《概率论与数理统计》第二套模拟试题一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设事件A 和B 相互独立，则 （B ）A ．)()()(B P A P B A P -=- B ． )()()(B P A P B A P =C ．0)(=AB PD ． 1)(=+B A P2. 设随机变量X 的全部可能值为1，3，4,且2.0)1(==X P ，5.0)3(==X P ，则==)4(X P （ A ）A ．3.0B ． 2.0C ．7.0D ． 5.0 3. 离散型随机变量X 的分布列为)(x F ，则=)23(F (C)其分布函数为A ．4.0B ．2.0C ．6.0D ．14. 设总体X ～),(2σμN ，μ为已知，σ未知，),,2,1(n i X i =为来自X 的样本，、2S 分别为样本均值和样本方差，则是统计量的是（C ）A.nX σμ- B.22)1(σS n - C. ∑=-n i i X n 12)(1μ D. σS5. 设总体X ～)1,(μN ，21,X X 是X 的样本，则下列各式中不是总体参数μ的无偏估计量的是(D) A.213132X X + B. 212121X X + C. 214341X X + D. 2110151X X + 二、填空题（每小题3分，共15分）1、设3.0)(=A P ，P (B |A )=0.6，则P (AB )=____0.42____。

2、设随机变量X 服从参数为5.1的泊松分布，]4,0[~U Y ，则=-+)13(Y X E ______5.5_____。

3、设随机变量X 与Y 的方差分别为25和16，4.0=XY ρ，则)2(Y X Var +=148 。

4、设随机变量X 具有期望2)(=X E ，方差1)(=X Va r ，则由切比雪夫不等式，有≤≥-}32{X P _______1/9____。

5、为了解灯泡使用时数的方差2σ，测量9个灯泡，得样本方差202=S 平方小时。

如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，则2σ的置信系数为95%的置信区间为[9.125，73.394]。

三、计算题(一)（共56分）1. （12分）一批同一规格的产品由甲厂和乙厂生产，甲厂和乙厂生产的产品分别占70％和30％，甲乙两厂的合格率分别为95％和90％，现从中任取一只，则（1）它是次品的概率为多少？(2）若为次品，它是甲厂生产的概率为多少？解：设A =‘任取一产品是次品’，B =‘任取一产品是甲厂生产’依题意有：%70)(=B P ，%30)(=B P ，%5)|(=B A P ，%10)|(=B A P ，则（1）()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+＝065.0%1030%5%70=⨯+⨯（2）5385.03.01.07.005.07.005.0)()|()()|()()|()|(≈⨯+⨯⨯=⨯+⨯⨯=B P B A P B P B A P B P B A P A B P 2.（12分）设随机变量X 的概率密度函数为 ⎩⎨⎧≤≤=其他,010,)(x Ax x f ，（1）求常数A ；（2）求概率⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2131X P －；（3）求X 的分布函数)(x F 。

(1）⎰∞∞-=1)(dx x f 即⎰=101Axdx2=⇒A （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2131X P －⎰==210412xdx （3）⎰∞-=xdt t f x F )()(⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=1,110,0,02x x x x3.（10分）设随机变量)1,0(~N X ，求随机变量12-=X Y 的概率密度函数。

解：随机变量X 的密度函数为：()2221x X e x f -=π，∞<<∞-x()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤=≤-=≤=2112y X P y X P y Y P y F Y ⎰+∞--=212221y x dx e π由()()y F y f Y Y '= 得()8)1(2221+-=y Y e y f π，∞<<∞-y4.（10分）盒子中有同型号小球5只，编号分别为1、2、3、4、5，今从盒子中任取小球3只，以X 表示取出的3只中的最小号码，求： (1)X 的分布律；（2）X 的期望与方差。

解：（1）X 的取值为1，2，3分布律为53)1(3524===C C X P ，103)2(3523===C C X P ，1011)3(35===C X P（2)5.110131032531)(=⨯+⨯+⨯=X E 7.210131032531)(2222=⨯+⨯+⨯=X E 45.0))(()()(22=-=X E X E X D5.（12分）已知二维随机向量),(Y X 的分布律为求常数;(2)求、的边缘分布律;(3)判断随机变量与是否相互独立。

解：(1)有分布律的性质,有1185926118191=+++++a ，可以求得61=a(2)X 和Y 的边缘分布为1856191)1(=+==X P ，18592181)3(=+==X P ， 9418561)5(=+==X P 316118191)2(=++==Y P ，321859261)3(=++==Y P ，(3)因为)2,1(==Y X P ≠P(X=1)P(Y=2) 所以X 与Y 不相互独立. 四、计算题（二）（14分）设总体X 服从参数为θ的指数分布，其概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x θθ n X X X ,,,21 是来自X 的样本，求未知参数θ的矩估计∧θ和极大似然估计*θ。

解：X的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-0,00,),(x x e x f x θθθ ⎰⎰∞-∞∞-===1)()(θθθdx e x dx x xf X E x样本的一阶原点矩为nnX X X ＝+++ 21 替换，θ1=X ，得矩估计∧θ＝X 1 似然函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-=∏000,),,,(11i i x n i n x x e x x L i，θθθ ∑=-=ni i x n LnL 1ln θθ 0ln 1=-=∑=ni i x n d L d θθ 解似然方程得θ的极大似然估计XXni i11*==∑=θ 《概率论与数理统计》第一套模拟试题一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 事件A 、B 互斥，则下列哪个是正确的 （ A ） A ．1)(=+B A P B ．1)(=B A P C ．)()()(B P A P AB P = D ．)(1)(AB P A P -=2. 下列函数中可作为某随机变量的概率密度的是（ C ）A ．⎩⎨⎧≤≤-=其他,0,20,1)(x x fB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,0,10)(x x x x fC ．⎪⎩⎪⎨⎧≤>=100,0,100,100)(2x x xx fD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,0,232121)(x ，x f3.设总体),1(~p B X ，其中p 未知，n X X X ,,,21 是来自总体的样本，则下列哪个不是统计量（ D ）A ．∑=n i i X n 11B ． )(31421X X X ++C ． ∑=n i i X n 121 D ．p X n n i i +∑=114. 设总体X ～),(2σμN ，),,2,1(n i X i =为来自X 的样本，、2S 分别为样本均值和样本方差，则( B ) A.122~)1(--n t S n σ B. ),(~2nN X σμC. X ～)1,0(ND.222~)1(n S n χσ-5. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的随机样本，X ～),(2σμN ，μ未知，则下列哪个不是μ的无偏估计（ B ）A. ∑=ni i X n 11 B. 212131X X +C.313132X X + D. 321414121X X X ++ 二、填空题（每小题3分，共15分）1、设事件A 与B 相互独立，且P (A ∪B )=0.6，P (A )=0.2，则P (B )=____0.5____。

2、设随机变量)3.0,6(~B X ,)2(~P Y ,则=+-)12(Y X E _____2.6______。

3、设随机变量X 与Y 的方差分别为9和25，6.0=XY ρ，则)12(+-Y X Var = 73 。

4、若随机变量X 满足：3)(=X E ，21)(=X Var ，利用切比雪夫不等式可估计≥<<}51{X P ___7/8_____。

5、设1621,,,X X X 来抽自总体)25,(μN 的样本，其样本均值68.14=X ；则μ的置信系数为95%的置信区间为_[12.23，17.13]. 三、计算题(一)（共56分）1.（12分） 一批同一规格的零件由甲乙两台车床加工，甲和乙加工的零件分别占60％和40％，甲出现不合格品的概率为0.03，乙出现不合格品的概率为0.06， （1）求任取一个零件是合格品的概率为多少？（2）如果取出的零件是合格品，求它是乙车床加工的概率为多少？解：设A =‘任取一零件是合格品’，B =‘任取一零件是甲车床加工的’， 依题意有：%60)(=B P ，%40)(=B P ，%97)|(=B A P ，%94)|(=B A P ，则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=94.04.097.06.00.958 （2） 3925.0958.04.094.0)()()|()|(≈⨯=⨯=A PB P B A P A B P2.（12分）设随机变量X 的分布函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=2,120,0,)(2x x Axx x F ， 求（1）常数A ；（2）X 的概率密度函数)(x f ；（3）概率⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<321X P 。

解：（1）由右连续性)2()(lim 2F x F x =+→，即1＝22A ,得41=A （2）由⎪⎩⎪⎨⎧≤<='=其他,020,21)()(x x x F x f （3）1615)21(411)21()3(3212=-=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<F F X P3.（10分）设随机变量)1,0(~N X ，求随机变量Xe Y -=的概率密度函数。

解：随机变量X 的密度函数为：()2221x X e x f -=π，∞<<∞-x当0≤y 时，()()()()0==≤=≤=-φP y e P y Y P y F X Y 当0>y 时，()()()()⎰∞---=-≥=≤=≤=yx X Y dx e y X P y e P y Y P y F ln 2221ln π由()()y F y f Y Y '= 得： ()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,212)(l n 2y y e y y f y Y π4.（10分）一海运船的甲板上放着10桶装有化学原料的圆桶，现已知其中有3桶被海水污染了。