科学思维系列(一)——求解变力做功的几种方法及摩擦力做功的情况
功的计算，在中学物理中占有十分重要的地位．功的计算公式W ＝Fl cos α只适用于恒力做功的情况，对于变力做功，则没有一个固定公式可用，但可以通过多种方法来求变力做功，如等效法、微元法、图象法等．
一、求解变力做功的几种方法 法1.用公式W ＝F －
l cos α求变力做功
如果物体受到的力是均匀变化的，则可以利用物体受到的平均力的大小F －＝F 1＋F 2
2来计
算变力做功，其中F 1为物体初状态时受到的力，F 2为物体末状态时受到的力．
【典例1】 用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比．已知铁锤第一次使铁钉进入木板的深度为d ，接着敲第二锤，如果铁锤第二次敲铁钉时对铁钉做的功与第一次相同，那么，第二次使铁钉进入木板的深度为( )
A ．(3－1)d
B ．(2－1)d C.
5－1d
2
D.
22
d 【解析】 根据题意可得W ＝F －1d ＝kd 2d ，W ＝F －
2d ′＝kd ＋k d ＋d ′2
d ′，联立解得d ′
＝(2－1)d (d ′＝－(2＋1)d 不符合实际，舍去)，故选项B 正确．
【答案】 B
法2.用图象法求变力做功
在F ­ x 图象中，图线与x 轴所围的“面积”的代数和表示F 做的功．“面积”有正负，在x 轴上方的“面积”为正，在x 轴下方的“面积”为负．如图甲、乙所示，这与运动学中由v ­ t 图象求位移的原理相同．
【典例2】 用质量为5 kg 的均匀铁索，
从10 m 深的井中吊起一质量为20 kg 的物体，此过程中人的拉力随物体上升的高度变化如图所示，在这个过程中人至少要做多少功？(g 取10 m/s 2
)
【解析】 方法一 提升物体过程中拉力对位移的平均值： F －＝250＋2002
N ＝225 N
故该过程中拉力做功：W ＝F －
h ＝2 250 J.
方法二 由F ­ h 图线与位移轴所围面积的物理意义，得拉力做功：W ＝250＋200
2×10
J ＝2 250 J.
【答案】 2 250 J
法3.用微元法求变力做功
圆周运动中，若质点所受力F 的方向始终与速度的方向相同，要求F 做的功，可将圆周分成许多极短的小圆弧，每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，力F 对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，这样变力(方向时刻变化)做功的问题就转化为多段上的恒力做功的问题了．
【典例3】 如图所示，质量为m 的质点在力F 的作用下，沿水平面上半径为R 的光滑圆槽运动一周．若F 的大小不变，方向始终与圆槽相切(与速度的方向相同)，求力F 对质点做的功．
【解析】 质点在运动的过程中，F 的方向始终与速度的方向相同，若将圆周分成许多极短的小圆弧Δl 1、Δl 2、Δl 3、…、Δl n ，则每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，所以质点运动一周，力F 对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，即W ＝W 1＋W 2＋…＋W n ＝F (Δl 1＋Δl 2＋…＋Δl n )＝2πRF .
【答案】 2πRF .
变式训练1 如图所示，放在水平地面上的木块与一劲度系数k ＝200 N/m 的轻质弹簧相连，现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x 1＝0.2 m ，木块开始运动，继续拉弹簧，木块
缓慢移动了x 2＝0.4 m ，求上述过程中拉力所做的功．
解析：木块刚要滑动时，拉力的大小F ＝kx 1＝200×0.2 N＝40 N ，从开始到木块刚要滑动的过程，拉力做的功W 1＝
0＋F 2x 1＝40
2
×0.2 J＝4 J ；木块缓慢移动的过程，拉力做的功W 2＝Fx 2＝40×0.4 J＝16 J ．故拉力所做的总功W ＝W 1＋W 2＝20 J.
答案：20 J 变式训练2
如图所示，一质量为m ＝2.0 kg 的物体从半径为R ＝5.0 m 的圆弧的A 端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B 端(圆弧AB 在竖直平面内)．拉力F 大小不变始终为15 N ，方向始终与物体在该点的切线成37°角，圆弧所对应的圆心角为60°，BO 边为竖直方向，g 取10 m/s 2
.求这一过程中：
(1)拉力F 做的功； (2)重力G 做的功；
(3)圆弧面对物体的支持力F N 做的功．
解析：(1)将圆弧A B ⌒分成很多小段l 1、l 2、…、l n ，拉力在每小段上做的功为W 1、W 2、…、
W n ，因拉力F 大小不变，方向始终与物体在该点的切线成37°角，所以W 1＝Fl 1cos 37°，W 2
＝Fl 2cos 37°，…，W n ＝Fl n cos 37°，所以W F ＝W 1＋W 2＋…＋W n ＝F cos 37°(l 1＋l 2＋…＋l n )＝F cos 37°·π
3
R ＝20π J＝62.8 J.
(2)重力G 做的功W G ＝－mgR (1－cos 60°)＝－50 J.
(3)物体受的支持力F N 始终与物体的运动方向垂直，所以W FN ＝0. 答案：(1)62.8 J (2)－50 J (3)0 二、摩擦力做功的情况 1．静摩擦力做功的特点：
(1)静摩擦力可以对物体做正功(静摩擦力为动力)，也可以做负功(静摩擦力为阻力)，还可以不做功．
(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零． 2．滑动摩擦力做功的特点：
(1)滑动摩擦力可以对物体做正功(滑动摩擦力为动力)，也可以做负功(滑动摩擦力为阻力)，还可以不做功．
(2)相互摩擦的系统内，一对滑动摩擦力所做的总功为负值，其绝对值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积．
(3)滑动摩擦力、空气阻力等，在曲线运动或者往返运动时，所做的功等于力和路程的乘积．
3．摩擦力做功的求法：
(1)摩擦力大小、方向都不变：应该用W Ff ＝F f l cos α求F f 做的功．
(2)摩擦力大小不变、方向改变：由微元法，可将变力功等效成恒力功求和，从而求得
F f 做的功．
【典例4】
如图所示，水平传送带正以v ＝2 m/s 的速度运行，两端水平距离l ＝8 m ，把一质量m ＝2 kg 的物块轻轻放到传送带的A 端，物块在传
送带的带动下向右运动．若物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，不计物块的大小，
g 取10 m/s 2，则把这个物块从A 端传送到B 端的过程中．求：
(1)摩擦力对物块做的功． (2)摩擦力对传送带做的功．
【解析】 (1)物块刚放到传送带上时，由于与传送带有相对运动，物块受向右的滑动摩擦力，物块做加速运动，摩擦力对物块做功．物块受向右的摩擦力为
F f ＝μmg ＝0.1×2×10 N＝2 N
加速度为a ＝F f m
＝μg ＝0.1×10 m/s 2＝1 m/s 2
当物块与传送带相对静止时的位移为x ＝v 22a ＝2
2
2×1
m ＝2 m
摩擦力对物块做功为W ＝F f x ＝2×2 J＝4 J.
(2)把这个物块从A 端传送到B 端的过程中，摩擦力对传送带做功为：W ′＝－μmgx ′＝－μmg ·v ·v a
＝－8 J.
【答案】 (1)4 J (2)－8 J
变式训练3 以初速度v 0竖直向上抛出质量为m 的小球，上升的最大高度是h ，如果空气阻力f 的大小恒定，从抛出到落回出发点的整个过程中，空气阻力对小球做的功为( )
A ．0
B ．－fh
C ．－2mgh
D ．－2fh
解析：阻力做功跟物体的运动轨迹有关，所以阻力做功为W f ＝－2fh . 答案：D。