log 2 25 log 2 47 log 2 25 log 2 214
=5+14=19
（2） lg 5 100
解
:
lg 5 100
1 lg102 5
2 lg10 5
2 5
2
例2，计算1253
55lg1
lg 2
1
lg 25 (
1
1
)3
2
27
例3，化简: (log2 5)2 4log2 5 4
x 1舍去 方程的解是x 2
简易语言表达:积的对数=对数的和
有时可逆向运用公式
真数的取值必须是(0,＋∞)
注意
loga (MN ) ≠ loga M loga N loga (M N ) ≠ loga M loga N
2、应用举例：
例1、用
lo
g
x a
,
log表ay ,示lo下g az列各式：
⑶ log a a 1
a ⑷ loga N N
⑸ log a N；
自然对数 loge N记为ln N；
log3 1 log3 3 log3 27 4 ln e lg100 3 lg14 2 lg 7 lg 7 lg18 ?
3
证明: loga MN loga M loga N
例4，计算2log 3
2
log3
32 9
log3
8
5log5
3
例2 用 loga x, log a y, log a z 表示下列各式：
xy
(1)loga
; z
x2 y (2) log a 3 z
解（1）
log a
xy z
loga (xy) loga
z
loga x loga y loga z
证明：①设 log a M p, loga N q, 由对数的定义可以得：
M ap, N aq ∴MN= a p aq a pq
loga MN p q
即证得 loga MN loga M loga N
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga MN loga M loga N
10 3
log
2
3
log
3
2
10 3
2loga b logb c logc d logd a
lg b lg c lg d lg a lg a lg b lg c lg d
1
知 识 回 顾 ： （1） 公 式
① log(aM • N ) logaM logaN
②
logM a
N
logM logN
对数运算法则
复习
对数的概念
一般地，若 ax N (a 0,且a 1) ，那么数 x
叫做以a为底N的对数，记作 x loga N
a 叫做对数的底数，N叫做真数.
ab＝N logaN＝b
指数
真数
ax N loga N x
底数 幂
底数 对数
对数的性质：
⑴负数与零没有对数
⑵ log a 1 0,
1
1
解（2）loga
x2
3
y z
loga (x2 y 2 ) loga z 3
1
1
log a x2 log a y 2 log a z 3
2 loga
x
1 2
log a
y
1 3
log
a
z
例3计算：（1）lg14 2 lg 7 lg 7 lg18
3
解法一：
解法二：
lg14 2 lg 7 lg 7 lg18 3
例2：求下列各式的值：
（1） log(4 7 25 ) (2) lg 5 100 2
解：（1）log (47 25） log 47 log 25
2
2
2
7log 4 5log 2 14 5 19
2
2
(2) lg 5 100
1
lg 5 100 lg(100)5 1 lg102 2
x log c b log c a
log a
b
log c log c
b a
练习
logan bn log a b
log am
bn
n m
log
a
b
log a
b logb
a
lg lg
b a
lg lg
a b
1
例 求下列各式的值
。1log8 9 log3 32
log23 32 log3 25
2 3 log2 35log3 2
例 log 8 2 log 1 23 22 3 1 log 2 2 2
6
2.解方程
log4 (3x 1) log4 ( x 1) log4 ( x 3).
解:原方程可化为
3x 1 (x 1)(3 x)
x2 x 2 0
解得x 2或x 1
检验: x 1使真数3x-1和x-1分别小于或等于0
lg14 lg( 7)2 lg 7 lg18 3
lg
14 7 (7)2 18
3
lg1 0
lg14 2 lg 7 lg 7 lg18 3
lg(2 7) 2 lg 7 3
lg 7 lg(2 32 )
lg 2 lg 7 2(lg 7 lg 3) lg 7 (lg 2 2 lg 3) 0
5
5
练习：2 log525
3
log264
log3
1 27
(3)
log 2
2
log 5
1
log 3
1 27
log (3 3
5
)2
解：原式 1 0 log33 3 (5)2
1 3 25 23
(4)(lg 2)2 lg 2 lg 50 lg 25
解：原式 (lg 2)2 lg 2 (lg510) lg 52 (lg 2)2 lg 2(lg 5 1) 2 lg 5 (lg2)2 lg 2 lg5 lg 2 2lg10 2 (lg 2)2 lg 2（1 lg 2） lg 2 2（1 lg 2）
xy
x2 y
(1) log z a
(2) log 3 z a
解：
xy
(1) log z log( xy) log z
a
a
a
logx log y logz
a
a
a
x2 y
(2) log 3 z
logx2
y
3 log
z
a
a
a
logx2 log
y
3 log
z
a
a
a
2logx 1 log y 1 logx a 2 a3 a
a
a
③ logM n n logM (n R)
a
a
a loga N N
2
二 换底公式
log a
b
log c log c
b a
证明 设 loga b p
log c log c
b a
p
p logc
a
log c
b
logc a p logc b
ap b
方法二 设 log a b x, 则a x b
两边取对数，logc a x logc b
x logc a logc b
M loga N loga M loga N
loga M n n loga M (n R)
语言表达: 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和
两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差
一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍
补充 :
logan
bm
m n
loga
b
例1 计算 （1） log2 (25 47 ) 解 : log2 (25 47 )