第一杯浓度 a3 b3
8
请问：混合后糖水的浓度与原三个小 杯糖水的浓度有何关系？
学生1：混合后的糖水浓度为
a1 a2 a3 b1 b2 b3
9
由生活常识知，三小杯糖水的浓度与混合后的糖 水浓度相等，即是：
a1 a2 a3 a1 a2 a3 ……② b1 b2 b3 b1 b2 b3
17
学生5：
从而我们得到命题：若b1b2b3 0，
m1b1 m2b2
m3b3
0，且 a1 b1

a2 b2

a3 ，则有： b3
a1 b1

a2 b2

a3 b3
＝
m1a1 m1b1

m2 a2 m2b2

m3 a3 m3b3


m1a1 m2a2 m3a3 . m1b1 m2b2 m3b3
12
老师转问学生1：为什么说②式是混合后的浓度？
学生1： 因为a1 a2 a3是3杯糖水中的糖的总合， b1 b2 b3是3杯糖水的总合，根据浓度公式即得. 学生3：
a1 a2 a3不一定是3杯糖水中的糖的总合 !
13
老师问学生3：为什么？有何依据？
学生3：在计算小杯糖水的浓度时，分子分母 可能有约分，比如：21克糖水中有3克糖， 其浓度是 1 . 7
分成三小杯
第一杯浓度 a1 b1
第二杯浓度 a2 b2
第三杯浓度 a3 b3
6
请问：三小杯糖水的浓度有何关系？
由于三小杯的糖水都是由大杯倒出的，显然有：
a1 a2 a3 ……① b1 b2 b3
7
现在把三小杯糖水倒入一个空的大杯子：
倒入一个大杯
第一杯浓度 a1 b1
第一杯浓度 a2 b2
b bm m
27
新的发现：
借助不等式a a m m 可得 b bm m
1 2 3 4 99 9999
2345
100
10000
在数轴上描点表示，可作为极限
数学教学典型案例分析
西华师范大学数学与信息学院
杨孝斌
1
孔子曰：知之者 不如好知者，好知 者不如乐知者.
2
如何培养学生的数学学习兴趣 ？？？
3
数学教学案例分析之一 ——
“糖水浓度与数学发现”系列活动课
道 具：一缸清水 一罐白糖 大大小小的玻璃杯若干个
4
大家都知道：
浓度Βιβλιοθήκη 溶质 溶液5活动课之一——等比定理的发现
n3
a3 b3 ．
b1 b2 b3
b1 b2 b3
n1 n2 n3
19
于是我们一共得到 了等比定理的三种等价 形式！
20
活动课之二——真分数不等式的发现 大家都知道，在糖水未达到饱和之前，
给糖水加糖，糖水就会变甜！
老师问：加糖后糖水就会变甜，能不能一个 不等式来表达这个结论？
21
学生７：
23
学生７：c不是糖的质量，而是浓度的增加量. 老师问：那你这个式子只是反映了浓度的增加， 并没有反映出浓度增加的原因－－糖的增加.那么 如何把“因为糖的增加而使糖水浓度增加”这个 事实反映出来呢？
24
学生８：老师，我明白了！
可设b克糖水
中含
有a克糖，浓度
为p1＝
a b
，
加糖m克
后，
浓度p
＝
2
a b
18
学生6：
若设三小杯糖水的质量分别为n1、n2、n3，
n1 则可得混合后的浓度为
a1 b1

n2
a2 b2

n3
a3 b3
.
n1 n2 n3
从而有命题：若b1b2b3 0，n1 n2 n3 0
且 a1

a2

a3 ，则 a1

a2

a3 ＝ n1
a1 b1
n2
a2 b2
设原来糖水的浓度为p1，加糖后的浓度为p2， 则有：p1 p2.
老师问：很好！但是这个式子没有反映出加糖来.
22
学生７：
我设b克糖水中含有a克糖，浓度为p1＝
a b
，
加糖后的糖水更甜了，则一定存在c 0,
得：. a a c. bb
老师问：很好！这里的c 表示什么？
学生７：表示加糖了！ 老师问：c 表示所加的糖的质量吗？浓度与质量 可以直接相加吗？
学生4：此时式子②虽然不是混合糖水浓度定义 的直接式子，但在数值上并没有变！
16
学生4：这是因为
若设三小杯糖水的浓度本应是 mi ai ,式子 mi bi
m1a1 m2a2 m3a3 表示了混合糖水的浓度, m1b1 m2b2 m3b3 由等比定理知道， m1a1 m2a2 m3a3 m1a1 m2a2 m3a3 . m1b1 m2b2 m3b3 m1b1 m2b2 m3b3
这中间的过程就是一个“数学化”的过程！！！
11
问题： “糖水情境”中的ai，bi 与“等比
定理”中a的i，bi 有区别吗？
学生2： “糖水情境”中的ai，bi
正数，并且bi ai 0 .
只能是
而“等比定理”中的ai，bi 不需要这么多限
制，只要有
就够了. bi

0 b1 b2
(i 1,2,3) b3 0
这就是等比定理： 若 ① 即 ②.
10
从“糖水情境”到“等比定理”，这中间有一 个从具体事实到形式化抽象的数学过程，前 者是“具体的模型”，后者是“抽象的模 式”，两者之间有“质”的区别.
把糖放进水里，把糖水倒来倒去，这是数学吗？ 不是！但是，我们一旦舍去糖、水、浓度等 的具体性质，抽象出本质属性的数量关系— —等比定理，这就是数学了.

m m
m 0,
此时有：a a m . b bm
25
学生９：同样可以考虑约分的情形 ！
一般地，设 b a 0， m 0， k 0 则有不等式：a ak m 成立.
b bk m
26
学生10：由于我们这里都是讨论的真分数，于是又有：
一般地，设 b a 0， m 0， 则有不等式：a a m m ( 1)成立.
14
老师：如此说来,当浓度 ai 没有约分时,式子 bi
a1 a2 a3 表示了混合糖水的浓度, b1 b2 b3 那么当ai 有约分时,这个式子还是混合
bi 糖水的浓度值吗?
学生4：还是！！！
15
老师问： 为什么？ 此时a1 a2 a3已经不是3杯 糖水中的糖的总合! b1 b2 b3也不是糖水的总合了！