第二章 运动学2-1 有人说：“分子很小，可将其当作质点；地球很大，不能当作质点，只能将其当作刚体。

”这句话对吗？为什么？答：分子作平动可视为质点，分子作转动，振动时不能作质点。

研究地球绕太阳公转，地日距离d r >>地球尺寸，可忽略自转，视为质点。

研究地球自转时，则不能视为质点。

2-2 在一列行驶的火车内，A 、B 两个旅客有这样的对话。

A:我静静地坐在车内半个多小时了，我一点也没有运动。

B:不对，你看看车窗外，铁路边的物体都飞快地向后掠去，火车在快速前进，你也在很快地运动。

试把A 、B 两个旅客讲话的含意阐述得确切一些。

究竟旅客A 是运动，还是静止？你如何理解运动和静止这两个概念？答：A: A 是选择车厢为参考系，则A 相对车厢是静止的。

B: B 是选择地面上的物体为参考系，则A 相对地面上的物体是运动的。

所以选择不同的参考系，描述物体的运动是不同的。

2-3 回答下列问题：（1）位移与路程有什么区别？（2）速度与速率有什么区别？（3）瞬时速度与平均速度有什么区别？二者之间有何联系？答：（1）位移是矢量，路程是标量。

路程是物体运动经历的实际路经，而位移是物体初末位置矢量之差，表示物体位置的改变，一般并不是物体所经历的实际路经。

例如，一物体绕半径为R 一周后回到原位置，其路程为2πR ,而位移却为零。

只有当物体作单向直线运动时，位移的数值才与路程相同。

（2）速度是矢量，即有大小又有方向，两者中有一个变化，速度都有变化。

速率是标量，即速度的大小是速率。

（3）瞬时速度是平均速度的极限值。

0l i m t r d r v t d t→==表示某一时刻的速度，速度的方向沿质点轨迹的切线，并指向质点前进的方向。

平均速度是反映了质点在这段时间内位置矢量对时间的平均变化率，即r v t = 2-4 一质点在Oxy 平面上运动，已知质点运动方程为()()()r t x t i y t j =+在计算质点的速度和加速度的大小时，有人分别给出了以下两种结果：（1） 先求出r 的量值22r x y =+再得出质点的速度和加速度分别为dr v dt= ， 22d r a dt = （2） 先求出速度和加速度的分量，再合成求出结果22dx dy v dt dt ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，222222d x d y a dt dt ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭你认为这两种方法哪一种正确？为什么？答：速度、加速度均是矢量，因此求速度和加速度时，应根据矢量求导法则：()d r d dx dy v xi y j i j dt dt dt dt ==+=+ ()22222222d r d d x d y a xi y j i j dt dt dt dt ==+=+ 在上式求导中，因为i 、j 是单位矢量，且是恒矢量。

0di dt =，0d j dt=。

由此，速度的大小 22dx dy v dt dt ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 加速度的大小 222222d x d y a dt dt ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此，第二种方法是正确的。

2-5 请以实例说明下列问题：（1）物体能否有不变的速率而仍有变化的速度？（2）物体速度为零时，其加速度是否一定为零？反之，物体的加速度为零时，其速度是否一定为零？（3）物体的加速度不断减小，而其速度却不断增大，有可能吗？（4）当物体具有大小和方向都不变的加速度时，其速度的方向是否可以有变化？答：（1）匀速率圆周运动，v 不变，v 方向不断变化。

（2）竖直上抛物体到达顶点时，0,==v g a 。

匀速直线运动时，0,0≠=v a 。

（3）只要0>a ，但↓a ，且a 与v 同号，则质点作加速运动，速度↑v 。

（4）g 竖直向下，抛体运动的速度方向不断变化，加速度是恒矢量。

2-6 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度与时间的关系是否是线性的？该质点的位置矢量与时间的关系是否也是线性的呢？答：已知 加速度 dv a ct dt==初始条件 0t = 0x 0v 则有，速度 020012v t t v dv adt ctdt ct ===⎰⎰⎰ ∴ 2012dx v v ct dt =+= 坐标 0200012x t tx dx vdt v ct dt ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ∴ 30016x x v t ct =++ 可见，速度和坐标与时间不是线性的。

2-7 一物体在0t =时开始自由下落，利用公式212h gt = 求得物体下落距离19.6m h =的时刻为2s +和2s -。

这里的2s -有什么意义？答：由自由下落公式 212h gt = 得出 2h t g=± 一物体在0t =时开始自由下落，则当物体下落距离19.6m h =时，12s t =。

而22s t =-是无意义的，因为时间是为正值的。

2-8 一人站在地面上用枪瞄准悬挂在树上的木偶击发枪机，当子弹从枪口射出时，木偶正好从树上由静止自由下落。

子弹可以射中木偶吗？试说明为什么？ 答：取子弹为坐标原点，在直角坐标系Oxy 中，子弹作抛体运动，其运动方程为 110cos x v t θ= 21101sin 2y v t gt θ=- 木偶初始位置为（20x ，20y ），木偶作自由落体运动，其运动方程为220x x =222012y y gt =- 子弹击中木偶时的条件：12y y =1220x x x ==瞄准时: 2020tan y x θ= 由此解得： 2011010cos cos x x t v v θθ== 2222201101020202101111sin sin tan 2cos 222x y v t gt v gt x gt y gt y v θθθθ=-=-=-=-= 所以，子弹能击中木偶。

2-9 质点在平面上运动，其运动方程为()r r t =，速度为()v v t =。

（1） 如果0dr dt=，0d r dt ≠，质点作什么运动？ （2） 如果0dv dt =，0d v dt ≠，质点作什么运动？ 答：（1）因为 0dr dt=，所以 r =恒量，则质点作半径为r 的圆周运动。

（2）因为 0dv dt=，所以 v =恒量，则质点作匀速率曲线运动。

2-10 一质点作匀速率圆周运动，取圆心为坐标原点。

质点的位置矢量与速度、位置矢量与加速度、速度与加速度的方向之间有何关系？答：一质点作匀速率圆周运动，其加速度为 2n n v a a e r== 速度为 t v ve =位矢为 n r re =-且 t n e e ⊥所以 r v ⊥ ， r a 但方向相反， v a ⊥。

2-10 下列说法是否正确？（1） 质点作圆周运动时，其加速度指向圆心；（2） 质点作匀速率圆周运动时，其加速度为恒量；（3） 只有法向加速度，而无切向加速度的运动，一定是圆周运动；（4） 只有切向加速度，而无法向加速度的运动，一定是直线运动。

答：（1）错。

因为质点作圆周运动时，其加速度为t t n n a a e a e =+加速度的方向为 arctan n ta a θ= θ：为总加速度与切向加速度的夹角，所以，加速度不是指向圆心。

（2） 错。

因为匀速率圆周运动不是匀加速运动，匀加速运动一般理解为加速度为常值的运动，这要求加速度的大小和方向均不变；而匀速率圆周运动速率不变，但速度的方向时刻在变，故加速度不是恒量。

（3）不一定。

因为只有法向加速度，而无切向加速度的运动，其加速度为2n n v a a e r== 当r =恒量时，是圆周运动；当r ≠恒量时，不是圆周运动。

（4）对。

因为只有切向加速度，而无法向加速度的运动，其加速度为t t dv a a e dt==速度为 t v ve =因为 a v 则一定是直线运动。

2-11 质点作圆周运动时，其加速度的方向是否一定与速度的方向垂直?如果不一定，在什么情况下,加速度的方向偏向运动的前方？在什么情况下，加速度的方向偏向运动的后方？答：质点作圆周运动，其加速度为 t t n n a a e a e =+加速度的方向为 arctan n ta a θ= θ：为总加速度与切向加速度的夹角，所以，加速度不是指向圆心。

而速度为 t v ve =所以，加速度的方向不一定与速度方向垂直。

在加速情况下，t a 与v 同向，加速度的方向偏向运动的前方；在减速的情况下，t a 与v 反向，加速度的方向偏向运动的后方。

2-13 在地球的赤道上，有一质点随地球自转的加速度为E a ；而此质点随地球绕太阳公转的加速度为s a 。

设想地球绕太阳的轨道可视为圆形，这两个加速度之比是多少？答：地球自转的加速度为 22E E E E E 2a R R T πω⎛⎫== ⎪⎝⎭地球绕太阳公转的加速度为 22S S S S S 2a R R T πω⎛⎫== ⎪⎝⎭则这两个加速度之比为 2S E E S S E 5.66T a R a R T ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 2-14 以恒定角速度转动的飞轮上有两个点，一个点在飞轮的边缘，另一个点在转轴与边缘之间的一半处。

试问：在t 时间内，哪一个点运动的路程较长？哪一个点转过的角度较大？哪一个点具有较大的线速度、角速度、线加速度和角加速度？答：在刚体中，各点的角位移θ、角速度ω、角加速度β都一样，所以 路程 A A S R θ= B S B R θ=因为 A B R R > 所以 A B S S >速度 A A v R ω= B B v R ω=因为 A B R R > 所以 A B v v >线加速度 A A t a R β= ，B B t a R β=， 2A A n a R ω=，2B B n a R ω=因为 A B R R > 所以 tA tB a a >， A B n n a a >2-15 一艘轮船以恒定速度向前行驶，此轮船上有一个人竖直向上抛出一粒石子，此石子是否能落回到人的手中？答：由于轮船以恒定速度向前行驶，故是一个较好的惯性系，此轮船中的运动规律应与地面上一样，所以，此轮船上有一个人竖直向上抛出一粒石子，此石子能落回到人的手中。

在轮船上静止的观察者看到石子运动的轨迹是垂直线，在地面上的观察者看到石子运动的轨迹是抛物线。

2-16 一只鸟在空中水平面上沿直线以恒定速率相对地面飞行，在公路上有一行驶着的汽车，在什么情况下，汽车上的观察者观察到鸟是静止不动的？在什么情况下，他观察到小鸟向前飞行？在什么情况下，他观察到小鸟似乎往回飞？答：设小鸟在空中水平面上沿直线的恒定速率为1v ，在公路上行驶着的汽车的恒定速率为2v ，则：当21v v =时，汽车上的观察者观察到小鸟是静止不动的；当21v v <时，他观察到小鸟向前飞行；当21v v >时，他观察到小鸟似乎往回飞。