【本讲重点 】
1．不识“数论”真面目，只因知识不系统——数论专题系统梳理
2．数论专题综合性题目选讲
模块一：
数论专题系统梳理
一、整除性质
①如果自然数a 为M 的倍数，则ka 为M 的倍数。

(k 为正整数)
②如果自然数a 、b 均为M 的倍数，则a ＋b ，a －b 均为M 的倍数。

③如果a 为M 的倍数，p 为M 的约数，则a 为p 的倍数。

④如果a 为M 的倍数，且a 为N 的倍数，则a 为[M ，N ]的倍数。

二、整除特征
1．末位系列
(2，5)末位
(4，25)末两位
(8，125)末三位
2．数段和系列
3、9各位数字之和
——任意分段原则(无敌乱切法)
33，99两位截断法
——偶数位任意分段原则
3．数段差系列
11整除判断：奇和与偶和之差
余数判断：奇和－偶和(不够减补十一，直到够减为止)
7、11、13—三位截断法：从右往左，三位一隔：
⎧⎨⎩整除判断：奇段和与偶段和之差
余数判断：奇段和-偶段和（不够减补，直到够减）则
三、整除技巧：
1．除数分拆：(互质分拆，要有特征)
2．除数合并：(结合试除，或有特征)
3．试除技巧：(末尾未知，除数较大)
4．同余划删：(从前往后，剩的纯粹)
5．断位技巧：(两不得罪，最小公倍)
四、约数三定律
约数个数定律：(指数＋1)再连乘
约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘
约数积定律：自身n (n ＝约数个数÷2)
五、完全平方数
①特征 ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩末位：0、1、4、5、6、9
÷3余0或1余数：
÷4余0或1
②奇数个约数⇔完全平方数⇔偶指性
六、短除模型
七、质数明星：
2⇔奇偶性
5⇔个位
八、分解质因数
1．质数：快速判断
2．唯一分解定律
3．见积就拆——大质因子分析
九、余数定律
1．利用整除性质求余数
2．利用余数性质求余数
3．利用除数分拆求余数
十、带余除式
代数思想⇔数论方程⇔去余化乘，找倍试约
十一、同余问题
1．同余定理：如果a 与b 除以m 余数相同，则a 、b 之差为m 的倍数。

2．①−−−−→余数性质不同余同余
②去余化乘，找倍试约。

十二、剩余问题
三种解法⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
去同余数，添同补和谐法
逐级满足法
模块二：
数论专题综合性题目选讲
(2010年西城实验小升初试题)
2025的百位数字为0，去掉0后是225，225×9＝2025。

这样的四位数称为“零巧数”，那么所有的零巧数是_____。

若两个自然数的平方和是637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是多少？
一个两位数，数字和是质数。

而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数。

满足条件的两位数为_____。

(2009年清华附中小升初)
对四位数abcd，若存在质数p和正整数k，使a×b×c×d＝p k，且a＋b＋c＋d＝p p－5，求这样的四位数
的最小值，并说明理由。

已知!a b c de
=
23258501738849766000，其中a，b，c，d，e表示五个互不相同的偶数数字，且c＞b，求a，
b，c，d，e分别是多少?
数论专题考点分析与技巧总结
谷老师感悟
1．数论一直是升初和杯赛考查最多的专题，一般保守估计，平均每套试卷25%分值考查数论。

2．2011年小升初数论考查三重点：
约数个数定律逆用，完全平方数，短除模型。

3．“代数思想＋枚举验证”数论杀伤力最强的武器。