率。

如果随机地从这10个数中抽一个数，并用X 表示抽得的结果，则X 是一个随机变量。

若记()k k P X x P ==，则上式中的频率k f 就等于概率k P ，因此有41()k k k E X x p ==∑上式表明，离散型随机变量的取值与对应的概率值相乘再求和，描述了该随机变量的平均水平。

数学期望：设离散型随机变量的X 的概率分布为()(1,2,...)k k P X x p k ===如果级数1122 (1)...kk k k k xp x p x p x p ∞+==+++∑绝对收敛，则称该级数为随机变量X 的数学期望（或均值），简称期望，记为1()k k k E X x p ∞==∑当X 取有限个（比如n 个）值时，有1()nk k k E X x p ==∑例4,某推销人与工厂约定，用船把一箱货物按期无损的运到目的地可获得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若又不按期又有损坏的扣16元。