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对数函数基础运算法则及例题_答案

对数函数的定义:
函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域为),0(+∞,值域为),(+∞-∞. 对数的四则运算法则:
若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则
(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a
a a M M N N
=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1log = 对数函数的图像及性质
例1.已知x =4
9时,不等式 log a (x 2–x – 2)>log a (–x 2 +2x + 3)成立, 求使此不等式成立的x 的取值范围.
解:∵x =49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]>log a )34
92)49(1[2+⋅+⋅ 即log a 1613>log a 1639. 而1613<16
39. 所以y = log a x 为减函数,故0<a <1. ∴原不等式可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ,解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<<-<<->-<2513121x x x x 或.
故使不等式成立的x 的取值范围是)25,
2( 例2.求证:函数f (x ) =x x -1log 2
在(0, 1)上是增函数. 解:设0<x 1<x 2<1,
则f (x 2)–f (x 1) = 212
221log log 11x x x x ---21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21122x x x x --⋅ ∵0<x 1<x 2<1,∴12x x >1,2111x x -->1. 则2
112211log x x x x --⋅>0, ∴f (x 2)>f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数
例3.已知f (x ) = log a (a –a x ) (a >1).
(1)求f (x )的定义域和值域;(2)判证并证明f (x )的单调性.
解:(1)由a >1,a –a x >0,而a >a x ,则x <1. 故f (x )的定义域为( -∞,1), 而a x <a ,可知0<a –a x <a ,又a >1. 则log a (a –a x )<lg a a = 1.
取f (x )<1,故函数f (x )的值域为(–∞, 1).
(2)设x 1>x 2>1,又a >1,∴1x a >2x a ,∴1x a a -<a-2x a ,
∴log a (a –1x a )<log a (a –2x a ),
即f (x 1)<f (x 2),故f (x )在(1, +∞)上为减函数.。

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