1 问题描述
• SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性
呼吸道综合症, 俗称：SARS型肺炎）是21世纪第一个在世 界范围内传播的传染病 。SARS的爆发和蔓延给我国的经 济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多 重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、 为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
X (t)
(1
p)r(t) X (t)
( L1
L2 ) X (t)
• 当△t→0时，dXdt(t) (1 p)r(t)X (t) (L1 L2 )X (t)
• 累计死亡人数
• △ t时间内死亡累计人数的变化等于新增死亡人数。
D(t t) D(t) L1 X (t)t
• 当△t→0时
dD(t ) dt L1 X (t )
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4 问题的分析
• 把人群分为四类：正常人群、患病人群、治愈人类和死亡 人群，分别用H(t)、X(t)、R(t)和D(t)表示。
• 在SARS爆发初期，由于整个社会对SARS病毒传播的速 度和危害程度认识不够，政府和公众对之不予重视，没有 采取任何有效的隔离控制措施。当疫情蔓延到4月20号， 政府与社会开始采取强制措施，对SARS进行预防和控制。
dX (t)
dt
rX
(t )
( L1
L2 ) X (t)
dD(t ) dt
பைடு நூலகம்
L1 X (t)
dR(t )
dt
L2 X (t)
Y (t) X (t) D(t) R(t)
初始值
X (0) 1 Y (0) 1 D(0) 0 R(0) 0
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控后模型
• 控后隔离强度从控前的0变为 p。未被隔离 的病人平均每人每天感染的人数r随时间逐 渐变化，它从初始的最大值a+b逐渐减小至 最小值a。设每个未被隔离的病人每天感染 的人数 r(t) a be(tT )
• 7) 不考虑隐性SARS患者，即只要感染上SARS病毒的患 者最终都会表现出症状.
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3 符号说明
• X(t):现有病人数 • Y(t):累计病人数 • R(t):累计治愈人数 • D(t):累计死亡人数 • T:采取强制措施的时间 • L1:病人的死亡率 • L2:病人的治愈率 • P:采取控制措施后的隔离强度 • R(t):未被隔离的病人平均每人每天感染的人数
• 其中，用来反映r(t)的变化快慢，可以用附 件中的数据估计出它的大小。
• 类似于控前模型的分析，我们来考虑在t到 t+ △ t时段内各类人群的变化情况。
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• 现有病人数
• 现有病人数的变化＝新增病人数－(死亡人数＋治 愈人数)。与控前模型一样，用和表示治愈率和死 亡率。则有
新增病人数＝病人数 每人在t时间内感染人数 ＝(1 p) X (t) r(t)t (1 p)r(t) X (t)t
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• 累计治愈人数 • 治愈累计人数的变化＝新增治愈人数。
R(t t) R(t) L2 X (t)t
•
dR(t )
dt L2 X (t )
• 累计病人数
• 累计病人数＝现有病人数＋累计死亡人数＋累计 治愈人数
Y(t) X (t) D(t) R(t)
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SARS传播的控前模型
•
• 2) 将所考查人群分为现有病人、治愈者、死亡者、正常 人四类。
• 3) 假设已治愈的患者二度感染的概率为0，即患者具有 免疫能力，不考虑其再感染。
• 4) 假设所有患者均为“他人输入型”患者，即不考虑人 群个体自身发病。
• 5) 假设各类人群在人群总体中分布均匀。
• 6) 假设已被隔离的人群之间不会发生交叉感染。
• 因此SARS的传播规律可分为“控前”和“控后”两个阶 段
控制前
控制后
近乎自然的传播模式
政府控制后的传播模式
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各类人的转化关系
• 控前模型为近似于自然传播时的S-I-R模型，控后 模型为介入隔离强度后的微分方程模型，两个模 型中各类人的转化关系如图
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5 模型的建立
控前
现有病人数 • 假设某地区产生第一例SARS病人的时间为T0，在
死亡人数＝死亡率 病人数 t ＝L1 X (t) t L1 X (t)t
治愈人数＝治愈率 病人数 t ＝L2 X (t) t L2 X (t)t
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• 于是有
X (t t) X (t) (1 p)r(t) X (t)t (L1 L2 ) X (t)t
X (t
t) t
新增病人数＝病人数 每人在t时间内感染人数 ＝X (t) rt rX (t)t
死亡人数＝死亡率 病人数 t ＝L1 X (t) t L1 X (t)t
治愈人数＝治愈率 病人数 t ＝L2 X (t) t L2 X (t)t
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• 于是有
X (t t) X (t) rX (t)t (L1 L2 ) X (t)t
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• 累计治愈人数 • 治愈累计人数的变化＝新增治愈人数。
（T0,T）时段，是近乎于自由传播的时段，隔离 强度为0，每个病人每天感染人数为一常数。
• 考察(t, △t)时段内现有病人数的变化，应该等于
△t时间段新增的病人数减去死亡和治愈的人数。
新增病人
现有病人
死亡和治愈病人
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• 现有病人数的变化＝新增病人数－(死亡人数＋治 愈人数)。我们设r为每个未被隔离的病人每天感 染的人数，L1和L2分别为治愈率和死亡率。则有
• 1、 对早期模型，评价其合理性和实用性。
• 2、建立自己的模型，特别要说明怎样才能建立一个真正 能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模 型，这样做的困难在哪里？
• 3、收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数 学模型并进行预测。
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2 基本假设
• 1) 假设所考查人群的总数恒定，且无病源的输入和输出。
X (t
t ) t
X (t)
rX
(t )
( L1
L2 ) X (t)
• •
当△t→0时， dX (t)
累计死亡人数 dt
rX (t)
(L1
L2 ) X (t)
• 死亡累计人数的变化＝新增死亡人数
D(t t) D(t) L1 X (t)t
• 当△t→0时
dD(t ) dt
L1 X (t)
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