第一章 力和运动（质点运动学）一. 选择题:［ B ］1、一质点沿x 轴作直线运动，其v t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t = s 时，质点在x 轴上的位置为(A) 5m ． (B) 2m ．(C) 0． (D) 2 m ．(E) 5 m.(1 2.5)22(21)122()x m =+⨯÷-+⨯÷=提示：［ C ］2、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动．(C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动． 提示：如图建坐标系，设船离岸边x 米，222l h x =+22dl dxlxdt dt= 22dx l dl x h dldt x dt x dt+==0dlv dt=- 220dx h x v i v i dt x +==-rr r2203v h dv dv dxa i dt dx dt x==⋅=-r rr r［ D ］3、一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r ,ϖ的端点处, 其速度大小为1 4.5432.52-112t (s)v (m/s)v ϖxo(A) t r d d (B) tr d d ϖ(C) t rd d ϖ (D) 22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x提示：22, dx dy dx dy v i j v dt dt dt dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+∴=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭r r v［ B ］4、质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T 秒转一圈．在2T 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为(A) 2R /T , 2R/T ． (B) 0 , 2R /T(C) 0 , 0． (D) 2R /T , 0.提示：平均速度大小：0rv t∆==∆v r 平均速率：2s R v t T∆==∆π ［ B ］5、在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2 m/s 速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向．今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x 、y 方向单位矢用i ϖ、j ϖ表示)，那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为(A) 2i ϖ＋2j ϖ． (B) 2i ϖ＋2j ϖ． (C) －2i ϖ－2j ϖ． (D) 2i ϖ－2j ϖ．提示：2(2)B A B A v v v j i →→→=+=+-r r r r r地地［ D ］6、某人骑自行车以速率v 向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30o方向吹来，人感到风从哪个方向吹来(A)北偏东30 (B)北偏西60 (C) 北偏东60 (D) 北偏西30提示：根据v r 风对人=v r 风对地+v r地对人，三者的关系如图所示：这是个等边三角形，∴人感到风从北偏西300方向吹来。
二. 填空题v r风对人v r地对人v r风对地xMh 1h 2 o x x m1、已知质点的运动学方程为j t t i t t r ϖϖϖ)314()2125(32++-+= (SI)当t = 2 s 时，加速度的大小为a = 217/m s ;加速度a ϖ与x 轴正方向间夹角= 0104222222222100241417/19010424t st st sx y x y d r ai tji jdta a a m s a arctg arctg a ===-==-+=-+∴=+=+=⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭v v v v v v提示：πα2、在半径为R 的圆周上运动的质点，其速率与时间关系为2ct =v （式中c 为常量），则从t = 0到t 时刻质点走过的路程S (t ) =__313ct ______；t 时刻质点的切向加速度a t =___2ct _____；t 时刻质点的法向加速度a n =___24c t R_______。
提示：23002241, 32, ttt n ds v s vdt ct dt ct dt dv v c t a ct a dt R R========⎰⎰3、灯距地面高度为h 1，一个人身高为h 2，在灯下以匀速率v 沿水平直线行走，如图所示．他的头顶在地上的影子M 点沿地面移动的速度为 112M h v v i h h =-rr．提示：坐标系如图，设人的坐标为x ，头的影子坐标为x M ，人向x 轴正向运动。
111121212M M h x dx h h v dx v i i ih h dt h h dt h h ===⋅=---r r r r m 答：根据三角形的相似性，有xn at ag4、一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A 点处速度v ϖ的大小为v ，其方向与水平方向夹角成30°．则物体在A 点的切向加速度a t =____-0.5g_______，轨道的曲率半径=________2233v g⨯__________．提示：将g 进行分解。
22sin 300.5cos 30 cos 30t n a g gv v a g g =-=-==∴=ρρ 5、一质点从静止出发沿半径R =1 m 的圆周运动，其角加速度随时间t 的变化规律是=12t 2-6t (SI)， 则质点的角速度=__4t 3-3t 2____(SI)______； 切向加速度 a t =___12t 2-6t _(SI)___________．提示:()2320012643t tdt t t dt t t ==-=-⎰⎰ωβ2126t a R t t ==-β6、一质点从O 点出发以匀速率1 cm/s 作顺时针转向的圆周运动，圆的半径为1 m ，如图所示．当它走过2/3圆周时，走过的路程是___4π/3 （m ）___，这段时间内的平均速度大小为___3(400)(/)m s π______，方向是__与x 轴正方向逆时针成600_______．24S 2R (m)33r 2cos3033v m /s S t 400v=⨯=∆⨯===∆v v πππ提示：路程平均速度大小（）三．计算题1、有一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为x = t 2– 2 t 3(SI) ．试求： (1) 第2秒内的平均速度； (2) 第2秒末的瞬时速度；v ϖ30°AyxOPvr(3) 第2秒内的路程．解：（1）t 1=1s: x 1=2.5m; t 2=2s: x 2=2m ;∴21212 2.50.5(/)21x x v i i i m s t t --===---r rr r （2）,)69(2i t t i dtdx v ρρρ-== )/(6)4629(22s m i i v s t ρρρ-=⨯-⨯==∴时，（3）令0)69(2=-=i t t v ρρ， 得：s t 5.1'=. 此时x’=3.375m;又t 1=1s 时, x 1=2.5m; t 2=2s 时, x 2=2m ∴第二秒内的路程s=(x’-x 1)+(x’-x 2)=（）+=2.25m2、一正在行驶的汽船发动机关闭后得到一个与船速方向相反的大小与船速平方成正比的加速度：2kv a -=，其中k 为正的常数，设发动机关闭时船速为v o ，试证明在发动机关闭后时间t 内船行驶的距离为)1ln(1+=kt v k x o 。
解：已知：i kv a ρρ2-=, 又dt v d a ρρ=2kv dt dv -=∴， 分离变量，得：kdt v dv -=2积分：,1,1,0000200tkv v v kt vkdt v dvt v v vv t +=-=--=⎰⎰又⎰⎰+=+=∴=xtdt t kv v dx tkv v dt dx dtdx v 00000,1,1,得：)1ln(10kt v kx +=3、物体作斜抛运动，初速度1020-⋅=s m v 与水平方向成45o角，求： (1) 在最高点处的切向加速度、法向加速度；(2) 在2=t 秒时的切向加速度、法向加速度。
解：（1）最高点：)/10,(0,,2s m g g a g a e g a t n n ===∴=取为重力加速度ρρ（2）、)/(1021045sin ,/21045cos 0000s m t gt v v s m v v y x -=-===t t v v v y x 2200100400222-+=+=222,2200100400)2(100t n t a g a tt t dtdv a -=-+-==22/24.9225,/83.32252s m a s m a s t n t =+==-==时，（註：本题也可用填空题4的方法做，即求出v ρ与水平方向的夹角，然后再将g 分解为a t 和a n ）。
4、质点沿半径为R 的圆周运动，加速度与速度的夹角ϕ保持不变，求该质点的速度随时间而变化的规律，已知初速为0v 。
解：Rv a dtdva a atg n t tn 2,,===ϕ ⎰⎰-=∴=+-==vv ttv Rtg Rtg v v Rtg t v v Rtg dt v dv Rtg v dt dv 0000022,11,,ϕϕϕϕϕ分离变量并积分：得：选做题：1、细杆OL 绕O 点以匀角速ω转动，并推动小环C 在固定的钢丝AB 上滑动。
图中的l 为已知，试利用ϕ或S 表示小环的速度与加速度。
解：如图建立坐标系，则222() cos 2cos dr ds ds d d ltg v i i i l idt dt d dt d dv dv d a l tg idt d dt--===⋅=⋅===⋅=r r r r r r r r r r ϕϕωωϕϕϕϕωϕϕϕ2、一架飞机从A 处向北飞到B 处，然后又向南飞回到A 处，飞机相对于空气的速度为v ，而空气相对于地面的速度为B A u 、，之间的距离为l ，飞机相对于空气的速率v 保持不变。
（1）如果空气是静止的（即u=0），试证来回飞行时间为t 0=2l/v(2) 如果空气的速度由东向西，试证来回飞行时间22021/vu t t -=；x(3) 如果空气的速度的方向偏离南北方向某一角度θ，则来回飞行时间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2222231/sin 1v u vu t t θ。
解：根据+v v v →→→=r r r机地机气气地求解。
（1）0v 0, v , 2lv v t v→→→=∴==∴=rQ 气地机地机气 （2）如图所示，无论从A 飞到B ，还是从B 飞到A ，v →==机地22l t v →∴===机地（3）从A 飞到B 时，如右图所示：cos v u θ→=机地A B t →=；从B 飞到A 时，如下图所示：cos v u θ→=机地B A t →=2321A B B Au t t t t v →→⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭Bv →r 机地v →r 机气v →r 气地Av →r气地v →r 机气v →r 机地ABθ v →r 机地（大小为u ）v →r气地（大小为v ）v →r 机气v r 气v r。