【基础知识回顾】第六章圆第二十三讲圆的有关概念及性质一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA 叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。
2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。
【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。
3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d 和弓高h 中已知其中两个量可求另外两个量。
】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900 的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。
15 10 2性质：圆内接四边形的对角。
【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】【重点考点例析】考点一：垂径定理例1（2015•舟ft）如图，⊙O 的半径OD⊥弦AB 于点C，连结AO 并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC 的长为（）A．2 B．8 C．2 D．2对应训练1．（2015•南宁）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E，且AE=CD=8，∠BAC=1∠BOD，则⊙O 的半径为（）2A．4 B．5 C．4 D．3考点二：圆周角定理例2 （2015•自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A 经过原点O，并且分别与x 轴、y 轴交于B、C 两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A 的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．8对应训练2．（2015•珠海）如图，▱ABCD 的顶点A、B、D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，∠ ADC=54°，连接AE，则∠AEB 的度数为（）A．36°B．46°C．27°D．63°【2016 中考名题赏析】1.(2016 兰州，10,4 分)如图，四边形ABCD 内接于⊙ O, 四边形ABCO 是平行四边形，则∠ ADC= （）13（A）45º（B) 50º(C) 60º(D) 75º2.( 2016 ·四川自贡) 如图，⊙O 中，弦AB 与CD 交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B 的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．75°3.（2016·四川成都·3 分）如图，AB为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为（）A．π B．π C．πD．π4.（2016·四川达州·3 分）如图，半径为3 的⊙A 经过原点O 和点C（0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan∠OBC 为（）A．B．2 C． D．5．（2016·ft东烟台）如图，○O 的半径为1，AD，BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发（P 点与O 点不重合），沿O→C→D 的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y 与x 之间的关系图象大致是（）A．B．C．D．6．（2016 ft东省聊城市，3分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，F 是上一点，且=，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E 的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°7．（2016.ft东省泰安市，3 分）如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，∠B=30°，CE 平分∠ACB 交⊙O 于E，交AB 于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB 的值等于（）A．1： B．1： C．1：2 D．2：3 8．（2016·黑龙江大庆）如图，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=10，一圆弧过点B 和点C，且与AD 相切，则图中阴影部分面积为．2．（2016·湖北鄂州）如图，AB＝6，O 是AB 的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P 是直线l 上一点。
当△APB为直角三角形时，AP＝.【真题过关】一、选择题»AB =»AC ，∠A=30°，则∠B=（）1．（2015•厦门）如图所示，在⊙O 中，A．150°B．75°C．60°D．15°1．B2．（2015•昭通）如图，已知AB、CD 是⊙O 的两条直径，∠ABC=28°，那么∠BAD=（）A．28°B．42°C．56°D．84°3．（2015•湛江）如图，AB 是⊙O 的直径，∠AOC=110°，则∠D=（）A．25°B．35°C．55°D．70°3．B4．（2015•宜昌）如图，DC 是⊙O 直径，弦AB⊥CD 于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）»AD=B»D B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°A．4．C5．（2015•温州）如图，在⊙O 中，OC⊥弦AB 于点C，AB=4，OC=1，则OB 的长是（）3 5 15 C ．34A.B ．C ．D ．6．（2015•兰州）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面 AB 宽为 8cm ，水面最深地方的高度为 2cm ，则该输水管的半径为（ ） A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm7．（201•徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为 P ．若 CD=8，OP=3，则⊙O 的半径为（ ） A ．10 B ．8 C ．5 D ．38．（2015•温州）在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以 AB ，AC 为直径作半圆，过点 B ，A ，C 作 B ¼AC ，如图所示．若 AB=4，AC=2，S -S = ，则 S -S 的值是（ ）1 23 429 23 11 5 A.B ．C ．D ．44449．（2015•南通）如图．Rt △ABC 内接于⊙O ，BC 为直径，AB=4，AC=3，D 是 CE 中点，CD 与 AB 的交点为 E ，则 等于（ ）DE»AB 的 A ．4B ．3.5D ．2.89．C 10．（2015•乐ft ）如图，圆心在y 轴的负半轴上，半径为5 的⊙B 与y 轴的正半轴交于点A （0， 1），过点P （0，-7）的直线l 与⊙B 相交于C ，D 两点．则弦CD 长的所有可能的整数值有（ ） A.1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个10．C1713 11（．2015•安徽）如图，点 P 是等边三角形 ABC 外接圆⊙O 上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）A. 当弦 PB 最长时，△APC 是等腰三角形B. 当△APC 是等腰三角形时，PO ⊥ACC. 当 PO ⊥AC 时 ，∠ACP=30°D ．当∠ACP=30°时，△BPC 是直角三角形二、填空题12．（2015•张家界）如图，⊙O 的直径 AB 与弦 CD 垂 直 ， 且 ∠BAC=40°，则∠BOD= ．13． （ 2015•盐 城 ） 如 图 ， 将 ⊙ O 沿 弦 AB 折 叠 ， 使 OAB= ． »AB 经 过 圆 心 O ， 则 ∠ 14．（2015•绥化）如图，在⊙O 中，弦 AB 垂直平分半径 OC ，垂足为 D ，若⊙O 的半径为 2，则弦 AB 的长为 ．15．（2015•株洲）如图 AB 是⊙O 的直径，∠BAC=42°，点 D 是弦 AC 的中点，则∠DOC 的度数是 度．16．（2015•扬州）如图，已知⊙O 的直径 AB=6，E 、F 为 AB 的三等分点，M 、N 为 »AB上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则 EM+FN=．17．（2015•广州）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 P 在第一象限，⊙P 与 x 轴交于 O ，A 两点，点 A 的坐标为（6，0），⊙P 的半径为 ，则点 P 的坐标为．18．（2015•娄底）如图，将直角三角板 60°角的顶点放在圆心 O 上，斜边和一直角边分别与⊙O 相交于 A 、B 两点，P 是优弧 AB 上任意一点（与 A 、B 不重合），则∠APB= ．三、解答题19．（2015•深圳）如图所示，该小组发现8 米高旗杆DE 的影子EF 落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6 米，测得其影长为2.4 米，同时测得EG 的长为3 米，HF 的长为1 米，测得拱高（弧GH 的中点到弦GH 的距离，即MN 的长）为2 米，求小桥所在圆的半径．20．（2015•资阳）在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D，连结CD．（1）如图1，若点D 与圆心O 重合，AC=2，求⊙O 的半径r；（2）如图2，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA 的度数．21．（2015•贵阳）已知：如图，AB 是⊙O 的弦，⊙O 的半径为10，OE、OF 分别交AB 于点E、F，OF 的延长线交⊙O 于点D，且AE=BF，∠EOF=60°．（1）求证：△OEF 是等边三角形；（2）当AE=OE 时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）22．（2015•黔西南州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 与点E，点P 在⊙O 上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；3（2）若BC=3，sin∠P= ，求⊙O 的直径．5第二十四讲与圆有关的位置关系【基础知识回顾】一、点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r 点P 到圆心的距离为d则：点P 在圆内<＝> 点P 在圆上<＝>点P 在圆外<＝>2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点作圆，过三点，有且只有一个圆⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的。