实验结果分析 高度和速度滤波值基本不变，速度协方差和高度协方差开始要接近速度协方差和高度协方差的 初始值。但是经过几步之后，都趋于 0。 二．同样考虑自由落体运动的物体，用雷达（和物体落地点在同一水平面）进行测量，如图所
Ed 0 1995m d 0 5 0 0 示。如果 Eh0 2005m ,P0 var h0 0 5 0 ，且雷达测距和测角的测量噪声 1 m / s 0 0 2 EV V 0 0
辅助方程：
^ h (k 1| k ) ^2 2 h[ X (k 1), k 1] h (k 1| k ) d H (k 1) | ^ x ( k 1) x ( k 1|k ) X (k 1) d ^2 2 h (k 1| k ) d
^
^
^
P(k 1| k 1) [ I K (k 1) H (k 1)]P(k 1| k )
1995 X (0 | 0) 2005 1
扩展卡尔曼滤波公式，则有： 状态方程： X (k 1) (k 1, k ) X (k ) U (k ) W (k )
0 2 U (k ) 0.5 gt gt
1 (k 1, k ) ＝ 1 t 1 h 2 (k ) d 2 测量方程： Y (k 1) arctan h(k ) V (k ) d
时间[s] 高度[km] 时间[s] 高度[km] 时间[s] 高度[km]
设高度的测量误差是均值为 0、 方差为 1 的高斯白噪声随机序列， 该物体的初始高度 h0 和速度 V0 也是高斯分布的随机变量，且
Eh0 1900m h0 100 0 ,P0 var 。试求该物体高度 EV0 10m / s V0 0 2
^2 h (k 1| k ) d 2 0 ^ 0 h(k 1| k ) 2 ^ 2 h (k 1| k ) d d
一步预测： X (k 1| k ) (k 1, k ) X (k | k ) U (k )
^
^
P(k 1| k ) (k 1, k ) P(k | k ) T (k 1, k )
2
和速度随时间变化的最优估计。 （ g 9.80m / s ） 解： 1. 令 X (k )
h( k ) v(k )
tபைடு நூலகம்1 R（k）=1
Q(k)=0
根据离散时间卡尔曼滤波公式，则有：
X (k 1) (k 1, k ) X (k ) U (k ) Y (k 1) H (k 1) X (k 1) V (k 1)
一步预测： X (k 1| k ) (k 1, k ) X (k | k ) U (k )
^ ^
P(k 1| k ) (k 1, k ) P(k | k ) T (k 1, k )
滤波增益： K (k 1) P(k 1| k ) H (k 1)[ H (k 1) P(k 1| k ) H (k 1) R(k 1)]
0 0.04 ，试根据下列测量数据确定 0.01 0
俯仰角[rad]*1000 0.00075850435876 0.00083282260478 0.00067808241639
0.00200000000000 0.00250000000000 0.00300000000000 0.00350000000000 0.00400000000000 0.00450000000000 0.00500000000000 0.00550000000000 0.00600000000000 0.00650000000000 0.00700000000000 0.00750000000000 0.00800000000000 0.00850000000000 0.00900000000000 0.00950000000000 0.01000000000000 0.01050000000000 0.01100000000000 0.01150000000000 0.01200000000000 0.01250000000000 0.01300000000000 0.01350000000000 0.01400000000000 0.01450000000000 0.01500000000000 0.01550000000000 0.01600000000000 0.01650000000000 0.01700000000000 0.01750000000000 0.01800000000000 0.01850000000000 0.01900000000000 0.01950000000000 0.02000000000000
(k 1, k ) ＝
^
1 t 1
0.5 gt 2 U (k ) ＝ gt
1900 10
H (k 1) ＝ 1 0
滤波初值： X (0 | 0) EX (0)
100 P(0 | 0) var[ X (0)] P0 2
2.81487233105901 2.80671786536244 2.79725268974089 2.78664273475039 2.77320365026313 2.75919535464551 2.74331288628195 2.72538888482812 2.70664967712312 2.68632403406473 2.66386533852220 2.64093529707333 2.61621111727357 2.59038109850785 2.56298794272843 2.53498317950797 2.50647589372246 2.47571075016386 2.44560676000982 2.41403690772088 2.38252228611696 2.35016501182332 2.31790939837137 2.28597616656453 2.25418431681401 2.22259320219535 2.19237398969466 2.16290177997271 2.13441725793706 2.10811064690727 2.08322179823195 2.06148109026767 2.04219885094031 2.02610235314357 2.01290326863579 2.00463157388395 2.00058143251913
是高斯白噪声随机序列，均值为零、方差阵 R 物体的高度和速度随时间变化的估计值。 时间[s]*1000 斜距[km] 0.00050000000000 2.82741643781891 0.00100000000000 2.82519811729771 0.00150000000000 2.82066686966236
Eh0 2300m EV 30m / s 0
由实验结果分析可得 度滤波值和速度滤波值在开始几步接近初始值，协方差值基本不变。
2）当初始协方差值改变时，改为 P 0 var
h0 150 0 V0 0 10
T T 1
滤波计算： X (k 1| k 1) X (k 1| k ) K (k 1)[Y (k 1) H (k 1) X (k 1| k )]
^
^
^
P(k 1| k 1) [ I K (k 1) H (k 1)]P(k 1| k )
一.
已知一物体作自由落体运动，对其高度进行了 20 次测量，测量值如下表： 1 1.9945 8 1.6867 15 0.8980 2 1.9794 9 1.6036 16 0.7455 3 1.9554 10 1.5092 17 0.5850 4 1.9214 11 1.4076 18 0.4125 5 1.8777 12 1.2944 19 0.2318 6 1.8250 13 1.1724 20 0.0399 7 1.7598 14 1.0399
滤波增益： K (k 1) P(k 1| k ) H (k 1)[ H (k 1) P(k 1| k ) H (k 1) R(k 1)]
T T 1
滤波计算： X (k 1| k 1) X (k 1| k ) K (k 1)[Y (k 1) h( X (k 1| k ), k 1)]
2. 实验结果
高度随时间变化估计
速度随时间变化的最优估计
高度协方差
速度协方差
从以上的结果，可以得到高度和速度的估计值，再通过所得到的高度协方差和速度协方差，可 见用卡尔曼滤波法， 虽然刚开始的初始高度协方差很大为 100， 但通过 2 步之后减小到不超过 1， 逐渐接近于 0， 同样的速度协方差刚开始的时候也比较大，为 2，但是通过 5 步之后迅速减小， 到 10 步之后接近于 0。 3. 有关参数的影响（例如初始条件、噪声统计特性对滤波结果的影响等） ； 1）初始条件改变时，改变初始高度值，和速度值
0.00085279036802 0.00072900768452 0.00080072481819 0.00075095576213 0.00065762725379 0.00081186148545 0.00079783727034 0.00073060712986 0.00063242006530 0.00063656524495 0.00080659845639 0.00067704740069 0.00076573767706 0.00054955759081 0.00058487913971 0.00055602747368 0.00033550412588 0.00056012688452 0.00056694491978 0.00059380631025 0.00053681916544 0.00065871960781 0.00068598344328 0.00060922471348 0.00057086018918 0.00041308535708 0.00047302026281 0.00030949309972 0.00040552624986 0.00037545033142 0.00017282319262 0.00020758327980 0.00037186464579 0.00018082163465 0.00023323830160 -0.00004536186964 0.00003246284068