（3）其他的与自变量xi的加权形式f(xi)
f xi r0 r1xi
20
（一）加权最小二乘法
方差已知的情形
Var(
)
i
2 i
2
r
0
r
x1 i
y i
b0
b1xi
i
r0 r1xi r0 r1xi r0 r1xi r0 r1xi
Var
i
1 Var
r 0 r x1 i r 0 r1xi
给出中国1998年各地区城镇居民平均每人全年家庭交 通及通讯支出（cum)和可支配收入（in)的数据，估计两者 之间的关系模型
4
2、异方差的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ响
1、OLS估计量不再是BLUE，其是无偏和一致的，但并 非有效的，即不再具有方差最小性。
2、检验假设的统计量不再成立，建立在t分布和F分布之 上的置信区间和假设检验不可靠。
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等价的White检验
（1们）的用平O方LS；估计u模2 型 （03）1，y 得 到2 y残2 差 v和拟合值，计算它
（2）做回归
记下这个回22 归的R平方
（3）构造F或LM统计量并计算p值（前者为 F2，n－3分布， 后者用 分布。
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（五） 实例
使用Wooldridge中的数据HPRICE.RAW中的数据 来检验一个简单的住房价格方程中的异方差性。水平 变量模型为（分别采用水平变量和其对数项分别进行 回归分析）
第九章 多元线性回归的异方差问题
一、异方差及其影响 二、异方差的发现和判断 三、异方差的解决方法
1
一、异方差及其影响
1、异方差的定义：
对于多元线性回归模型，如果随机扰动项的方差并非是
不变的常数，则称为存在异方差（heteroscedasticity)。
异方差可以表示为
Var
i
2 i
。或
2 1
2 2
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（二）Breusch-Pagan检验
假设回归模型如下：
Y 0 1x1 2 x2 k xk u
(1)
检验假定线性函数
u2 0 1x1 2 x2 k xk v
(2)
8
步骤：
1、作普通最小二乘回归（1），不考虑异方差问题。 2、从原始回归方程中得残差ui，并求其平方。
3、利用原始模型中的R解u22释变量作形如上式(2)的回归，记
Ω Varε Eεε
2 n
2
两变量线性回归模型的异方差
Y
0
Xi
X
Xj
3
1、异方差的定义
异方差主要出现在截面数据分析中，例如大公司的利 润变化幅度要比小公司的利润变化幅度大，即大公司利润 的方差比小公司利润的方差大。这取决于公司的规模、产 业特点和研究开发支出多少等因素。又如高收入家庭通常 比低收入家庭对某些商品的支出有更大的方差。 例6-1：人均家庭支出（cum)和可支配收入（in)的关系模型
和为
2
wi2
2
i
wi2
yi b0b1xi
获得的估计量就是加权最小二乘估计量。对于多元线性回
归模型y=Xβ＋u，令权数序列wi =1/i ，W为N×N对角矩 阵，对角线上为wi ，其他元素为0。则变换后的模型为
Wy WX Wu
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（一）加权最小二乘法
方差已知的情形 （1）误差方差与xi成比例
price 0 1lotsize 2sqrft 3bdrms
发现：采用水平模型存在异方差性，但采用对数模型不 存在异方差性。
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三、异方差的解决方法
加权最小二乘法 模型的重新设定
15
（一）加权最小二乘法
基本思路：赋予残差的每个观测值不同权数，从而使 模型的随机误差项具有同方差性。
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被拒绝，则表明可能存在异方差。
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（四）怀特检验
假设有如下模型：
yi B0 B1x1i B2 x2i ui （3）
基本步骤： 1、首先用OLS方法估计回归方程（3）式。 2、然后作辅助回归：
ui2 A0 A1x1i A2 x2i A3x12i A4 x22i A6 x1i x2i vi （4）
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（四）怀特检验
3、求辅助回归方程的R2值。在零假设：不存在异方差下， White证明了，从方程（4）中获得R2值与样本容量（n）的积 服从卡方分布
n• R2 2
自由度等于（4）式中的解释变量的个数。 4、根据样本计算统计量n*R2值，并与所选取的显著性水平进行
比较，看是否接受零假设（零假设为残差不存在异方差性）。 5、Eviews计算：View-Residual Tests-White Heteroskedasticity . 应用：对例6-1进行White异方差检验
Vawri (u1i)/=σx2i * xi 其中σ2为常数，这时可以令权序列
（2）误差方差与xi2成比例
Vwair(u1i)/=xσi2 * xi2
其中σ2为常数，这时可以令权序列
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（一）加权最小二乘法
方差已知的情形 实例：住房支出模型
给出由四组家庭住房支出和年收入组成的截面数据，建 立住房支出模型，并检验和修正异方差。
下这个回归的R平方 。
4、检验零假设是H0 : 1 2 k 0
对方程（2）进行FL检M验，n或• 计Ru2算2 ~LMk2统计量进行检验。
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（三）戈里瑟检验
1、通常拟合
e
和
X
之间的回归模型：
j
e
X
l j
根据图形中的分布选择
l 1,1或 1 2
2、再检验零假设 ＝0（不存在异方差）。如果零假设
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二、异方差的发现和判断
（一）残差的图形检验 （二）帕克检验（Park test） （三）戈里瑟检验（Glejser test） （四）怀特检验（White test）
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（一）残差的图形检验
这是一种最直观的方法，它以某一变量（通常取因变 量）作为横坐标，以随机项的估计量e或e2为纵坐标， 根据作出的散点图直观地判断是否存在相关性。如果 存在相关性，则存在异方差。通常的方法是先产生残 差序列，再把它和因变量一起绘制散点图。 例6-2：利用该方法绘制上一章关于美国机动车消费量 的模型中QMG与残差的散点图。
（一）加权最小二乘法
方差已知的情形
假设已知随机误差项的方差为var(ui)= i2 , 设权数wi与异 方差的变异趋势相反, wi =1/i,, 将原模型两端同乘以wi。wi
使异方差经受了“压缩”和“扩张”变为同方差。
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（一）加权最小二乘法
方差已知的情形
对于一元线性回归模型y=b0+b1x+u，加权最小化残差平方