2018年北京师范大学第二附属中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合，或，则（）．A. B. 或 C. D. 或【答案】C【解析】分析：由已知条件利用交集的定义即可.详解：∵集合，集合或，∴集合．故选．点睛：本题考查交集的求法，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用. 2．函数的定义域是（）.A. 或B.C.D.【答案】A【解析】分析：由真数大于0，利用分式不等式的解法即可得到答案.详解：要使函数有意义，则，即，解得或，∴函数的定义域是或．故选．点睛：本题考查函数的定义域及其求法.3．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】是非奇非偶函数，在定义域内为减函数；是奇函数，在定义域内不单调；y=－x 3是奇函数，又在定义域内为减函数；是非奇非偶函数，在定义域内为减函数；故选：C4．设集合,，，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求.详解：∵集合，∴,∴．故选．点睛：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键.5．函数与的图象交点为，则所在区间是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】令函数，，由于，所以区间(2,3)必有零点。

6．已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据为偶函数，则，即关于直线对称，又在为减函数，故在上为增函数，故可得答案.详解：∵是偶函数，∴，即关于直线对称，∴，．又∵在为减函数，∴在上为增函数，∴，即．故选．点睛：应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．7．已知函数，若，则取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意作出函数和的图像（如图），由图象得，函数在图象为经过原点的直线，当直线介于直线和轴之间时符合题意，直线为曲线的切线，且此时在第二象限的解析式为，导数为，因为，所以，故直线的斜率为，所以只需直线的斜率介于与0之间即可，即；故选C．【考点】1.导数的几何意义；2.数形结合思想．8．若定义在上的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意的实数都成立，则称是一个“特征函数”则下列结论中正确的个数为（）．①是常数函数中唯一的“特征函数”；②不是“特征函数”；③“特征函数”至少有一个零点；④是一个“特征函数”；．A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用新定义“特征函数”，逐个判断即可得到答案.详解：对于①设是一个“特征函数”，则，当时，可以取实数集，因此不是唯一一个常数“特征函数”，故①错误；对于②，∵，∴，即，∴当时，；时，有唯一解，∴不存在常数使得对任意实数都成立，∴不是“特征函数”，故②正确；对于③，令得，所以，若，显然有实数根；若，．又∵的函数图象是连续不断的，∴在上必有实数根，因此任意的“特征函数”必有根，即任意“特征函数”至少有一个零点，故③正确；对于④，假设是一个“特征函数”，则对任意实数成立，则有，而此式有解，所以是“特征函数”，故④正确．综上所述，结论正确的是②③④，共个．故选．点睛：本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解“特征函数”的概念是关键.二、填空题9．已知集合，，且，则实数的取值范围__________．【答案】.【解析】分析：根据两个集合的并集的定义，结合条件即可.详解：用数轴表示集合，，若，则，即实数的取值范围是．故答案为：.点睛：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，两个集合的并集的定义和求法. 10．已知函数，分别由下表给出：则当时，___________．【答案】3.【解析】分析：根据表格可知，则，故可得答案.详解：由表格可知：．∵，∴．由表格知，故．故答案为：3.点睛：本题是根据表格求安徽省农户值或自变量的值，看清楚函数关系和自变量对照表格即可求出.11．函数（且）恒过点__________．【答案】.【解析】试题分析：因为，所以恒过定点【考点】对数函数性质12．已知幂函数的图象过点，则__________．【答案】.【解析】分析：先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.详解：设幂函数为，由于图象过点，得，∴，∴．故答案为：.点睛：本题考查幂函数的定义及其应用.13．已知函数在上恒小于零，则实数的取值范围为___________．【答案】.【解析】分析：通过讨论a的值，判断函数是一次函数还是二次函数，分别根据情况即可求出范围.详解：由题意，在上恒成立．当时，不等式为恒成立．当时，．∵，∴当时，取得最小值，∴．综上所述，实数的取值范围是．故答案为：.点睛：本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想.14．设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：①；②若，则；③若，则．则（）___________；（）的解析式（用表示）___________．【答案】 4..【解析】分析：（1）由题意得，符合条件的集合为：，，，，故可求出；（2）任取偶数，将除以，若商仍为偶数，再除以，经过次后，商必为奇数，此时记商为，可知，若，则，为偶数，若，则为奇数，可求.详解：（）当时，，符合条件的集合为：，，，，故．（）任取偶数，将除以，若商仍为偶数，再除以，经过次后，商必为奇数，此时记商为，于是，其中，为奇数，．由条件可知，若，则，为偶数，若，则为奇数，于是是否属于，由是否属于确立，设是中所有的奇数的集合，因此等于的子集个数，当为偶数时（或奇数时），中奇数的个数是（或）．∴.点睛：本题主要考查了集合之间包含关系的应用，解题的关键是准确应用题目中的定义.三、解答题15．若集合，．（）若，全集，试求．（）若，求实数的取值范围．【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）根据集合的基本运算求，即可求出答案；（2）根据，建立条件关系即可求出实数m的取值范围.详解：（）当时，由，得，∴，∴，则，∴．（）∵，，由得，∴，即实数的取值范围是．点睛：解决集合运算问题的方法在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化．(1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义．(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到．(3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．16．已知设函数．（）求的定义域．（）判断的奇偶性并予以证明．（）求使的的取值范围．【答案】(1).(2)为奇函数；证明见解析.(3).【解析】分析：（1）根据对数函数成立的条件即可求出函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；（3）根据对数函数的性质解不等式即可.详解：（）要使函数（且）有意义，则，解得．故函数的定义域为．（）由（）可知的定义域为，关于原点对称，又，∴为奇函数．（），即，当时，原不等式等价为，解得．当，原不等式等价为，记得．又∵的定义域为，∴当时，使的的取值范围是．当时，使的的取值范围是．点睛：本题主要考查函数定义域和函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义结合对数函数的性质是解本题的关键.17．定义在上的奇函数，已知当时，．（）求在上的解析式．（）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）根据奇函数的性质即可求出a，设时，，易求，根据奇函数性质可得；（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决.详解：（）∵是定义在上的奇函数，∴，得．又∵当时，，∴当时，，．又是奇函数，∴．综上，当时，．（）∵，恒成立，即在恒成立，∴在时恒成立．∵，∴．∵在上单调递减，∴时，的最大值为，∴．即实数的取值范围是．点睛：本题考查函数的奇偶性及其应用，不等式恒成立问题，考查学生解决问题的能力. 18．某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设表示学生注意力指标．该小组发现随时间（分钟）的变化规律（越大，表明学生的注意力越集中）如下：（且）．若上课后第分钟时的注意力指标为，回答下列问题：（）求的值．（）上课后第分钟和下课前分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由．（）在一节课中，学生的注意力指标至少达到的时间能保持多长？【答案】(1).(2)上课后第分钟时比下课前分钟时注意力更集中；理由见解析.(3)学生的注意力指标至少达到的时间能保持分钟．【解析】分析：（1）由题意，，从而求出a的值；（2）上课后第5分钟末时，，下课前5分钟末，从而可得答案；（3）分别讨论三段函数上，从而求出的解，从而求在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持的时间.详解：（）由题意得，当时，，即，解得．（）∵，，∴，故上课后第分钟时比下课前分钟时注意力更集中．（）①当时，由（）知，，解得；②当时，恒成立；③当时，，解得．综上所述，．故学生的注意力指标至少达到的时间能保持分钟．点睛：本题考查了分段函数的应用，同时考查了实际问题转化为数学问题的能力. 19．设，函数．（）若在上单调递增，求的取值范围．（）即为在上的最大值，求的最小值．【答案】(1) 或．(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）分类讨论当a=0时，当a＞0时，当a＜0时，运用单调性，判断求解；（Ⅱ）对a讨论，分a≥0时，a＜0，再分a≤-2时，-2＜a≤2-，a＞2-，运用单调性，求得最大值；再由分段函数的单调性，求得最小值试题解析：（Ⅰ）考虑函数的图像，可知①当时，在上，，显然在上单调递增；②当时，在上，，故在上单调递增的充要条件是，即.所以在上单调递增的充要条件是或；（Ⅱ）利用（Ⅰ），当或时，在上单调递增，则；当时，，解，得，故当时，综上，，于是的最小值为.【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明20．已知：集合，其中．，称为的第个坐标分量．若，且满足如下两条性质：①中元素个数不少于个．②，，，存在，使得，，的第个坐标分量都是．则称为的一个好子集．（）若为的一个好子集，且，，写出，．（）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过．（）若为的一个好子集且中恰好有个元素，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是．【答案】(1)，．(2) 证明见解析.(3)证明见解析.【解析】分析：（1）根据好子集的定义直接写出Z，W；（2）若S为的一个好子集，考虑元素，进行判断证明即可；（3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论.详解：（），．（）对于，考虑元素；显然，，，，对于任意的，，，不可能都为，可得，不可能都是好子集中．又因为取定，则一定存在且唯一，而且，由的定义知道，，,这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为，所以中元素个数不超过．（），，定义元素，的乘积为，显然．我们证明“对任意的，都有．”假设存在，使得，则由（）知，．此时，对于任意的，，，不可能同时为，矛盾，所以．因为中只有个元素，我们记为中所有元素的成绩，根据上面的结论，我们知道，显然这个元素的坐标分量不能都为，不妨设，根据的定义，可以知道中所有元素的坐标分量都为．下面再证明的唯一性：若还有，即中所有元素的坐标分量都为．所以此时集合中元素个数至多为个，矛盾．所以结论成立．点睛：解决集合新定义问题的方法(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．。