第一章集合与函数概念§1.1集合1.1.1 集合的含义与表示(一)1.体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程,了解集合的含义以及集合中元素的特性,培养自己的抽象、概括能力.2.掌握“属于”关系的意义,知道常用数集及其记法,初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性.1.元素与集合的概念(1)把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母表示.(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母表示.2.集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性.3.集合相等:只有构成两个集合的元素是一样的,才说这两个集合是相等的.4.元素与集合的关系(1)如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A.(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作a A.5.实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N+来表示.对点讲练集合的概念【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合:(1)著名的数学家;(2)某校2007年在校的所有高个子同学;(3)不超过20的非负数;(4)方程x2-9=0在实数范围内的解;(5)直角坐标平面内第一象限的一些点;(6)3的近似值的全体.解(1)“著名的数学家”无明确的标准,对于某个人是否“著名”无法客观地判断,因此“著名的数学家”不能构成一个集合;类似地,(2)也不能构成集合;(3)任给一个实数x,可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”,即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”,两者必居其一,且仅居其一,故“不超过20的非负数”能构成集合;类似地,(4)也能构成集合;(5)“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合;(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以(6)不能构成集合.规律方法判断指定的对象能不能形成集合,关键在于能否找到一个明确标准,对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素,同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.变式迁移1 下列给出的对象中,能构成集合的是()A.高个子的人B.很大的数C.聪明的人D.小于3的实数答案 D集合中元素的特性【例2】已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A,求a.分析考查元素与集合的关系,体会分类讨论思想的应用.解∵-3∈A,则-3=a-2或-3=2a2+5a,∴a=-1或a=-32.则当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性,故a=-1应舍去.当a=-32时,a-2=-72,2a2+5a=-3,∴a=-32.规律方法对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考,特别关注元素在集合中的互异性.分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想,我们一定要在以后的学习中熟练掌握.变式迁移2 已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素组成的集合,且2∈A,求实数m的值.解∵2∈A,∴m=2或m2-3m+2=2.若m=2,则m2-3m+2=0,不符合集合中元素的互异性,舍去.若m2-3m+2=2,求得m=0或3.m=0不合题意,舍去.经验证m=3符合题意,∴m只能取3.元素与集合的关系【例3】若所有形如3a+2b(a∈Z,b∈Z)的数组成集合A,判断6-22是不是集合A中的元素.分析解答本题首先要理解∈与D/∈的含义,然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的,6-22能否化成此形式,进而去判断6-22是不是集合A中的元素.解因为在3a+2b(a∈Z,b∈Z)中,令a=2,b=-2,即可得到6-22,所以6-22是集合A中的元素.规律方法判断一个元素是不是某个集合的元素,就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.像此类题,主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.变式迁移3 集合A是由形如m+3n(m∈Z,n∈Z)的数构成的,判断12-3是不是集合A中的元素.解∵12-3=2+3=2+3×1,而2,1∈Z,∴2+3∈A,即12-3∈A.1.充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础.2.两集合中的元素相同则两集合就相同,与它们元素的排列顺序无关.3.解集合问题特别是涉及求字母的值或范围,把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤.特别是互异性,最易被忽视,必须在学习中引起足够重视.课时作业一、选择题1.下列几组对象可以构成集合的是()A.充分接近π的实数的全体B.善良的人C.某校高一所有聪明的同学D.某单位所有身高在1.7 m以上的人答案 D2.下列四个说法中正确的个数是()①集合N中最小数为1;②若a∈N,则-a∉N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④所有小的正数组成一个集合.A.0 B. 1 C.2 D.3答案 A3.由a2 ,2-a,4组成一个集合A,A中含有3个元素,则实数a的取值可以是() A.1 B.-2 C.6 D.2答案 C解析验证,看每个选项是否符合元素的互异性.4.已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是() A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案 D解析由元素的互异性知a,b,c均不相等.5.已知x、y、z为非零实数,代数式x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是()A.0∉M B.2∈M C.-4∉M D.4∈M答案 D解析分类讨论:x、y、z中三个为正,两个为正,一个为正,全为负,此时代数式的值分别为4,0,0,-4,∴4∈M.二、填空题6.用“∈”或“∉”填空(1)-3______N;(2)3.14______Q;(3)13______Z;(4)-12______R;(5)1______N*;(6)0________N.答案(1)∉(2)∈(3)∉(4)∈(5)∈(6)∈7.集合A={1,2,3,5},当x∈A时,若x-1∉A,x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,则A中孤立元素的个数为________.答案 1解析当x=1时,x-1=0∉A,x+1=2∈A;当x=2时,x-1=1∈A,x+1=3∈A;当x=3时,x-1=2∈A,x+1=4∉A;当x=5时,x-1=4∉A,x+1=6∉A;综上可知,A中只有一个孤立元素5.8.由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号).①不超过π的正整数;②高一数学课本中所有的难题;③中国的大城市;④平方后等于自身的数;⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生.答案①④⑤三、解答题9.已知集合M ={-2,3x 2+3x -4,x 2+x -4},若2∈M ,求x . 解 当3x 2+3x -4=2时,即x 2+x -2=0, 则x =-2或x =1.经检验,x =-2,x =1均不合题意.当x 2+x -4=2时,即x 2+x -6=0,则x =-3或2. 经检验,x =-3或x =2均合题意.∴x =-3或x =2.10.设P 、Q 为两个非空实数集合,P 中含有0,2,5三个元素,Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P +Q 中的元素是a +b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则P +Q 中元素的个数是多少? 解 ∵当a =0时,b 依次取1,2,6,得a +b 的值分别为1,2,6; 当a =2时,b 依次取1,2,6,得a +b 的值分别为3,4,8; 当a =5时,b 依次取1,2,6,得a +b 的值分别为6,7,11. 由集合元素的互异性知P +Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个. 【探究驿站】11.设A 为实数集,且满足条件:若a ∈A ,则11-a∈A (a ≠1).求证:(1)若2∈A ,则A 中必还有另外两个元素; (2)集合A 不可能是单元素集.证明 (1)若a ∈A ,则11-a∈A .又∵2∈A ,∴11-2=-1∈A .∵-1∈A ,∴11-(-1)=12∈A .∵12∈A ,∴11-12=2∈A . ∴A 中另外两个元素为-1,12.(2)若A 为单元素集,则a =11-a ,即a 2-a +1=0,方程无解.∴a ≠11-a,∴A 不可能为单元素集.1.1.1集合的含义与表示(二)自主学习1.掌握集合的表示方法,能在具体问题中选择适当的方法表示集合.2.通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点,培养自主探究意识和自学能力.1.把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.2.用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 3.不等式x -7<3的解集为{x |x <10}.4.所有偶数的集合可表示为{x ∈Z |x =2k ,k ∈Z }。
5.方程(x +1)(x -3)=0的所有实数根组成的集合为{-1,3}对点讲练用列举法表示集合【例1】 用列举法表示下列集合:(1)已知集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |61+x ∈Z ,求M ; (2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y =2x -y =0的解集;(3)由|a |a +b|b |(a ,b ∈R )所确定的实数集合.分析 解答本题可先弄清集合元素的性质特点,然后再按要求改写.解 (1)∵x ∈N ,且61+x ∈Z ,∴1+x =1,2,3,6,∴x =0,1,2,5,∴M ={0,1,2,5}.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =2x -y =0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =1y =1,故方程组的解集为{(1,1)}.(3)要分a >0且b >0,a >0且b <0,a <0且b >0,a <0且b <0四种情况考虑,故用列举法表示为{-2,0,2}.规律方法 (1)列举法表示集合,元素不重复、不计次序、不遗漏,且元素与元素之间用“,”隔开.(2)列举法适合表示有限集,当集合中元素的个数较少时,用列举法表示集合较为方便,而且一目了然. 变式迁移1 用列举法表示下列集合:(1)A ={x ||x |≤2,x ∈Z }; (2)B ={x |(x -1)2(x -2)=0};(3)M ={(x ,y )|x +y =4,x ∈N *,y ∈N *}; (4)已知集合C =⎩⎨⎧⎭⎬⎫61+x ∈Z |x ∈N ,求C .解 (1)∵|x |≤2,x ∈Z ,∴-2≤x ≤2,x ∈Z , ∴x =-2,-1,0,1,2. ∴A ={-2,-1,0,1,2}.(2)∵1和2是方程(x -1)2(x -2)=0的根, ∴B ={1,2}.(3)∵x +y =4,x ∈N *,y ∈N *,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,y =3,或⎩⎪⎨⎪⎧ x =2,y =2,或⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =1.∴M ={(1,3),(2,2),(3,1)}.(4)结合例1(1)知,61+x =6,3,2,1,∴C ={6,3,2,1}.用描述法表示集合【例2】 用描述法表示下列集合:(1)所有正偶数组成的集合; (2)方程x 2+2=0的解的集合;(3)不等式4x -6<5的解集; (4)函数y =2x +3的图象上的点集. 解 (1)文字描述法:{x |x 是正偶数}. 符号描述法:{x |x =2n ,n ∈N *}. (2){x |x 2+2=0,x ∈R }. (3){x |4x -6<5,x ∈R }.(4){(x ,y )|y =2x +3,x ∈R ,y ∈R }.规律方法 用描述法表示集合时,要注意代表元素是什么?同时要注意代表元素所具有的性质.变式迁移2 用描述法表示下列集合:(1)函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象上所有点的集合;(2)一次函数y =x +3与y =-2x +6的图象的交点组成的集合; (3)不等式x -3>2的解集.解 (1){(x ,y )|y =ax 2+bx +c ,x ∈R ,a ≠0}.(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ,y )|⎩⎪⎨⎪⎧y =x +3y =-2x +6=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ,y )|⎩⎪⎨⎪⎧x =1y =4. (3){x ∈R |x -3>2}.列举法和描述法的灵活运用【例3】 用适当的方法表示下列集合:(1)比5大3的数; (2)方程x 2+y 2-4x +6y +13=0的解集; (3)二次函数y =x 2-10图象上的所有点组成的集合.分析 对于(1),比5大3的数就是8,宜用列举法;对于(2),方程为二元二次方程,可将方程左边因式分解后求解,宜用列举法;对于(3),所给二次函数图象上的点有无数个,宜采用描述法.解 (1)比5大3的数显然是8,故可表示为{8}. (2)方程x 2+y 2-4x +6y +13=0可化为 (x -2)2+(y +3)2=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =2y =-3,∴方程的解集为{(2,-3)}. (3)“二次函数y =x 2-10的图象上的点”用描述法表示为{(x ,y )|y =x 2-10}. 规律方法 用列举法与描述法表示集合时,一要明确集合中的元素;二要明确元素满足的条件;三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合. 变式迁移3 用适当的方法表示下列集合:(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合; (2)由所有周长等于10 cm 的三角形组成的集合;(3)从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合;(4)二元二次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =x y =x 2的解集. 解 (1)列举法:{3,5,7}.(2)描述法:{周长为10 cm 的三角形}.(3)列举法:{1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,312,321}. (4)列举法:{(0,0),(1,1)}.课时作业一、选择题1.集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是( )A .{x |x 是不大于9的非负奇数}B .{x |x ≤9,x ∈N }C .{x |1≤x ≤9,x ∈N }D .{x |0≤x ≤9,x ∈Z } 答案 A2.在直角坐标系内,坐标轴上的点的集合可表示为( )A .{(x ,y )|x =0,y ≠0}B .{(x ,y )|x ≠0,y =0}C .{(x ,y )|xy =0}D .{(x ,y )|x =0,y =0} 答案 C3.下列语句:①0与{0}表示同一个集合;②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}; ③方程(x -1)2(x -2)2=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示.正确的是( )A .只有①和④B .只有②和③C .只有②D .以上语句都不对 答案 C4.已知集合A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪65-a ∈N *,则A 为( ) A .{2,3} B .{1,2,3,4} C .{1,2,3,6} D .{-1,2,3,4} 答案 D解析 由65-a∈N *可知,5-a 为6的正因数,所以5-a 可以等于1,2,3,6,相应的a 分别等于4,3,2,-1,即A ={-1,2,3,4}. 5.下列集合中表示同一集合的是( )A .M ={(3,2)},N ={(2,3)}B .M ={3,2},N ={2,3}C .M ={(x ,y )|x +y =1},N ={y |x +y =1}D .M ={1,2},N ={(1,2)} 答案 B 二、填空题6.下列可以作为方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y =3x -y =-1的解集的是__________(填序号).(1){x =1,y =2}; (2){1,2}; (3){(1,2)}; (4){(x ,y )|x =1或y =2}; (5){(x ,y )|x =1且y =2}; (6){(x ,y )|(x -1)2+(y -2)2=0}. 答案 (3)(5)(6)7.已知a ∈Z ,A ={(x ,y )|ax -y ≤3}且(2,1)∈A ,(1,-4)∉A ,则满足条件的a 的值为________. 答案 0,1,2解析 ∵(2,1)∈A 且(1,-4) ∉A , ∴2a -1≤3且a +4>3, ∴-1<a ≤2,又a ∈Z ,∴a 的取值为0,1,2.8.已知集合M ={x ∈N |8-x ∈N },则M 中的元素最多有________个. 答案 9 三、解答题9.用另一种方法表示下列集合.(1){绝对值不大于2的整数}; (2){能被3整除,且小于10的正数}; (3){x |x =|x |,x <5且x ∈Z }; (4){(x ,y )|x +y =6,x ∈N *,y ∈N *};(5){-3,-1,1,3,5}. 解 (1){-2,-1,0,1,2}. (2){3,6,9}.(3)∵x =|x |,∴x ≥0,又∵x ∈Z 且x <5, ∴x =0或1或2或3或4. ∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}. (4){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.(5){x |x =2k -1,-1≤k ≤3,k ∈Z }.10.用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合.解 用描述法表示为(即用符号语言表示):⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ,y )|-1≤x ≤32,-12≤y ≤1,且xy ≥0.【探究驿站】11.对于a ,b ∈N +,现规定:a *b =⎩⎪⎨⎪⎧a +b (a 与b 的奇偶性相同)a ×b (a 与b 的奇偶性不同).集合M ={(a ,b )|a *b =36,a ,b ∈N +}(1)用列举法表示a ,b 奇偶性不同时的集合M ;(2)当a 与b 的奇偶性相同时集合M 中共有多少个元素?解 (1)当a ,b 奇偶性不同时,a *b =a ×b =36,则满足条件的(a ,b )有(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1),故集合M 可表示为: M ={(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1)}.(2)当a 与b 的奇偶性相同时a *b =a +b =36,由于两奇数之和为偶数,两偶数之和仍为偶数,故36=1+35=2+34=3+33=…=17+19=18+18=19+17=…=35+1, 所以当a ,b 奇偶性相同时这样的元素共有35个.§1.1.2集合间的基本关系自主学习了解子集、真子集、空集的概念,掌握用Venn图表示集合的方法,通过子集理解两集合相等的意义.1.一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A⊆B(或B⊇A),读作“A含于B”(或“B包含A”).2.如果集合A是集合B的子集(A⊆B),且集合B是集合A的子集(B⊆A),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此集合A与集合B相等,记作A=B.3.如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x A,我们称集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A).4.不含任何元素的集合叫做空集,记作∅.5.空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.对点讲练写出给定集合的子集【例1】(1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;(2)填写下表,并回答问题.原集合子集子集的个数∅{a}{a,b}{a,b,c}由此猜想:含n12n数及非空真子集的个数呢?解(1)不含任何元素的集合:∅;含有一个元素的集合:{0},{1},{2};含有两个元素的集合:{0,1},{0,2},{1,2};含有三个元素的集合:{0,1,2}.故集合{0,1,2}的所有子集为∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集.,a2,…,a n}的所有子集的个数是2n n1-1,非空真子集的个数是2n-2.规律方法(1)分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏.(2)集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,(2n-1)个非空子集,(2n-2)个非空真子集.变式迁移1 已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5},写出集合M.解由已知条件知所求M为:{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.集合基本关系的应用【例2】(1)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且B⊆A.求实数m的取值范围;(2)本例(1)中,若将“B⊆A”改为“A⊆B”,其他条件不变,则实数m的取值范围是什么?解(1)∵B⊆A,①当B =∅时,m +1≤2m -1,解得m ≥2. ②当B ≠∅时,有⎩⎪⎨⎪⎧-3≤2m -1m +1≤42m -1<m +1,解得-1≤m <2, 综上得m ≥-1.(2)显然A ≠∅,又A ⊆B ,∴B ≠∅, 如图所示,∴⎩⎪⎨⎪⎧2m -1<m +12m -1<-3m +1>4,解得m ∈∅.规律方法 (1)分析集合关系时,首先要分析、简化每个集合.(2)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时,初学者会想当然认为非空集合而丢解,因此分类讨论思想是必须的.变式迁移2 已知A ={x |x 2-5x +6=0},B ={x |mx =1},若B A ,求实数m 所构成的集合M .解 由x 2-5x +6=0得x =2或x =3.∴A ={2,3} 由BA 知B =∅或B ={2}或B ={3}若B =∅,则m =0;若B ={2},则m =12;若B ={3},则m =13.∴M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,12,13.集合相等关系的应用【例3】 已知集合A ={2,x ,y },B ={2x,2,y 2}且A =B ,求x ,y 的值. 解 方法一 ∵A =B ,∴集合A 与集合B 中的元素相同,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x =2x y =y 2或⎩⎪⎨⎪⎧x =y2y =2x,解得x ,y 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ x =0y =0或⎩⎪⎨⎪⎧ x =0y =1或⎩⎨⎧x =14y =12验证得,当x =0,y =0时,A ={2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾,舍去.∴x ,y 的取值为⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =1,或⎩⎨⎧x =14,y =12.方法二 ∵A =B ,∴A 、B 中元素分别对应相同.∴⎩⎪⎨⎪⎧x +y =2x +y 2,x ·y =2x ·y 2,即⎩⎪⎨⎪⎧x +y (y -1)=0, ①xy (2y -1)=0. ②∵集合中元素互异,∴x 、y 不能同时为0.∴y ≠0.由②得x =0或y =12.当x =0时,由①知y =1或y =0(舍去);当y =12时,由①得x =14.∴⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =1,或⎩⎨⎧x =14,y =12.规律方法 集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解.变式迁移3 含有三个实数的集合可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ,b a ,1,也可表示为{a 2,a +b,0},求a ,b .解 由集合相等得:0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ,b a ,1,易知a ≠0,∴ba=0,即b =0,∴a 2=1且a 2≠a ,∴a =-1. 综上所述:a =-1,b =0.1.元素、集合间的关系用符号“∈”或“∉”表示,集合、集合间的关系用“⊆”、“=”或“”等表示.2.在特定的情况下集合也可以作为元素,如集合B ={∅,{0},{1},{0,1}},则此时{1}∈B ,而不能是{1}B .3.解集合关系的问题时还需注意以下几个方面: (1)当A ⊆B 时,A =B 或AB .(2)判断两个集合间的关系:①先用列举法表示两个集合再判断;②分类讨论. (3)解数集问题学会运用数轴表示集合. (4)集合与集合间的关系可用Venn 图直观表示.课时作业一、选择题 1.下列命题①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若∅A 时,则A ≠∅.其中正确的个数是( )A .0B .1C .2D .3 答案 B解析 仅④是正确的.2.已知集合A ={x |a -1≤x ≤a +2},B ={x |3<x <5},则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A .{a |3<a ≤4}B .{a |3≤a ≤4}C .{a |3<a <4}D .∅ 答案 B解析 ∵A ⊇B ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a -1≤3a +2≥5∴3≤a ≤4.3.设B ={1,2},A ={x |x ⊆B },则A 与B 的关系是( )A .A ⊆B B .B ⊆AC .A ∈BD .B ∈A 答案 D解析 ∵B 的子集为{1},{2},{1,2},∅,∴A ={x |x ⊆B }={{1},{2},{1,2},∅},∴B ∈A .4.若集合A ={x |x =n ,n ∈N },集合B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x =n 2,n ∈Z ,则A 与B 的关系是( )A .AB B .A BC .A =BD .A ∈B 答案 A5.在以下六个写法中:①{0}∈{0,1};②∅{0};③{0,-1,1}⊆{-1,0,1};④0∈∅;⑤Z ={正整数};⑥{(0,0)}={0},其中错误写法的个数是( ) A .3个 B .4个 C .5个 D .6个 答案 B 二、填空题6.满足{0,1,2}A ⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A 的个数是________. 答案 7解析 本题即求集合{3,4,5}的非空子集个数,共23-1=7个.7.设M ={x |x 2-1=0},N ={x |ax -1=0},若N ⊆M ,则a 的值为________. 答案 ±1或08.若{x |2x -a =0,a ∈N }⊆{x |-1<x <3},则a 的所有取值组成的集合为________________. 答案 {0,1,2,3,4,5} 三、解答题9.设集合A ={1,a ,b },B ={a ,a 2,ab },且A =B ,求实数a 、b 的值. 解 ∵A =B 且1∈A ,∴1∈B .若a =1,则a 2=1,这与元素互异性矛盾,∴a ≠1. 若a 2=1,则a =-1或a =1(舍). ∴A ={1,-1,b },∴b =ab =-b ,即b =0.若ab =1,则a 2=b ,得a 3=1,即a =1(舍去).故a =-1,b =0即为所求.10.已知集合A ={x |-2k +3<x <k -2},B ={x |-k <x <k },若A B ,求实数k 的取值范围. 解 ∵AB ,①若A =∅,且B ≠∅,则k >0,且-2k +3≥k -2⇒0<k ≤53;②若A ≠∅,且B ≠∅,则⎩⎪⎨⎪⎧k >0-2k +3<k -2-k ≤-2k +3k ≥k -2且-k =-2k +3与k =k -2不同时成立,解得53<k ≤3.由①②可得实数k 的取值范围为{k |0<k ≤3}. 【探究驿站】11.已知集合M ={x |x =m +16,m ∈Z },N ={x |x =n 2-13,n ∈Z },P ={x |x =p 2+16,p ∈Z },请探求集合M 、N 、P 之间的关系.解 M ={x |x =m +16,m ∈Z }={x |x =6m +16,m ∈Z }.N ={x |x =n 2-13,n ∈Z }={x |x =3n -26,n ∈Z }.P ={x |x =p 2+16,p ∈Z }={x |x =3p +16,p ∈Z }.∵3n -2=3(n -1)+1,n ∈Z ,∴3n -2,3p +1都是3的整数倍加1,从而N =P . 而6m +1=3×2m +1是3的偶数倍加1, ∴M N =P .1.1.3集合的基本运算(一)1.理解并集、交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.2.体验通过实例的分析和阅读来自学探究集合间的关系与运算的过程,培养学生的自学阅读能力和自主探究能力.3.能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.1.一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.2.一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.3.A∩A=__A__,A∪A=__A__,A∩∅=__∅__,A∪∅=A.4.若A⊆B,则A∩B=__A__,A∪B=__B__.5.A∩B⊆A,A∩B⊆B,A⊆A∪B,A∩B⊆A∪B.对点讲练求两个集合的交集与并集【例1】求下列两个集合的并集和交集.(1)A={1,2,3,4,5},B={-1,0,1,2,3};(2)A={x|x<-2},B={x|x>-5}.解(1)如图所示,A∪B={-1,0,1,2,3,4,5},A∩B={1,2,3}.(2)结合数轴(如图所示)得:A∪B=R,A∩B={x|-5<x<-2}.规律方法求两个集合的交集、并集依据它们的定义,借用Venn图或结合数轴分析两个集合的元素的分布情况,有利于准确写出交集、并集.变式迁移1(1)若集合A={x|x>-1},B={x|-2<x<2},则A∪B等于()A.{x|x>-2} B.{x|x>-1} C.{x|-2<x<-1} D.{x|-1<x<2} (2)若将(1)中A改为A={x|x>a},求A∪B,A∩B.(1)答案 A解析画出数轴,故A∪B={x|x>-2}.(2)解如图所示,当a<-2时,A∪B=A,A∩B={x|-2<x<2};当-2≤a<2时,A∪B={x|x>-2},A∩B={x|a<x<2};当a≥2时,A∪B={x|-2<x<2或x>a},A∩B=∅.已知集合的交集、并集求参数【例2】已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5}.(1)若A∩B=∅,求a的取值范围;(2)若A∪B=R,求a的取值范围.解(1)由A∩B=∅,①若A=∅,有2a>a+3,∴a>3.②若A≠∅,如图:∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥-1a +3≤52a ≤a +3,解得-12≤a ≤2.综上所述,a 的取值范围是{a |-12≤a ≤2或a >3}.(2)由A ∪B =R ,如图所示,∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤-1a +3≥5,解得a ∈∅. 规律方法 出现交集为空集的情形,应首先考虑集合中有没有空集,即分类讨论.其次,与不等式有关的集合的交、并运算中,数轴分析法直观清晰,应重点考虑. 变式迁移2 已知集合A ={x |2<x <4},B ={x |a <x <3a }. (1)若A ∩B =∅,试求a 的取值范围;(2)若A ∩B ={x |3<x <4},试求a 的取值范围. 解 (1)如图,有两类情况,一类是B ≠∅⇒a >0.此时,又分两种情况:①B在A的左边,如图B所示;②B在A的右边,如图B′所示.B或B′位置均使A∩B=∅成立,即3a≤2或a≥4,解得0<a≤2,或a≥4.3另一类是B=∅,即a≤0时,显然A∩B=∅成立.综上所述,a的取值范围是{a|a≤2,或a≥4}.3(2)因为A={x|2<x<4},A∩B={x|3<x<4},如图所示:集合B若要符合题意,显然有a=3,此时B={x|3<x<9},所以a=3为所求.交集、并集性质的运用【例3】 已知集合A ={x |1<ax <2},B ={x ||x |<1},且满足A ∪B =B ,求实数a 的取值范围.解 ∵A ∪B =B ,∴A ⊆B . (1)当a =0时,A =∅,满足A ⊆B .(2)当a >0时,A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <2a .∵A ⊆B ,∴⎩⎨⎧ 1a≥-12a≤1∴a ≥2.(3)当a <0时,A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a <x <1a .∵A ⊆B ,∴⎩⎨⎧2a≥-11a≤1∴a ≤-2.综合(1)(2)(3)知,a 的取值范围是 {a |a ≤-2或a =0或a ≥2}.规律方法 明确A ∩B =B 和A ∪B =B 的含义,根据问题的需要,将A ∩B =B 和A ∪B =B 转化为等价的关系式B ⊆A 和A ⊆B 是解决本题的关键.另外在B ⊆A 时易忽视B =∅时的情况.变式迁移3 设集合A ={-2},B ={x |ax +1=0,a ∈R },若A ∩B =B ,求a 的值. 解 ∵A ∩B =B ,∴B ⊆A . ∵A ={-2}≠∅, ∴B =∅或B ≠∅. 当B =∅时,方程ax +1=0无解,此时a =0. 当B ≠∅时,此时a ≠0,则B ={-1a},∴-1a ∈A ,即有-1a =-2,得a =12.综上,得a =0或a =12.1.A ∪B 的定义中“或”的意义与通常所说的“非此即彼”有原则的区别,它们是“相容”的.求A ∪B 时,相同的元素在集合中只出现一次.2.A ∩B =A ⇔A ⊆B ,A ∪B =B ⇔A ⊆B ,这两个性质非常重要.另外,在解决有条件A ⊆B 的集合问题时,不要忽视A =∅的情况.课时作业一、选择题 1.设集合A ={x |-5≤x <1},B ={x |x ≤2},则A ∩B 等于( ) A .{x |-5≤x <1} B .{x |-5≤x ≤2} C .{x |x <1} D .{x |x ≤2} 答案 A2.下列四个推理:①a ∈(A ∪B )⇒a ∈A ;②a ∈(A ∩B )⇒a ∈(A ∪B );③A ⊆B ⇒A ∪B =B ;④A ∪B =A ⇒A ∩B =B .其中正确的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 答案 C解析 ②③④正确.3.设A ={x |1≤x ≤3},B ={x |x <0或x ≥2},则A ∪B 等于( ) A .{x |x <0或x ≥1} B .{x |x <0或x ≥3} C .{x |x <0或x ≥2} D .{x |2≤x ≤3} 答案 A解析 结合数轴知A ∪B ={x |x <0或x ≥1}. 4.已知A ={x |x ≤-1或x ≥3},B ={x |a <x <4},若A ∪B =R ,则实数a 的取值范围是( )A.3≤a<4 B.-1<a<4 C.a≤-1 D.a<-1答案 C解析结合数轴知答案C正确.5.满足条件M∪{1}={1,2,3}的集合M的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析由已知得M={2,3}或{1,2,3},共2个.二、填空题6.已知A={(x,y)|x+y=3},B={(x,y)|x-y=1},则A∩B=________.答案{(2,1)}7.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x≤a},若A∩B≠∅,则实数a的取值范围为________.答案a≥-1解析由A∩B≠∅,借助于数轴知a≥-1.8.已知集合A={x|x<1或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b=________.答案-4解析如图所示,可知a=1,b=6,2a-b=-4.三、解答题9.已知集合A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若A∪B={1,2,3,5},求x及A∩B.解∵B⊆(A∪B),∴x2-1∈A∪B.∴x2-1=3或x2-1=5.解得x=±2或x=±6.若x2-1=3,则A∩B={1,3}.若x2-1=5,则A∩B={1,5}.10.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-4x+a=0},若A∪B=A,求实数a的取值范围.解A={1,2},∵A∪B=A,∴B⊆A,集合B有两种情况:B=∅或B≠∅.(1)B=∅时,方程x2-4x+a=0无实数根,∴Δ=16-4a<0,∴a>4.(2)B≠∅时,当Δ=0时,a=4,B={2}⊆A满足条件;当Δ>0时,若1,2是方程x2-4x+a=0的根,由根与系数的关系知矛盾,无解,∴a=4.综上,a的取值范围是a≥4.【探究驿站】11.求满足P∪Q={1,2}的集合P,Q共有多少组?解可采用列举法:当P=∅时,Q={1,2};当P={1}时,Q={2},{1,2};当P={2}时,Q={1},{1,2};当P={1,2}时,Q=∅,{1},{2},{1,2},∴一共有9组.1.1.3集合的基本运算(二)自主学习1.理解在给定集合中一个集合的补集的含义,会求给定子集的补集.2.能运用Venn图及补集知识解决有关问题.1.一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.2.对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作∁U A,即∁U A={x|x∈U,且x A}.3.补集与全集的性质(1)∁U U=∅;(2)∁U∅=U;(3)∁U(∁U A)=A;(4)A∪∁U A=U;(5)A∩∁U A=∅.4.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩(∁U B)={2,4};(∁U A)∩(∁B)={6}.U对点讲练补集定义的应用【例1】已知全集U,集合A={1,3,5,7,9},∁U A={2,4,6,8},∁U B={1,4,6,8,9},求集合B.解如图所示,借助Venn图,得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},∵∁U B={1,4,6,8,9},∴B={2,3,5,7}.规律方法根据补集定义,借助Venn图,可直观地求出全集,此类问题,当集合中元素个数较少时,可借助Venn图;当集合中元素无限时,可借助数轴,利用数轴分析法求解.变式迁移1 设U=R,A={x|a≤x≤b},∁U A={x|x>4或x<3},求a,b的值.解∵A={x|a≤x≤b},∴∁U A={x|x>b或x<a}.又∁U A={x|x>4或x<3},∴a=3,b=4.交、并、补的综合运算【例2】已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},B={x|-3<x≤3}.求∁U A,A∩B,∁U(A∩B),(∁U A)∩B.解把全集U和集合A,B在数轴上表示如下:由图可知∁U A={x|x≤-2或3≤x≤4},A∩B={x|-2<x<3},∁U(A∩B)={x|x≤-2或3≤x≤4},(∁U A)∩B={x|-3<x≤-2或x=3}.规律方法求解用不等式表示的数集间的集合运算时,一般要借助于数轴,此法的特点是简单直观,同时要注意各个端点的画法及取到与否.变式迁移2 已知全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1}.求∁U A,∁U B,(∁U A)∩(∁U B),(∁U A)∪(∁U B),∁U(A∩B),∁U(A∪B),并指出其中相等的集合.解∁U A={x|-1≤x≤3},∁U B={x|-5≤x<-1或1≤x≤3},(∁U A)∩(∁U B)={x|1≤x≤3},(∁U A)∪(∁U B)={x|-5≤x≤3},∁U (A ∩B )={x |-5≤x ≤3}, ∁U (A ∪B )={x |1≤x ≤3},相等的集合:(∁U A )∩(∁U B )=∁U (A ∪B ), (∁U A )∪(∁U B )=∁U (A ∩B ).利用集合间的关系求参数【例3】 (1)已知全集U ={1,2,3,4,5},A ={x |x 2-5x +q =0,x ∈U },求∁U A ;(2)设U ={2,3,a 2+2a -3},A ={b,2},∁U A ={5},求实数a 和b 的值. (1)解 设x 1、x 2为方程x 2-5x +q =0的两根, 则x 1+x 2=5,∴x 1≠x 2(否则x 1=x 2=52∉U ,这与A ⊆U 矛盾).而由A ⊆U 知x 1、x 2∈U ,又1+4=2+3=5,∴q =4或q =6. ∴∁U A ={2,3,5}或∁U A ={1,4,5}. (2)分析 由题目可获得以下主要信息: ①全集U 中有元素2,A 中有元素2. ②∁U A ={5},∴5∈U 且5∉A . ③3∈U 但3∉(∁U A ),∴3∈A .解答本题可根据∁U A ={5},得出⎩⎪⎨⎪⎧a 2+2a -3=53=b解出a 、b 即可.解由题意,利用Venn 图, 可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧b =3 ①a 2+2a -3=5 ②将②式变形为a 2+2a -8=0, 解得a =-4或a =2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a =-4b =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =2b =3为所求. 规律方法 符号∁U A 存在的前提是A ⊆U ,这也是解有关补集问题的一个隐含条件,充分利用题目中的隐含条件也是我们解题的一个突破口,若x ∈U ,则x ∈A 和x ∈∁U A 二者必居其一,不仅如此,结合Venn 图及全集与补集的概念,不难得到如下性质:A ∪(∁U A )=U ,A ∩(∁U A )=∅,∁U (∁U A )=A .变式迁移3 已知U =R ,A ={x |x 2+px +12=0},B ={x |x 2-5x +q =0},若(∁U A )∩B ={2},(∁U B )∩A ={4},求A ∪B . 解 ∵(∁U A )∩B ={2},∴2∈B 且2∉A . ∵A ∩(∁U B )={4},∴4∈A 且4∉B .分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧42+4p +12=022-5×2+q =0,∴p =-7,q =6,∴A ={3,4},B ={2,3},∴A ∪B ={2,3,4}.课时作业一、选择题1.已知集合A ={1,3,5,7,9},B ={0,3,6,9,12},则A ∩∁N B 等于( ) A .{1,5,7} B .{3,5,7} C .{1,3,9} D .{1,2,3} 答案 A解析 ∵A ={1,3,5,7,9},B ={0,3,6,9,12}, ∴∁N B ={1,2,4,5,7,8,…}.∴A∩∁N B={1,5,7}.2.已知U为全集,集合M、N是U的子集,若M∩N=N,则()A.(∁U M)⊇(∁U N) B.M⊆(∁U N) C.(∁U M)⊆(∁U N) D.M⊇(∁U N)答案 C解析利用Venn,如图所示:可知(∁U M)⊆(∁U N).3.已知U={x|-1≤x≤3},A={x|-1<x<3},B={x|x2-2x-3=0},C={x|-1≤x<3},则下列关系正确的是()A.∁U A=B B.∁U B=C C.∁U A⊇C D.A⊇C答案 A解析B={-1,3},∁U A={-1,3}.4.图中阴影部分可用集合M、P表示为()A.(M∩P)∪(M∪P) B.[(∁U M)∩P]∪[M∩(∁U P)]C.M∩∁U(M∩P) D.P∪∁U(M∩P)答案 B5.已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(∁R B)=R,则实数a的取值范围是() A.a≤2 B.a<1 C.a≥2 D.a>2答案 C解析 ∵B ={x |1<x <2}, ∴∁R B ={x |x ≥2或x ≤1}.如图,若要A ∪(∁R B )=R ,必有a ≥2. 二、填空题6.若A ={x ∈Z |0<x <10},B ={1,3,4},C ={3,5,6,7},则∁A B =______,∁A C =______. 答案 {2,5,6,7,8,9} {1,2,4,8,9}解析 ∵A ={1,2,3,…,9},B ={1,3,4},C ={3,5,6,7}, ∴∁A B ={2,5,6,7,8,9},∁A C ={1,2,4,8,9}.7.若全集I ={(x ,y )|x ,y ∈R },集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ,y )|y -3x -2=1,N ={(x ,y )|y ≠x +1},则(∁I M )∩(∁I N )=________.答案 {(2,3)}解析 集合M ,N 都是点集,集合M 中的关系式可变为y =x +1(x ≠2),它的几何意义是直线y =x +1上去掉点(2,3)后所有点的集合;集合N 表示直线y =x +1外所有点的集合.可知∁I M ={(x ,y )|y ≠x +1}∪{(2,3)},表示直线y =x +1外所有点及直线上点(2,3)的集合;∁I N ={(x ,y )|y =x +1},表示直线y =x +1上所有点的集合.从而可得(∁I M )∩(∁I N )只有一个元素(2,3).8.设全集U ={x ||x |<4且x ∈Z },S ={-2,1,3},若∁U P ⊆S ,则这样的集合P 共有________个. 答案 8解析 ∵集合P 与∁U P 个数相同,又∁U P ⊆S , 而S 的子集个数为8,∴∁U P 个数也为8,∴P 的个数也为8. 三、解答题9.已知全集U =R ,集合A ={x |-1≤x ≤2},B ={x |4x +p <0},且B ⊆∁U A ,求实数p 的取值范围.解 ∁U A ={x |x <-1或x >2},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <-p 4.∵B ⊆∁U A ,∴-p4≤-1∴p ≥4,即p 的取值范围是{p |p ≥4}.10.已知全集U =R ,集合A ={x |x <1,或x >2},集合B ={x |x <-3,或x ≥1},求∁R A ,∁R B ,A ∩B ,A ∪B . 解 借助于数轴,如图可知∁R A ={x |1≤x ≤2};∁R B ={x |-3≤x <1};A ∩B ={x |x <-3,或x >2};A ∪B =R . 【探究驿站】11.(1)若实数集R 为全集,集合P ={x |f (x )=0},Q ={x |g (x )=0},H ={x |h (x )=0},则方程f 2(x )+g 2(x )h (x )=0的解集是( )A .P ∩Q ∩(∁R H )B .P ∩QC .P ∩Q ∩HD .P ∩Q ∪H(2)50名学生中,会讲英语的有36人,会讲日语的有20人,既不会讲英语也不会讲日语的有8人,则既会讲英语又会讲日语的人数为( )A .20B .14C .12D .10 答案 (1)A (2)B解析 (1)由f 2(x )+g 2(x )=0知,f (x )=0与g (x )=0同时成立,且h (x )≠0. (2)如图所示,至少会讲英语、日语中一种语言的学生有50-8=42(人),不妨设A={会讲英语的学生},B={会讲日语的学生},则有card(A)=36,card(B)=20,card(A∪B)=42,故既会讲英语又会讲日语的学生人数为card(A∩B)=36+20-42=14.§1.2函数及其表示1.2.1函数的概念自主学习1.理解函数的概念,能用集合与对应的语言刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用.2.通过实例领悟构成函数的三要素;会求一些简单函数的定义域.3.了解区间的概念,体会用区间表示数集的意义和作用.设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B 的一个函数,记作:y=f(x),x∈A.其中x叫自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.2.函数的三要素是定义域、值域和对应关系.3.由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则称这两个函数相同.4.(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a,b].(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示为(a,b).(3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为[a,b),(a,b].(4)实数集R用区间表示为(-∞,+∞).(5)把满足x≥a.,x>a,x≤b,x<b的实数x的集合分别表示为[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],(-∞,b).对点讲练判断对应是否为函数【例1】判断下列对应是否为函数:(1)x→2x,x≠0,x∈R;(2)x→y,这里y2=x,x∈N,y∈R;(3)集合A=R,B={-1,1},对应关系f:当x为有理数时,f(x)=-1;当x为无理数时,f(x)=1,该对应是不是从A到B的函数?分析函数是一种特殊的对应,要检验给定两个变量之间是否具有函数关系,只要检验:(1)定义域和对应关系是否给出;(2)根据给出的对应关系,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都有唯一确定的函。