高考必备一模一例一法一练万有引力与航天目录天体质量和密度的估算 (2)近地卫星模型 (4)同步卫星模型 (5)万有引力等于重力模型 (9)卫星模型相关物理量讨论 (10)三种天体运动速度比较 (12)双星模型 (14)三星、多星模型 (17)黑洞模型 (20)暗物质 (22)卫星变轨 (25)常数的应用 (28)重力等于万有引力模型（黄金代换） (29)利用比例求解模型 (31)三星一线模型 (32)天体质量和密度的估算【典例】（2018高考理综II ·16）2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T =5.19 ms ，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为。

以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】本题考查万有引力定律、牛顿运动定律、密度及其相关的知识点。

设脉冲星质量为M ，半径为R 。

选取脉冲星赤道上一质元，设质量为m ，由万有引力定律和牛顿第二定律可得G =mR （）2，星体最小密度ρ=M/V ，星球体积V=πR 3，联立解得：ρ=，代入数据得ρ=5×1015kg/m ，选项C 正确。

【思想方法】一、 题型概述1. 利用万有引力等于重力可以估算地球质量，若测量出绕天体运行卫星的周期和轨道半径可以估算天体的质量，若知道天体的半径，可以估算出天体的密度。

高考有关天体质量和密度的估算考查频率较高。

2.考虑星球自转时星球表面上的物体所受重力为万有引力的分力；忽略自转时重力等于万有引力．3.一定要区分研究对象是做环绕运动的天体，还是在星球表面上随星球一块自转的物体．做环绕运动的天体受到的万有引力全部提供向心力，星球表面上的物体受到的万有引力只有很少一部分用来提供向心力．二、估算中心天体质量和密度的两条思路和三个误区(1)两条思路11226.6710N m /kg -⨯⋅93510kg /m ⨯123510kg /m ⨯153510kg /m ⨯183510kg /m ⨯2Mm R 2T π4323GTπ①利用天体表面的重力加速度和天体半径估算由G Mm R 2＝mg 天体得M ＝g 天体R 2G ，再由ρ＝M V ，V ＝43πR 3得ρ＝3g 天体4G πR。

②已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期，由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得M ＝4π2r 3GT 2，再结合ρ＝M V ，V ＝43πR 3得ρ＝3πr 3GT 2R 3，在中心天体表面做匀速圆周运动时，r ＝R ，则ρ＝3πGT 2。

(2)三个常见误区①天体质量和密度的估算是指中心天体的质量和密度的估算，而非环绕天体的。

②注意区分轨道半径r 和中心天体的半径R 。

③在考虑自转问题时，只有两极才有GMm R 2＝mg 天体。

【练习】(多选)2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面。

着陆前的部分运动过程简化如下：在距月面15 km 高处绕月做匀速圆周运动，然后减速下降至距月面100 m 处悬停，再缓慢降落到月面。

已知万有引力常量和月球的第一宇宙速度，月球半径约为1.7×103km 。

由上述条件可以估算出( )A ．月球质量B ．月球表面的重力加速度C ．探测器在15 km 高处绕月运动的周期D ．探测器悬停时发动机产生的推力【答案】 ABC【解析】 探测器在月球表面附近运动时，万有引力提供向心力，环绕速度即为月球的第一宇宙速度，有：G Mm R 2＝m v 2R ，则月球的质量为M ＝v 2R G，由题目中的已知条件可求得月球质量，故A 正确；探测器在月球表面附近运动时，万有引力等于重力，有：G MmR 2＝mg 月，则月球表面的重力加速度为g 月＝G M R 2，故B 正确；探测器在距月面15 km 高处绕月运动时，有：G Mm (R ＋h )2＝m 4π2(R ＋h )T 2，得运动周期T ＝4π2(R ＋h )3GM ，故C 正确；探测器悬停时发动机产生的推力大小等于万有引力大小G Mm(R ＋h ′)2，但由于探测器的质量未知，故不可求出推力，故D 错误。

近地卫星模型【典例】（2020全国II 卷）若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G ，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是（ ）A B C D 【答案】A【解析】卫星在星体表面附近绕其做圆周运动，则2224GMmm R R T， 343V R π= ，M V ρ=知卫星该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期T =【思想方法】近地卫星是贴着地球表面转动卫星，其中万有引力提供向心力，可计算出运行速度等于第一宇宙速度，运行周期大约84分钟。

【练习】若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p 倍，半径为地球的q 倍，则该行星近地卫星的环绕周期是地球近地卫星环绕周期的（ ）A 倍B 倍C D【答案】C【解析】由万有引力作为向心力，有2224Mm G m R R T π=得T =倍。

故C 正确，ABD 错误。

故选C 。

同步卫星模型【典例】2020年6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星发射成功，北斗三号 30 颗组网卫星已全部到位，北斗三号全球卫星导航系统星座部署全面完成。

北斗三号全球卫星导航系统由 MEO 卫星（地球中圆轨道卫星）、IGSO 卫星（倾斜地球同步轨道卫星）和 GEO 卫星（地球静止轨道卫星）三种不同轨道的卫星组成。

关于GEO 卫星论述正确的是（ ）A ．卫星处于平衡状态B ．卫星的高度是一定的C ．卫星的速度是不变的D ．卫星的速度大于第一宇宙速度【答案】B【解析】GEO 卫星是同步卫星，故不是处于平衡状态，选项A 错误；根据万有引力提供向心力，列出等式： ()2224GMmm R h T R h π=++（），其中R 为地球半径，h 为同步卫星离地面的高度．由于同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，所以T 为一定值，根据上面等式得出：同步卫星离地面的高度h 也为一定值．由于轨道半径一定，则线速度的大小也一定，但是速度方向不断变化，故B 正确，C 错误．根据v =度小于第一宇宙速度，选项D 错误；故选B.【名师点拨】地球质量一定、自转速度一定，同步卫星要与地球的自转实现同步，就必须要角速度与地球自转角速度相等，这就决定了它的轨道高度和线速度大小．【思想方法】一、地球同步卫星1．定义：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星．2．“七个一定”的特点：(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面．(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h.(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．(4)高度一定：由G Mm R ＋h2＝m 4π2T 2(R ＋h )得地球同步卫星离地面的高度h ＝3.6×107 m.(5)速率一定：v ＝ GM R ＋h＝3.1×103 m/s. (6)向心加速度一定：由G MmR ＋h 2＝ma 得a ＝GM R ＋h 2＝g h ＝0.23 m/s 2，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度．(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向相同．二、解决同步卫星问题的“四点”注意1．基本关系：要抓住：G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2T2r . 2．重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析．3．物理规律：(1)不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期．(2)不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．(3)不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方的特定的点上．4．重要条件：(1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球的表面半径约为6.4×103 km ，表面重力加速度g 约为9.8 m/s 2.(2)月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．(3)人造地球卫星的运行半径最小为r ＝6.4×103 km ，运行周期最小为T ＝84.8 min ，运行速度最大为v ＝7.9 km/s.【练习1】（2020·浙江省高三模拟）2022年左右，我国将建成载人空间站，其运行轨道距地面高度约为400km ，已知地球半径约为6400km ，万有引力常量为11226.6710Nm /kg -⨯，地球表面重力加速度为210m/s ，同步卫星距地面高度约为36000km ，设空间站绕地球做匀速圆周运动，则（ ）A ．空间站运行速度比同步卫星小B ．空间站运行周期比地球自转周期小C ．可以估算空间站受到地球的万有引力D ．受大气阻力影响，空间站运行的轨道半径将会逐渐减小，速度逐渐减小【答案】B【解析】A ．根据22GMm mv r r =，可得v =①，即轨道半径越大，运动速度越小，因此空间站运行速度比同步卫星大，A 错误；B ．根据2r T vπ=，空间站的轨道半径小而运动速度大，因此空间站的运行周期小于同步卫星的运行周期，B 正确；C ．根据2GMm F r =，由于无法知道空间站的质量，因此无法估算估算空间站受到地球的万有引力，C 错误；D ．受大气阻力影响，空间站运行的轨道半径将会逐渐减小，根据①式可知，运行速度逐渐增大，D 错误。

故选B 。

【练习2】如图所示，同步卫星与地心的距离为r ，运行速率为1v ，向心加速度为1a ；近地卫星的运行周期1T ，地球赤道上的物体P 随地球自转的向心加速度为2a ，地球自转周期2T ，第一宇宙速度为2v ，地球半径为R ，某时刻同步卫星、近地卫星、在赤道上物体P 正上方并连成一条线，则下列说法正确的是（ ）A ．12a r a R= B ．1122v r T v R T =C．12T T =D ．同步卫星、近地卫星再次同时出现在P 点正上方至少需要1212T T T T -时间 【答案】ABC【解析】A ．同步卫星和赤道上的物体同轴转动，角速度相同，根据20a r ω= 可知12a r a R=A 正确； C ．对于近地卫星，万有引力提供向心力22214Mm G m R R T π= 对于同步卫星，万有引力提供向心力22224Mm G m r r T π=则12T T =正确； B ．万有引力提供向心力2200Mm v G m r r =解得v =当绕行卫星的轨道半径等于地球半径时，卫星线速度大小即为第一宇宙速度，所以12v v = 结合C 项解析可得1122v r T v R T =B 正确； D ．近地卫星线速度大于同步卫星的线速度，当二者再次同侧共线时，近地卫星比同步卫星多绕行一圈，假设再次同侧共线的时间为t ，则121t t T T -= 解得1221T T t T T -=D 错误。