2019年福建省泉州实验中学中考数学模拟试卷（5）一．选择题（共10小题）1．若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞且x≠3B．x≥C．x≥且x≠3D．x≤且x≠﹣3 2．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1B．2a＜2b C．﹣＞﹣D．a2＜b23．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝130°，则∠D的度数是（）A．20°B．25°C．40°D．50°4．如图，在直角坐标系中，△OBC的顶点O（0，0），B（﹣6，0），且∠OCB＝90°，OC ＝BC，则点C关于y轴对称的点的坐标是（）A．（3，3）B．（﹣3，3）C．（﹣3，﹣3）D．（3，3）5．在同一直角坐标系中，若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象没有公共点，则（）A．k1+k2＜0B．k1+k2＞0C．k1k2＜0D．k1k2＞06．若二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2+mx＝7的解为（）A．x1＝0，x2＝6B．x1＝1，x2＝7C．x1＝1，x2＝﹣7D．x1＝﹣1，x2＝7 7．下表为某公司200名职员年龄的人数分配表，其中36～42岁及50～56岁的人数因污损而无法看出．若36～42岁及50～56岁职员人数的相对次数分别为a%、b%，则a+b之值为何？（）年龄22～2829～3536～4243～4950～5657～63次数640422 A．10B．45C．55D．998．如图，已知A点坐标为（5，0），直线y＝x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α＝75°，则b的值为（）A．3B．C．4D．9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则sin∠DMN为（）A．B．C．D．10．如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任一点（不含端点O、A），二次函数y1的图象过P、O两点，二次函数y2的图象过P、A两点，它们的开口均向下，顶点分别为B、C，射线OB与射线AC相交于点D．则当OD＝AD＝9时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．8B．3C．2D．6二．填空题（共6小题）11．已知数据：，，π，，﹣4．其中无理数出现的频率为．12．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：＝13，＝13，S甲2＝7.5，S乙2＝21.6，则小麦长势比较整齐的试验田是（填“甲”或“乙”）．13．如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为．14．平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），确定一个圆，（填“能”或“不能”）．15．如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是．16．在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（6，0）、B（0，2），以AB为斜边在右上方作Rt△ABC．设点C坐标为（x，y），则（x+y）的最大值＝．三．解答题（共9小题）17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝+1，b＝﹣1．18．如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若∠D＝50°，求∠B的度数．19．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝m．求点B到地面的垂直距离BC．20．某养鸡场有2500只鸡准备对外出售．从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：kg），绘制出如下的统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题：（1）图1中m的值为；（2）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；（3）根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0kg的约多少只？21．在边长为1的正方形网格图中，点B的坐标为（2，0），点A的坐标为（0，﹣3）．（1）在图1中，将线段AB关于原点作位似变换，使得变换后的线段DE与线段AB的相似比是1：2（其中A与D是对应点），请建立合适的坐标系，仅使用无刻度的直尺作出变换后的线段DE，并求直线DE的函数表达式；（2）在图2中，仅使用无刻度的直尺，作出以AB为边的矩形ABFG，使其面积为11．（保留作图痕迹，不写作法）22．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．（1）求∠DAF的度数；（2）求证：AE2＝EF•ED；（3）求证：AD是⊙O的切线．23．某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别切于点A、B，已知∠CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD 的两个交点，且EF＝24cm，设⊙O1的半径为xcm．（1）用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；（2）若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？24．已知，如图1，正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接EF．（1）证明：EF⊥AC；（2）将△AEF绕点A顺时针方向旋转，当旋转角α满足0°＜α＜45°时，设EF与射线AB交于点G，与AC交于点H，如图所示，试判断线段FH、HG、GE的数量关系，并说明理由．（3）若将△AEF绕点A旋转一周，连接DF、BE，并延长EB交直线DF于点P，连接PC，试说明点P的运动路径并求线段PC的取值范围．25．已知抛物线y＝ax2+bx+c．（Ⅰ）若抛物线的顶点为A（﹣2，﹣4），抛物线经过点B（﹣4，0）①求该抛物线的解析式；②连接AB，把AB所在直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，点P是直线l上一动点．设以点A，B，O，P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当4+6≤S≤6+8时，求x的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，c＞1，当x＝c时，y＝0，当0＜x＜c时，y＞0，试比较ac与l的大小，并说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞且x≠3B．x≥C．x≥且x≠3D．x≤且x≠﹣3【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：∵代数式有意义，∴3x﹣2≥0，|x|﹣3≠0，解得：x≥且x≠3．故选：C．2．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1B．2a＜2b C．﹣＞﹣D．a2＜b2【分析】由不等式的性质进行计算并作出正确的判断．【解答】解：A、在不等式a＜b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a﹣1＜b﹣1，故本选项错误；B、在不等式a＜b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＜2b，故本选项错误；C、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣，不等号的方向改变，即﹣＞﹣，故本选项错误；D、当a＝﹣5，b＝1时，不等式a2＜b2不成立，故本选项正确；故选：D．3．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝130°，则∠D的度数是（）A．20°B．25°C．40°D．50°【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和图形即可求得∠BDC的度数，本题得以解决．【解答】解：连接AD，∵AB是⊙O直径，∠AOC＝130°，∴∠BDA＝90°，∠CDA＝65°，∴∠BDC＝25°，故选：B．4．如图，在直角坐标系中，△OBC的顶点O（0，0），B（﹣6，0），且∠OCB＝90°，OC ＝BC，则点C关于y轴对称的点的坐标是（）A．（3，3）B．（﹣3，3）C．（﹣3，﹣3）D．（3，3）【分析】等腰直角三角形，直角顶点在斜边垂直平分线上，求出C点的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标之间的关系就可以得到．【解答】解：已知∠OCB＝90°，OC＝BC∴△OBC为等腰直角三角形，又因为顶点O（0，0），B（﹣6，0）过点C作CD⊥OB于点D，则OD＝DC＝3所以C点坐标为（﹣3，3），点C关于y轴对称的点的坐标是（3，3）故选：A．5．在同一直角坐标系中，若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象没有公共点，则（）A．k1+k2＜0B．k1+k2＞0C．k1k2＜0D．k1k2＞0【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题进行解答即可．【解答】解：∵正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象没有公共点，∴k1与k2异号，即k1•k2＜0．故选：C．6．若二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2+mx＝7的解为（）A．x1＝0，x2＝6B．x1＝1，x2＝7C．x1＝1，x2＝﹣7D．x1＝﹣1，x2＝7【分析】先根据二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx＝7，求出x的值即可．【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝3，∴﹣＝3，解得m＝﹣6，∴关于x的方程x2+mx＝7可化为x2﹣6x﹣7＝0，即（x+1）（x﹣7）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝7．故选：D．7．下表为某公司200名职员年龄的人数分配表，其中36～42岁及50～56岁的人数因污损而无法看出．若36～42岁及50～56岁职员人数的相对次数分别为a%、b%，则a+b之值为何？（）年龄22～2829～3536～4243～4950～5657～63次数640422 A．10B．45C．55D．99【分析】根据图表求出36～42岁及50～56岁的职员人数，然后求出相对次数比，然后根据百分数的意义，扩大100倍即可得解．【解答】解：由表知36～42岁及50～56岁的职员人数共有，200﹣6﹣40﹣42﹣2＝110人，所以，a%+b%＝×100%＝55%，所以a+b＝55．故选：C．8．如图，已知A点坐标为（5，0），直线y＝x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α＝75°，则b的值为（）A．3B．C．4D．【分析】令直线y＝x+b与x轴交于点C，根据直线的解析式可求出点B、C的坐标，进而得出∠BCO＝45°，再通过角的计算得出∠BAO＝30°，根据点A的坐标利用特殊角的三角函数值即可得出b的值．【解答】解：令直线y＝x+b与x轴交于点C，如图所示．令y＝x+b中x＝0，则y＝b，∴B（0，b）；令y＝x+b中y＝0，则x＝﹣b，∴C（﹣b，0）．∴∠BCO＝45°．∵α＝∠BCO+∠BAO＝75°，∴∠BAO＝30°，∵点A（5，0），∴OA＝5，OB＝b＝OA•tan∠BAO＝．故选：D．9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则sin∠DMN为（）A．B．C．D．【分析】连结AD，如图，先利用勾股定理计算出BC＝10，再根据直角三角形斜边上的中线性质得DA＝DC＝5，则∠1＝∠C，接着根据圆周角定理得到点A、D在以MN为直径的圆上，所以∠1＝∠DMN，则∠C＝∠DMN，然后在Rt△ABC中利用正弦定义求∠C 的正弦值即可得到sin∠DMN．【解答】解：连结AD，如图，∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10，∵点D为边BC的中点，∴DA＝DC＝5，∴∠1＝∠C，∵∠MDN＝90°，∠A＝90°，∴点A、D在以MN为直径的圆上，∴∠1＝∠DMN，∴∠C＝∠DMN，在Rt△ABC中，sin C＝＝＝，∴sin∠DMN＝，故选：A．10．如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任一点（不含端点O、A），二次函数y1的图象过P、O两点，二次函数y2的图象过P、A两点，它们的开口均向下，顶点分别为B、C，射线OB与射线AC相交于点D．则当OD＝AD＝9时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．8B．3C．2D．6【分析】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM 是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE＝OE＝6，DE＝3．设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出＝，＝，代入求出BF和CM，相加即可求出答案【解答】解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM，∵OD＝AD＝9，DE⊥OA，∴OE＝EA＝OA＝6，由勾股定理得：DE＝＝3．设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，∴＝，＝，∵AM＝PM＝（OA﹣OP）＝（12﹣2x）＝6﹣x，即＝，＝，解得：BF＝，CM＝3﹣x，∴BF+CM＝3．故选：B．二．填空题（共6小题）11．已知数据：，，π，，﹣4．其中无理数出现的频率为．【分析】找出无理数，求出出现的频率即可．【解答】解：无理数有，π，共2个，则无理数出现的频率为，故答案为：12．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：＝13，＝13，S甲2＝7.5，S乙2＝21.6，则小麦长势比较整齐的试验田是甲（填“甲”或“乙”）．【分析】根据方差的意义判断即可．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．【解答】解：由方差的意义，观察数据可知甲块试验田的方差小，故甲试验田小麦长势比较整齐．故填甲．13．如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为cm．【分析】利用弧长公式计算．【解答】解：由图可知，OA＝OB＝，而AB＝4，∴OA2+OB2＝AB2，∴∠O＝90°，OB＝＝2；则弧AB的长为＝＝π，设底面半径为r，则2πr＝π，r＝（cm）．这个圆锥的底面半径为cm．故答案为：cm14．平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），不能确定一个圆，（填“能”或“不能”）．【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x轴，而点A（1，﹣3）与C、B共线，∴点A、B、C共线，∴三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）不能确定一个圆．故答案为：不能．15．如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是5．【分析】设MN＝y，PC＝x，根据正方形的性质和勾股定理列出y2关于x的二次函数关系式，求二次函数的最值即可．【解答】解：作MG⊥DC于G，如图所示：设MN＝y，PC＝x，根据题意得：GN＝5，MG＝|10﹣2x|，在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN2＝MG2+GN2，即y2＝52+（10﹣2x）2．∵0＜x≤10，∴当10﹣2x＝0，即x＝5时，y2最小值＝25，∴y最小值＝5．即MN的最小值为5；故答案为：5．16．在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（6，0）、B（0，2），以AB为斜边在右上方作Rt△ABC．设点C坐标为（x，y），则（x+y）的最大值＝4+2．【分析】根据以AB为斜边在右上方作Rt△ABC，可知点C在以AB为直径的⊙D上运动，根据点C坐标为（x，y），可构造新的函数x+y＝m，则函数与y轴交点最高处即为x+y 的最大值，此时，直线y＝﹣x+m与⊙D相切，再根据圆心点D的坐标，可得C的坐标为（3+，1+），代入直线y＝﹣x+m，可得m＝4+2，即可得出x+y的最大值为4+2．【解答】解：由题可得，点C在以AB为直径的⊙D上运动，点C坐标为（x，y），可构造新的函数x+y＝m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y＝﹣x+m与⊙D相切，交x轴与E，如图所示，连接OD，CD，∵A（6，0）、B（0，2），∴D（3，1），∴OD＝＝，∴CD＝，根据CD⊥EF可得，C、D之间水平方向的距离为，铅垂方向的距离为，∴C（3+，1+），代入直线y＝﹣x+m，可得1+＝﹣（3+）+m，解得m＝4+2，∴x+y的最大值为4+2，故答案为：4+2．三．解答题（共9小题）17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝+1，b＝﹣1．【分析】先计算括号内分式的减法、把除法转化为乘法，再约分即可化简原式，最后把a、b的值代入计算可得．【解答】解：原式＝×＝，当a＝+1，b＝﹣1时，原式＝＝＝．18．如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若∠D＝50°，求∠B的度数．【分析】（1）先利用角平分线性质、以及等量代换，可证出∠1＝∠3，结合CD＝CE，C 是AB中点，即AC＝BC，利用SAS可证全等；（2）利用角平分线性质，可知∠1＝∠2，∠2＝∠3，从而求出∠1＝∠2＝∠3，再利用全等三角形的性质可得出∠E＝∠D，在△BCE中，利用三角形内角和是180°，可求出∠B．【解答】（1）证明：∵点C是线段AB的中点，∴AC＝BC，又∵CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．（2）解：∵∠1+∠2+∠3＝180°，∴∠1＝∠2＝∠3＝60°，∵△ACD≌△BCE，∴∠E＝∠D＝50°，∴∠B＝180°﹣∠E﹣∠3＝70°19．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝m．求点B到地面的垂直距离BC．【分析】在Rt△ADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在Rt△ABC中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出BC的长．【解答】解：在Rt△DAE中，∵∠DAE＝45°，∴∠ADE＝∠DAE＝45°AE＝DE＝∴AD2＝AE2+DE2＝（）2+（）2＝16∴AD＝4，即梯子的总长为4米．∴AB＝AD＝4在Rt△ABC中，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＝30°；∴AC＝AB＝2；∴BC2＝AB2﹣AC2＝42﹣22＝12；∴BC＝＝m；∴点B到地面的垂直距离BC＝m．20．某养鸡场有2500只鸡准备对外出售．从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：kg），绘制出如下的统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题：（1）图1中m的值为28；（2）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；（3）根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0kg的约多少只？【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出m%的值，从而可以得到m的值；（2）根据扇形统计图中的数据可以得到这组数据的平均数，然后根据条形统计图中的数据可以得到这组数据的众数和中位数；（3）根据统计图中的数据，可以计算出质量为2.0kg的约多少只．【解答】解：（1）m%＝1﹣10%﹣22%﹣32%﹣8%＝28%，即m的值是28，故答案为：28；（2）平均数是：1.0×10%+1.2×22%+1.5×28%+1.8×32%+2.0×8%＝1.52（kg），∵本次调查了5+11+14+16+4＝50只鸡，中位数是：1.5kg，众数是1.8kg；（3）2500×8%＝200（只），答：质量为2.0kg的约200只．21．在边长为1的正方形网格图中，点B的坐标为（2，0），点A的坐标为（0，﹣3）．（1）在图1中，将线段AB关于原点作位似变换，使得变换后的线段DE与线段AB的相似比是1：2（其中A与D是对应点），请建立合适的坐标系，仅使用无刻度的直尺作出变换后的线段DE，并求直线DE的函数表达式；（2）在图2中，仅使用无刻度的直尺，作出以AB为边的矩形ABFG，使其面积为11．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】（1）连接CE，交y轴于D，则DE即为所求，由E（1，0），D（0，﹣1.5），可得DE的解析式为y＝x﹣；连接C'E'，交y轴于D'，则D'E'即为所求，由E'（﹣1，0）D'（0，1.5），可得D'E'的解析式为y＝x+；（2）连接AD，EH，交于点G，由DE：AH＝2：11，可得DG：AG＝2：11，进而得到AG＝AD＝，同理可得，BF＝，矩形ABFG即为所求．【解答】解：（1）如图所示，连接CE，交y轴于D，则DE即为所求，由E（1，0），D（0，﹣1.5），可得DE的解析式为y＝x﹣，连接C'E'，交y轴于D'，则D'E'即为所求，由E'（﹣1，0），D'（0，1.5），可得D'E'的解析式为y＝x+，∴直线DE的函数表达式为y＝x﹣或y＝x+；（2）如图所示，连接AD，EH，交于点G，由DE：AH＝2：11，可得DG：AG＝2：11，∴AG＝AD＝，同理可得，BF＝，此时，矩形ABFG的面积为×＝11．故矩形ABFG即为所求．22．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．（1）求∠DAF的度数；（2）求证：AE2＝EF•ED；（3）求证：AD是⊙O的切线．【分析】（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度数，求出∠D度数，根据三角形内角和定理求出∠BAF和∠BAD度数，即可求出答案；（2）求出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质得出即可；（3）连接AO，求出∠OAD＝90°即可．【解答】（1）解：∵AD∥BC，∴∠D＝∠CBD，∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣∠BAC）＝72°，∴∠AFB＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝72°＝36°，∴∠D＝∠CBD＝36°，∴∠BAD＝180°﹣∠D﹣∠ABD＝180°﹣36°﹣36°＝108°，∠BAF＝180°﹣∠ABF﹣∠AFB＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴∠DAF＝∠DAB﹣∠F AB＝108°﹣72°＝36°；（2）证明：∵∠CBD＝36°，∠F AC＝∠CBD，∴∠F AC＝36°＝∠D，∵∠AED＝∠AEF，∴△AEF∽△DEA，∴＝，∴AE2＝EF×ED；（3）证明：连接OA、OF，∵∠ABF＝36°，∴∠AOF＝2∠ABF＝72°，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OF A＝×（180°﹣∠AOF）＝54°，由（1）知∠DAF＝36°，∴∠DAO＝36°+54°＝90°，即OA⊥AD，∵OA为半径，∴AD是⊙O的切线．23．某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别切于点A、B，已知∠CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD 的两个交点，且EF＝24cm，设⊙O1的半径为xcm．（1）用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；（2）若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？【分析】（1）连接O1A．利用切线的性质知∠AO2O1＝∠CO2D＝30°；然后在Rt△O1AO2中利用“30°角所对的直角边是斜边的一半”求得O1O2＝2x；最后由图形中线段间的和差关系求得扇形O2CD的半径FO2为：EF﹣EO1﹣O1O2＝24﹣3x；（2）设该玩具的制作成本为y元，则根据圆形的面积公式和扇形的面积公式列出y与x 间的函数关系，然后利用二次函数的最值即可求得该玩具的最小制作成本．【解答】解：（1）连接O1A．∵⊙O1与O2C、O2D分别切一点A、B∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D，∴∠AO2O1＝∠CO2D＝30°，∴在Rt△O1AO2中，O1O2＝2AO1＝2x．∴FO2＝EF﹣EO1﹣O1O2＝24﹣3x，即扇形O2CD的半径为（24﹣3x）cm．（2）设该玩具的制作成本为y元，则y＝0.45πx2+0.06×＝0.9πx2﹣7.2πx+28.8π＝0.9π（x﹣4）2+14.4π所以当x﹣4＝0，即x＝4时，y的值最小．答：当⊙O1的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小．24．已知，如图1，正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接EF．（1）证明：EF⊥AC；（2）将△AEF绕点A顺时针方向旋转，当旋转角α满足0°＜α＜45°时，设EF与射线AB交于点G，与AC交于点H，如图所示，试判断线段FH、HG、GE的数量关系，并说明理由．（3）若将△AEF绕点A旋转一周，连接DF、BE，并延长EB交直线DF于点P，连接PC，试说明点P的运动路径并求线段PC的取值范围．【分析】（1）先证明AE＝AF，根据等腰三角形三线合一的性质可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证明△AGH≌△AGK，得GH＝GK，由△AFH≌△AEK，得∠AEK＝∠AFH＝45°，FH＝EK，利用勾股定理得：KG2＝EG2+EK2，根据相等关系线段等量代换可得结论：FH2+GE2＝HG2；（3）如图3，先证明∠FPE＝∠F AE＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径可得：点P的运动路径是：以BD为直径的圆，如图4，可得PC的取值范围．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC，∵BE＝DF，∴AD+DF＝AB+BE，即AF＝AE，∴AC⊥EF；（2）解：FH2+GE2＝HG2，理由是：如图2，过A作AK⊥AC，截取AK＝AH，连接GK、EK，∵∠CAB＝45°，∴∠CAB＝∠KAB＝45°，∵AG＝AG，∴△AGH≌△AGK，∴GH＝GK，由旋转得：∠F AE＝90°，AF＝AE，∵∠HAE＝90°，∴∠F AH＝∠KAE，∴△AFH≌△AEK，∴∠AEK＝∠AFH＝45°，FH＝EK，∵∠AEH＝45°，∴∠KEG＝45°+45°＝90°，Rt△GKE中，KG2＝EG2+EK2，即：FH2+GE2＝HG2；（3）解：如图3，∵AD＝AB，∠DAF＝∠BAE，AE＝AF，∴△DAF≌△BAE，∴∠DF A＝∠BEA，∵∠PNF＝∠ANE，∴∠FPE＝∠F AE＝90°，∴将△AEF绕点A旋转一周，总存在直线EB与直线DF垂直，∴点P的运动路径是：以BD为直径的圆，如图4，当P与C重合时，PC最小，PC＝0，当P与A重合时，PC最大为5，∴线段PC的取值范围是：0≤PC≤5．25．已知抛物线y＝ax2+bx+c．（Ⅰ）若抛物线的顶点为A（﹣2，﹣4），抛物线经过点B（﹣4，0）①求该抛物线的解析式；②连接AB，把AB所在直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，点P是直线l上一动点．设以点A，B，O，P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当4+6≤S≤6+8时，求x的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，c＞1，当x＝c时，y＝0，当0＜x＜c时，y＞0，试比较ac与l的大小，并说明理由．【分析】（I）①由抛物线的顶点为A（﹣2，﹣4），可设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2﹣4，代入点B的坐标即可求出a值，此问得解；②根据点A、B的坐标利用待定系数法可求出直线AB的解析式，进而可求出直线l的解析式，分点P在第二象限及点P在第四象限两种情况考虑：当点P在第二象限时，x＜0，通过分割图形求面积法结合4+6≤S≤6+8，即可求出x的取值范围；当点P在第四象限时，x＞0，通过分割图形求面积法结合4+6≤S≤6+8，即可求出x的取值范围．综上即可得出结论；（II）由当x＝c时y＝0，可得出b＝﹣ac﹣1，由当0＜x＜c时y＞0，可得出抛物线的对称轴x＝﹣≥c，进而可得出b≤﹣2ac，结合b＝﹣ac﹣1即可得出ac≤1．【解答】解：（I）①设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2﹣4，∵抛物线经过点B（﹣4，0），∴0＝a（﹣4+2）2﹣4，解得：a＝1，∴该抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣4＝x2+4x．②设直线AB的解析式为y＝kx+m（k≠0），将A（﹣2，﹣4）、B（﹣4，0）代入y＝kx+m，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣8．∵直线l与AB平行，且过原点，∴直线l的解析式为y＝﹣2x．当点P在第二象限时，x＜0，如图所示．S△POB＝×4×（﹣2x）＝﹣4x，S△AOB＝×4×4＝8，∴S＝S△POB+S△AOB＝﹣4x+8（x＜0）．∵4+6≤S≤6+8，∴，即，解得：≤x≤，∴x的取值范围是≤x≤．当点P′在第四象限时，x＞0，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E，过点P′作P′F⊥x轴，垂足为点F，则S四边形AEOP′＝S梯形AEFP′﹣S△OFP′＝•（x+2）﹣•x•（2x）＝4x+4．∵S△ABE＝×2×4＝4，∴S＝S四边形AEOP′+S△ABE＝4x+8（x＞0）．∵4+6≤S≤6+8，∴，即，解得：≤x≤，∴x的取值范围为≤x≤．综上所述：当4+6≤S≤6+8时，x的取值范围为是≤x≤或≤x≤．（II）ac≤1，理由如下：∵当x＝c时，y＝0，∴ac2+bc+c＝0，∵c＞1，∴ac+b+1＝0，b＝﹣ac﹣1．由x＝c时，y＝0，可知抛物线与x轴的一个交点为（c，0）．把x＝0代入y＝ax2+bx+c，得y＝c，∴抛物线与y轴的交点为（0，c）．∵a＞0，∴抛物线开口向上．∵当0＜x＜c时，y＞0，∴抛物线的对称轴x＝﹣≥c，∴b≤﹣2ac．∵b＝﹣ac﹣1，∴﹣ac﹣1≤﹣2ac，∴ac≤1．。