恩格斯说：“要辨证而 又唯物地了解自然 ,就必 须掌握数学”.
马克思 恩格斯
联合国教科文组织在一份调查报告中强调 指出：“目前科学研究工作的特点之一是各 门学科的数学化”。“反过来科学技术的发展， 又成为数学产生和发展的源泉与动力。”
数学有一个特殊的位置，它是一个专门 的领域，但又为其他科学领域提供思维的 工具。
,
C (3000 ) 0
故x0 3000 为极小值点，又是唯一 的极值点，
因此也是最小值点，
故当该厂生产3000件产品时，平均成本最小.
五、不定积分
例：求
解: 原式 (cos x sin x) 2(cos x sin x) dx
cos x sin x


dx

2
ln 2
ln 2
lim
n
n
n2 2


lim
n
1
1


n2
1

lim n
n

1
n2

n2
1
2

n2
1
n

1
三、 连续
定义: 设函数
在 的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f (x) 在 x0 连续.
可见 , 函数
在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1)
在点 有定义 , 即
设某厂商在组织生产时追求利润极大。令他达到
利润极大时的生产量为q，产品的市场价格为p,故他
的收入为p q。设他生产q 的成本为c (q),则他的利润
为 F(q) pq c(q)
当他生产q0使其达到利润极大 时，他的边际利润必为零，即
F(q)
' F '(q) |qq0 p c'(q) 0
下面我们来看一些实例：
一、 映射
引例1：
某校学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
某班学生的集合 按一定规则入座
某教室座位 的集合
引例2：
定义： 设 X , Y 是两个非f空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作 f : X Y.

f 3 ( x)
dx

f (x) f ( x)
f 2 ( x) f ( x) f 2 ( x)
f ( x) dx

f (x) [ f ( x)
f
( x)
] dx
f ( x)

f (x) d f ( x)
f (x) f ( x)
1 [ f ( x) ]2 C 2 f ( x)
q0
例：设总成本C(x) 9000 40x 0.001x2,求x ?时,
平均成本C (x)最小.
解： 平均成本C (x) C(x) 9000 40x 0.001x,
x
x
C
(
x)


9000 x2

0.001,
得驻点x0 3000
C
( x)

18000 x3
如图所示 , 可知

n
r
当 n 无限增大时, 无限逼近 S, （刘徽割圆术）
定义: 0, 0,使当0 x x0 时,
恒有 f ( x) A .
记为 lim f ( x) A 或 x x0
f ( x) A(当x x0 )
例: 设函数
f
(
x)


X
f
Y
例： 求函数y log( x1) (16 x2 )的定义域.
解: 16 x 2 0,
x 1 0,
x 1 1,
x 4

x

1
x 2
1 x 2及2 x 4, 即(1,2) (2,4).
例： 已知函数
y

f (x)
12
六、定积分
例： 计算定积分
解: 令 t 2x 1,则 x t 2 1, dx t d t , 且 2
当 x 0 时, t 1; x 4 时, t 3 .
∴
原式 =
3
t
2 1 2

2
t
d
t
1t

1 2
3
1
(t 2

3)
dt
1(1t3 3t) 3
23
1
例：计算下列曲线围成的平面图形的面积
2. 学数学最好的方式是做数学.
著名数学家华罗庚说：
聪明在于学习 , 天才在于积累 . 学而优则用 , 学而优则创 . 由薄到厚 , 由厚到薄 .
华罗庚
3. 要学好高等数学，就必须了解高等数学 的特点，高等数学具有三个显著的特点：
1、高度的抽象性
2、严谨的逻辑性
3、广泛的应用性
4. 注意抓好学习的“六部曲”.
x 0
1, ,
x0 x0
x 1 , x 0
y
y x 1
1
o 1
x
y x 1
讨论 x 0 时 f (x) 的极限是否存在 .
解: 利用单侧极限定理 . 因为
lim f (x) lim (x 1) 1
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
四、导数
例：设
f (x0 ) 存在,求
lim f (x0 x (x)2 ) f (x0 ) .
x0
x
解:
原式=
lxim0
f
( x0

x (x)2) x (x)2

f
(x0 )
x
(x)2
x

f (x0 )
经济学的厂商理论里有一个称为“边际”的概 念。
n
1 x
lim (1 x2 )(1 x2 )(1 x4 )(1 x2n )
n
1 x
(1 x 2n )(1 x 2n )
1 x 2n1
lim
lim
n
1 x
n 1 x
1. 1 x
(当 x 1时, lim x2n1 0.) n
世界上任何客观存在都有其 “数”与“形”的属性特征，并 且一切事物都发生变化，遵循量 变到质变的规律。
凡是研究量的大小、量的变化、量 与量之间关系以及这些关系的变化， 就少不了数学。
同样，客观世界存在有各种不同的 空间形式。因此，宇宙之大，粒子之 微，光速之快，实事之繁，……无处 不用数学。
马克思说：“一门科学, 只有当它成功地运用数 学时,才能达到真正完善 的地步” .
存在 ;
(2) 极限
存在 ;
(3)
例：当 Байду номын сангаас 1时,
求 lim(1 x)(1 x 2 )(1 x 4 )(1 x 2n ). n
解： 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
原式 lim (1 x)(1 x)(1 x2 )(1 x4 )(1 x2n )
如何学习高等数学
主讲：经管905 高兵龙
主要内容
一、学习高等数学的重要性 二、高等数学课教学的特点 三、怎样才能学好高等数学
初等数学
研究对象为常量, 以静止观点研究问题.
高等数学
研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
高等数学是高等学校许多专 业学生必修的重要基础理论课程。 数学主要是研究现实世界中的 “数量关系”与“空间形式”。
第一部曲：预习 第二部曲：听课 第三部曲：记笔记 第四部曲：复习 第五部曲：做作业 第六部曲：答疑
5. 正确的学习方法是极为重要的.
法国著名数学家、哲学家笛卡尔强调指出： “没有正确的方法，即使有眼睛的博学者也 会像瞎子一样盲目摸索。”
著名数学家拉普拉斯说：“认识一位巨人 的研究方法，对于科学进步，------并不比 发现本身更少用处。科学研究的方法经常是 极富兴趣的部分。”
d(cos x sin x) cos x sin x
x 2ln cos x sin x C
例： 求
[ f (x) f 2 (x) f (x)]dx
f (x)
f 3 (x)
的值。
解：
f ( x) [ f 2 ( x) f ( x) f ( x)]
x, x,
0 x 1 x 1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域.
解:
f
(
1 2
)

2
1 2

2
f
(
1 t
)

11 , t
2, t
0t 1 t 1
定义域 D [0, )
t 0时
函数无定义
值 域 f (D) [0, )
二、 极限
引例. 设有半径为 r 的圆 ,用其内接正 n 边形的 面积 逼近圆面积 S .
x0
x0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f (x) 不存在 .
x0
例：证明
证: 利用夹逼准则 . 由
n2
n2 n

n

n2
1


n2
1
2
n2
1
n


n
n2 2

且