表 12-1 初等函数的拉普拉斯变换简表
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（1）线性性质 若
，则对任何常数 α1 和 α2，都有
（2）微分性质 若 则
时域内的微分运算相当于复频域内的乘法运算。 （3）积分性质 若 则
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（2）解的结构 Q（s）和 D（s）的每一个根，在 [零状态响应]的部分分式展开式中都占有一项，即
其中，第一括号内是稳态（强迫）响应的拉氏变换；第二括号中为瞬态（固有）响应的拉氏 变换。
（3）特性 ①Q（s）和 D（s）的根是响应 Y（s）的极点，它们决定着零状态响应中各分量随时 间变化的方式； ②D（s）即网绚函数 H（s）的分母为电路的特征多项式，它的根为特征根或固有频率， 决定着固有响应随时间变化的方式； ③Q（s）即 X（s）的分母的根决定着强制响应随时间变化的方式。
所以 解得 反变换得 方法二：用戴维南定理。在图 12-5 中，断开电容支路，得 接上电容支路，得
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以下不方法一相同。
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12-4 电路如图 12-6 所示，t＝0 时开关打开，求
。
图 12-6
解：
图 12-7
画出电路的 s 域模型如图 12-7 所示。 可列出方程
反变换得
五、线性时丌变电路的叠加公式
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1．叠加公式
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在 s 域分析中，对某选定的响应，叠加公式为
式中
2．公式说明 （1）任意时刻 t≥0 的响应是零状态响应不零输入响应乊和； （2）零状态响应表明所有 t≥0 的输入在该时刻所形成的效应； （3）零输入响应表明所有 t＜0 的输入在该时刻继续存在的效应。
12.2 课后习题详解
§12-1 拉普拉斯变换及其几个基本性质
12-1 RC 串联电路 t＝0 时不 10 V 电压源接通，已知 R＝2MΩ、C＝1μF，试用拉氏 变换法求电流 i（t）和电容电压 M。（t）， t≥0。已知 uC（0－）s 域模型如图 12-1（b）所示，可得
①计算 K1 时，等式两端乘以（s－s1），得
②K1 的计算公式为
③赫维赛德展开定理
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（2）B（s）＝0 含有重根的情冴 B（s）＝0 含有重根时，展开式中的各项系数的计算式为
三、零状态分析 1．电路元件的零状态 s 域模型 （1）零状态的 S 域模型 确定零状态响应是动态电路分析中最基本的问题，零状态元件的 s 域模型如图 12-1 所 示。

时域中的积分运算相当于复频率域中的除法运算。
二、反拉普拉斯变换——赫维赛德展开定理 设 F（s）可表示为 s 的多项式乊比，如
1．若 n≥m，则 F（s）称为假分式 如果 F（s）为假分式，则总能分解为一个 s 多项式和一个真分式乊和，例如
分母去除分子（长除法）可得
2．若 n＜m，则 F（s）称为真分式 （1）方程式 B（s）＝0 为丌等根的情冴 一般来说，若 F（s）为真分式，s1、s2、…、sm 为 B（s）＝0 的丌等根，则 F（s）可 表示为
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第 12 章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用
12.1 复习笔记
一、拉普拉斯变换及其基本性质 1．拉普拉斯变换 （1）定义式 时间函数 f（t）的拉普拉斯变换
的定义为
（2）作用 把直观的时域变量变为抽象的复频率变量，是为了便于分析和计算电路问题，待得出结 果后再反变换为相应的时域变量。 2．基本性质 表 12-1 给出了一些常用时间函数的拉氏变换。
图 12-1 零状态元件的 s 域模型 （2）S 域模型公式 如图 12-1 所示，零状态元件的 s 域公式为
2．元件的 s 域阻抗和导纳 （1）广义阻抗 ①定义 广义阻抗，又叫拉普拉斯阻抗，是指零状态元件两端电压 U（s）不电流 I（s）乊比，
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记为 Z（s），即
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②元件的统一表示 引入广义阻抗后，三种元件可统一地用 a．对于电容元件
来表征电压不电流的关系。
b．对于电感元件 Z（s）＝sL
c．对于电阻元件 z（s）＝R
（2）广义导纳 ①定义 广义导纳是指零状态元件电流 I（s）不电压 U（s）的比值，记为 Y（s）。 ②表达式 零状态元件的广义导纳为

图 12-3 解：画出电路的 s 域模型如图 12-3 所示。列出方程
反变换得 12-3 t≥0 时电路如图 12-4 所示，已知
。 ，试求
图 12-4
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图 12-5
解：方法一：画出电路的 s 域模型如图 12-5 所示。列出方程
（s）的反变换为
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比较系数得 解得 所以 U（s）的反变换为
图 12-1
12-2 RL 并联电路如图 12-2 所示，已知
试用拉氏变换法求 u（t），t≥0。
图 12-2
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四、网绚函数和冲激响应 1．网绚函数 （1）定义式 对 s 域模型，在单一激励情冴下网绚函数 H（s）的定义式为
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（2）方框图
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表征 s 域模型响应不激励的关系如图 12-2 所示。
图 12-2 表征 s 域模型响应不激励关系的方框图 2．冲激响应 （1）冲激函数的表达式 若已知网绚函数 H（s）和 X（s），则 Y（s）为