2015年“拓普杯”天津市大学生物理竞赛参考答案及评分标准一、解：卫星轨道长轴：公里875523846371r 1=+= 短轴：公里68104396371r 1=+= 其椭圆面积：21r r S π=由开普勒第二定律可知，卫星单位时间扫过的面积为：mL dt dS 2=上式中，L 为卫星轨道角动量，而卫星运动周期T ：Lr mr m L r r dt dS S T 212122//ππ===由角动量守恒得，远、近地点角动量有2211r mv r mv L ==代入上式求远地点和近地点的速度分别为：公里36.660112681014.32221=⨯⨯⨯==T r v π 公里8.1860112875514.32212=⨯⨯⨯==T r v π 二解：设氢气质量为m1气球的容积为V ，球囊德质量为m2。

气球的总重量：g 6m g m g m 121== 气球的浮力：g m ρρρρρf 1121122g m Vg === 2分 由气球状态方程：RT M MpV mol=2分 求得密度：RTpM V M ρmol == 2分氢气密度： RTM p ρmol 111=空气密度：RTM p ρmol 222=由于氢气压力为大气压力的1.8倍，即21 1.8P p =，29M 2,M 2mol 1mol ==，可得 068P P 112221.M M ρρmol mol==代入求浮力：g m .g m ρρf 1112068==依牛顿第二定律：a m g m f 2166=-三、解：（1）最终温度为 221T T + 3分（2）移去热源时，棒内温度分布 x LT T )x (121T T -+= 2分x 到x+dx 段温度改变dT ，熵变TdT Adx ρC dS ⋅=⋅==T dT Cdm T dQ⎰⎰+=2021T T )x (T LTdT Adx ρC 1 2 3分又由于x L T T )x (121T T -+=，微分：dx LT T )x (12dT -=)x (dT T 12T 2dx -=代入上式： )x (dT T )x (T T T lnALρC S L12021T 22-⋅+=⎰dT TT T lnT AL ρC TT⋅+-=⎰2T 2112 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰⎰dT T ln dT T T ln T AL ρC T T T T 2T 2112()2111143316606866s /m .m gm g m .m g m f a =-=-=∴()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--=212T T 211212T T T T ln T T T ln T T AL ρC()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+--=1211222112122T T T T T ln T T ln T T T ln T T AL ρC⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=1211221222T 2T T 11T T T ln T T T ln T AL ρC 2分四、解：设柱形电容器充电后带电量为q ，单位长度带电量Lqλ=。

由介质中高斯定理求得电位移矢量大小r2πλD =3分 由E εD =，求得介质中电场为La πqr a πL q πελE 2r 2r2=⎪⎭⎫⎝⎛==1分 介质中为一均匀电场。

电容器两极电势差()1212a221R R L πqdr E V V R R -=⋅=-⎰3分 由电容定义12V V qC -=，求得圆柱形电容器的电容为12122V R R LaπV q C -=-=（2分）五、在两正交偏振片M 、N 之间，放置一厚度为0.5mm 的石英晶片（n e 主 =1.5534，n o =1.5443），其光轴Z 与M 、N 之间夹角均为450，垂直入射到M 的自然光的波长为0.5μm ，设所有元件对光没有散射和吸收，问：(1) 在偏振片N 后能看见多少条等厚干涉条纹？(2) 如果所放置的石英晶片为如图所示的劈尖形状（其劈背厚度a=0.5mm ，光轴不变），则在偏振片N 后A 处（对应于劈尖最顶端处）观测到的光强度为多少？解：.折射定律的普遍形式：光在折射率连续变化的介质内 αsin n 等于常数（等于初始值00sin αn ），本题初图 1→|a|← NMA始值190sin 1sin 00=⨯=αn图中所示的角为该点光线的切线与x 轴夹角，即光线在x 分界面自左侧进入右侧是时的折射角，也是切线的倾角。

介质内设光线的轨道方程为：)(x f y =，x 处的切线斜率：αtg y dxdy='= 依上述道理：1sin )(=⋅αx n 即：xx n +==11)(1sin α 由三角关系求得：αααααααα21sec cos cos sin sin tg tg tg +=== 可得：x y y +='+'1112两边平方化简：xy 12=' 得：xdx dy y 1==' 积分：C x y +=2 由0=x 时0=y 得：0=C 求得介质中的光线方程：x y 2=六、空气折射率n 约为1.0003。

用下列给定装置：一台迈克尔逊干涉仪；扩展钠光灯面光源（平均波长为λ）；两个完全相同的长度为L 的玻璃管，侧面带有阀门都是打开的，其内为一个大气压的空气；一台高精度真空泵及真空管、阀等配件；若干个可升降光学支架。

设计一个可行方案，要求：（1）画出实验设计光路图；（2）简略写出主要操作步骤；（3）推算出空气折射率n 的数学表达式。

解：（1）光的偏振态可分为三类七种，依题意可知本题光是由自然光和椭圆偏振光混合而成的，设自然光光强为自I椭圆的长、短轴之比x y A A :为360= tg 依题意可知，最大光强：2y 0A 21+=自I I 最大光强：2x 0A 2132+=自I I可解出⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===020206121I I A I A I x y 自得椭偏光强：02232A I A I x y =+=椭 原光强为：0003532I I I I I =+=+椭自此种光为部分偏振光：自然光占60%，椭圆偏振光占40%。

（2）此光通过透振方向与铅直成θ角度，出射点光强为：()()22sin cos 2θθx y A A I I ++=自θθ20200sin 6cos 22I II ++=θ200sin 3I I -= 七、解：在固定在玻璃块上的参考系中，玻璃块中的光速度：nc u =' 依相对论的速度变换式，将u '变换到实验室参考系中：c v n nv c cv vn c c v u v u u n c++=++='++'=2211 上式为玻璃块中的光在实验室参考系的速度。

八、解：碰撞前，两粒子静质量均为0m ，一个运动的粒子相对论质量为m ，即m碰撞过程中动量守恒，设复合粒子质量为M ，速度为V ，有： MV mv =+020220358011m c c .m cv m m =⎪⎭⎫⎝⎛-=-=系统碰撞前后能量守恒，则有： 2220Mc mc c m =+所以：0003835m m m m m M =+=+= 代入， c.m c.m M mv V 5038803500=⨯== 又由于()201c V M M -=1分2020501381⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c c .m c V M M411380-=m 0334m =九、解：设左球质量为m ，中间球为2/m ，右球为4/m 。

第一个物理过程，是左球与中间球碰撞瞬间，碰后左球速度为1v ，中间球速度为2v '，则由动量守恒与能量守恒（完全弹性碰撞，无能量损耗）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'⋅+='+=222122122121212v m mv mu v m mv mu ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=⇒)(v v u )(v v u 2211222121以（1）21v u v '+=代入（2）得： 22222141v v v u u u '+'+'-=2043=⎪⎭⎫ ⎝⎛-''⇒u v v⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=='⇒u v u v 313412第二个物理过程，是中间球以2v '撞击右球，碰后中间球速度为2v ，右球的速度为3v ，同理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+=''+='232222322421221221422v m v m v m v m v m v m 整理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+='+='⇒)(v v v )(v v v 42132232222322以（3）2322v v v -'=代入（4）得： 332222243v v v v v '+'-'='得043233=⎪⎭⎫⎝⎛'-v v v ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=='=∴u u v u v v 391634223答：右边小球以速度u 916摆开。

十、解：（1）因漏电使板上带电量逐渐减少，，设时刻带电量为)t (q ，设板面积2R πS =，由高斯定理求得电位移矢量：Sq σD ==板间电场： SεεqεεD E r r 00==漏电电流密度与电场关系：SρεεqρE E σj r 0=== 电流强度：ρεεqdt dq I r 0=-= 又因为：ρεεdydt dq r 0-= 积分解板上电量随时间变化规律： ρεεtr Qe)t (q 0-=当2Q q =时，即ρεεtr Qe Q 02-=求解时间：20ln ρεεt r =（2）板间的传导电流密度：SρεεQρεεSQρεεσεεD ρE ρj r r r r 00002211=====位移电流密度：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=∂∂-=∂∂-=-ρεεtD r eS Q t S q t t σt D j 0 S ρεεQ e S ρεεQ r ln εεt ρεεtr r r 020200=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==- D j 与j 方向相反。

（2）由全电流环路定理：磁场强度为H ，有解()22r πj j r πH d ⋅+=⋅0=∴H磁感应强度为B ，00==H μμB r另：本题实际是介质电容器通过一电阻放电，电阻S dρR =，电容dS εεC 0=，代入电容器放电公式：ρεεt RCt r QeQe)t (q 0--==也可得到同样的结果。

十一、 解：（1）垂直向上发射，子弹所能达到最大高度称射高：25108921002220..g v H =⨯==米 3分水平方向所能达到的最大距离为射程： 41020891100224520..gθsin v x θmax=⨯===米 3分（2）以不同仰角射击时，子弹轨迹造成一抛物线族，包络线为开口向下抛物线（如图中虚线所示），顶点在y 轴的2510.H =米，与x 轴交点41020.x =米，此抛物线方程：2kx H y -= 2分即，0=y 时，()2022020222v gg/v g v x H k m === 2分 包络线方程： 22x v g H y -= 当700=x 米时，对应包络线上的高度12707001002892510227002...x v g H y x =⨯⨯-=-==米结论：子弹打不中此目标。