数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前福建省2019年初中毕业会考、高级中等学校招生考试数 学本试卷满分150分,考试时间120分钟.一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.221+（－）计算的结果是 （ ） A .5B .4C .3D .2 2.北京故宫的占地面积约为2720 000m ，将720 000用科学记数法表示为 （ ） A .47210⨯B .57.210⨯C .67.210⨯D .60.7210⨯3.下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A .等边三角形B .直角三角形C .平行四边形D .正方形4.右图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ ）AB CD5.已知正多边形的一个外角为36︒，则该正多边形的边数为（ ）A .12B .10C .8D .66.如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（ ） A .甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定 B .乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好 C .丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高 D .就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳7.下列运算正确的是（ ）A .33·a a a =B .3326a a =（） C .632a a a ÷=D .23320a a =（）－（－）8.《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34 685个字，设他第一天读x 个字，则下面所列方程正确的是（ ）A .2434 685x x x ++=B .2334 685x x x ++=C .2234 685x x x ++=D .11++3468524x x x =9.如图，PA PB 、是O 切线，A B 、为切点，点C 在O 上，且55ACB ∠︒＝，则APB ∠等于（ ）A .55︒B .70︒C .110︒D .125︒10.若二次函数2y a x bx c =++的图象经过,A m n （）、10,B y （）、3,C m n （－）、22,D y （）、32,E y （），则123y y y 、、的大小关系是（ ）A .123y y y ＜＜B .132y y y ＜＜C .321y y y ＜＜D .231y y y ＜＜二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填写在题中的横线上) 11.因式分解：29x =－ .12.如图，数轴上A 、B 两点所表示的数分别是4－和2， 点C 是线段AB 的中点，则点C 所表示的数是 .13.某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2 000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有 人.主视方向OPCBA (第9题)毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------■▲■▲▲■▲■■▲■▲54321060708090100数学成绩/分次数班级平均分丙乙甲2-4CB A(第12题)数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）14.中在平面直角坐标系xOy 中，OABC 的三个顶点0,03,04,2O A B （）、（）、（）,则其第四个顶点是是 .15.如图,边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的O 的圆心重合，E 、F 分别是AD 、BA 的延长与O 的交点,则图中阴影部分的面积是 .（结果保留π）16.如图,菱形ABCD 顶点A 在函数3y x=（0x ＞）的图象上，函数ky x =（30k x ＞，＞）的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D两点，若2AB ＝，30DAB ∠︒＝，则k 的值为 . 三、解答题(本大题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分8分） 解方程组：⎩⎨⎧=+=-425y x y x18.（本小题满分8分）如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、CD 上的一点，且DF BE ＝. 求证：AF CE =.19.（本小题满分8分）先化简，再求值：211x x x x -⎛⎫÷ ⎪⎝⎭（－）－，其中21x =+20.（本小题满分8分）如图，已知ABC △为和点'A .（1）以点'A 为顶点求作'''A B C △，使'''A B C ABC △∽△，'''4A B C ABC S S =△△； （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）设D 、E 、F 分别是ABC △三边AB 、BC 、AC 的中点，'''D E F 、、分别是你所作的'''A B C △三边''''''A B B C A C 、、的中点，求证：'''DEF D E F △∽△.21.（本小题满分8分）在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠︒＝，将ABC △绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到AED △，点B 、C 的对应点分别是E 、D . （1）如图1，当点E 恰好在AC 上时，求CDE ∠的度数；（2）如图2，若60α=︒时，点F 是边AC 中点，求证：四边形BFDE 是平行四边形.(第15题)DCE FABO(第16题)yxDCBA OFEDCBAC BA(图1)EDC BA(图2)FEDCBA数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）22.（本小题满分10分）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资组建了日废水处理量为m 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元. （1）求该车间的日废水处理量m ；（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.23.（本小题满分10分）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2 000元.每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5 000元，但无需支付工时费某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；（2）试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？24.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB AC =，BD AC ⊥，垂足为E ，点F 在BD 的延长线上，且DF DC =，连接AF 、CF . （1）求证：2BAC DAC ∠=∠；（2）若10AF ＝，BC ＝，求tan BAD ∠的值.25.已知抛物20y ax bx c b =++（＜）与轴只有一个公共点. （1）若公共点坐标为20（，），求A 、C 满足的关系式； （2）设A 为抛物线上的一定点，直线l ：1y kx k =+－与抛物线交于点B 、C 两点，直线BD 垂直于直线1y =－，垂足为点D .当0k ＝时，直线l 与抛物线的一个交点在y 轴上，且ABC △为等腰直角三角形.①求点A 的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数k ，都有A 、D 、CFEDCBA -------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）福建省2019年初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学答案解析1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】A9.【答案】B 10.【答案】D11.【答案】()(33)x x ＋－ 12.【答案】1－ 13.【答案】1 20014.【答案】(1)2，15.【答案】1π－16.【答案】6+17.【答案】解：5,24,x y x y -=⎧⎨+=⎩①②①＋②，得()24)5(x y x y －＋＋＝＋， 即39x ＝， 解得3x ＝，把3x ＝代入②，得234y ⨯＋＝， 解得2y ＝－．所以原方程组的解为32x y =⎧⎨=-⎩【考点】二元一次方程组的解法 【考查能力】运算能力18.【答案】证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴90D B ∠∠︒＝＝，AD CB ＝，在ADF △和CBE △中，AD CB D B DF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴ADF CBE △≌△， ∴AF CE ＝．【考点】矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质【考查能力】推理能力19.【答案】解：原式2(21)(1)x x x x --=--221(1)x x x x -+=--2(1)(1)x x x -=--2(1)(1)xx x =-⋅-(1)xx =-数学试卷 第9页（共14页）数学试卷 第10页（共14页）当21x =+时，原式21+121221122-+===++-.【考点】分式的混合运算，因式分解，二次根式的运算 【考查能力】运算能力 20.【答案】解：（1）A B C '''△即为所求作的三角形．（2）证明∵D ，E ，F 分别是ABC △三边AB ，BC ，CA 的中点，∴111222DE AC EF AB FD BC＝，＝，＝，同理，111''''''''''''222D E A C E F A B F D B C ＝，＝，＝．∵ABC A B C '''△∽△，=''''AC AB BCA C AB BC =‘’ 111222=111''''222AC AB BCA C AB BC =‘’，即''''''DE EF FD DE EF F D ==∴DEF D E F '''△∽△【考点】尺规作图，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理 【考查能力】推理能力21.【答案】解：（1）在ABC △中，90ABC ∠︒＝，30ACB ∠︒＝，∴60BAC ∠︒＝．由旋转性质得，DC AC ＝，30DCE ACB ∠∠︒＝＝．∴1180752()DAC ADC DCE ∠∠︒-∠︒＝＝＝，又60EDC BAC ∠∠︒＝＝， ∴15ADE ADC EDC ∠∠-∠︒＝＝．（2）在ABC △中，90ABC ∠︒＝，30ACB ∠︒＝，∴12AB AC＝，∵F 是AC 的中点，∴12BF FC AC＝＝，∴30FBC ACB ∠∠︒＝＝．由旋转性质得，90AB DE DEC ABC ∠∠︒＝，＝＝，60BCE ACD ∠∠︒＝＝，∴DE BF ＝，延长BF 交EC 于点G ，则90BGE GBC GCB ∠∠∠︒＝＋＝， ∴BGE DEC ∠∠＝， ∴DE BF ，∴四边形 BEDF 是平行四边形．【考点】图形的旋转，直角三角形，等腰三角形，等边三角形，三角形的内角和，平行四边形的判定【考查能力】运算能力，推理能力22.【答案】解：（1）因为工厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元， 又，所以35m ＜依题意得，308123)3(570m m -＋＋＝， 解得20m ＝37030688357-=＞ 故该车间的日废水处理量为20吨．（2）设该厂一天产生的工业废水量为x 吨．数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）①当020x ＜≤时，依题意得，83010x x ＋≤，解得15x ≥，所以1520x ≤≤．②当20x ＞时，依题意得，12202083010()x x ⨯－＋＋≤，解得25x ≤，所以2025x ＜≤． 综上所述，1525x ≤≤，故该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间．【考点】一元一次方程，一元一次不等式，反比例函数的性质，平均数的概念 【考查能力】运算能力，推理能力23.【答案】解：（1）因为100台机器在三年使用期内维修的次数不大于100的台数为 10＋20＋30＝60，所以“100台机器在三年使用期内维修的次数不大于10”的频率为60=0.6100， 故可估计“1台机器在三年使用期内维修的次数不大于10”的概率为0.6． （2此时这100台机器维修费用的平均数124000102450020250003030000303500010100100y ⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＝=27300，此时这100台机器维修费用的平均数226000102650020270003027500303250010=100y ⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋=27500，因为12y y ＜，所以购买1台该机器的同时应一次性额外购买10次维修服务．【考点】概率，加权平均数，统计表 【考查能力】运算能力，推理能力 24.【答案】证明：（1）∵AC BD ⊥， ∴90AED ∠︒＝，在Rt AED △中，90ADE CAD ∠︒∠＝－． ∵AB AC ＝， ∴AB AC =∴90ACB ABC ADE CAD ∠∠∠︒∠＝＝＝－． 在ABC △中，180BAC ABC ACB ∠∠∠︒＋＋＝，∴()(180180290)BAC ABC ACB CAD ∠︒∠∠︒︒∠＝－＋＝－－，即2BAC CAD ∠=∠． （2）∵DF DC ＝， ∴FCD CF ∠∠＝，∴BDC FCD CFD ∠∠∠＝＋， ∴2BDC CFD ∠∠＝∵BDC BAC ∠∠＝，且由（1）知2BAC CAD ∠∠＝， ∴CFD CAD ∠∠＝， ∵CAD CBD ∠∠＝，∴CFD CBD ∠∠＝， ∴CFCB ＝， ∵AC BF ⊥，∴BE EF ＝，故CA 垂直平分BF ，∴10AC AB AF ＝＝＝， 设AE x ＝，则10CE x ＝－，在Rt ABE △和Rt BCE △中，²²²²²AB AE BE BC CE －＝＝－， 又∵BC ＝，∴(()22221010x x -=--，解得6x =，∴64AE CE ＝，＝， ∴8BE ，数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）∵DAE CBE ∠∠＝，ADE BCE ∠∠＝， ∴ADE BCE △∽△． ∴AE DE ADBE CE BC==∴3,35DE AD ==过点D 作DH AB ⊥，垂足为H .∵11,1122ABD S AB DH BD AE BD BE DE =⋅=⋅=+=△， ∴10116,DH =⨯故335DH =在Rt ADH △中，6²²5AH AD DH -＝＝∴112DH tan BAD AH ∠==【考点】圆的有关性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形面积等基础知识 【考查能力】运算能力，推理能力25.【答案】解：（1）依题意，240b ac △＝－＝，22ba-=， 所以2440()a ac －－＝，因为0a ≠，所以4c a ＝，即a c ，满足的关系式为4c a ＝．（2）①当0k ＝时，直线l 为1y ＝，它与y 轴的交点为(0)1，． ∵直线1y ＝与x 轴平行，∴等腰直角ABC △的直角顶点只能是A ，且A 是抛物线的顶点．过A 作AM BC ⊥，垂足为M ，则1AM ＝，∴1BM MC AM ＝＝＝，故点A 坐标为(1)0，， ∴抛物线的解析式可改写为【考点】一次函数和二次函数的图形与性质，等腰直角三角形的性质与判定，图形的对称 【考查能力】运算能力，推理能力∴抛物线的解析式可改写为2(1)y a x =-， ∵抛物线过点()0,1，所以21(01)a =-，解得1a =.所以抛物线的解析式为2(1)y a x =-，即221y x x =-+. ②设()()1122,,,B x y C x y ，则()1,1D x -.由2121y kx k y x x =+-⎧⎨=-+⎩得2(2)0x k x k -++=， 因为22(2)440k k k =+-=+△＞由抛物线的对称性，不妨设12x x ＜，则2124k k x +-+=2224k k x +++=，所以121x x ＜＜，设直线AD 的解析式为y mx n =+，则有101m n mx n =+⎧⎨-=+⎩，解得111111m x n x ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩所以直线AD 的解析式为111111y x x x =-+--. 因为()222221111111111x y x x x x x ⎛⎫---+=-+⎪---⎝⎭ ()()()212111111x x x x -⎡--+⎤⎣⎦=-()222144111k k k k x x ⎫-+++-+⎪⎪⎝⎭=- 0=即22111111y x x x =-+--，所以点()22,C x y 在直线AD 上. 故对于每个给定的实数k ，都有,,A C D 三点共线.。