2017年中考数学专题训练压轴题含解析2压轴题1、已知,在平行四边形OABC 中,OA=5,AB=4,∠OCA=90°,动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动.设移动的时间为t 秒. (1)求直线AC 的解析式;(2)试求出当t 为何值时,△OAC 与△PAQ 相似;(3)若⊙P 的半径为58,⊙Q 的半径为23;当⊙P 与对角线AC 相切时,判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系,并求出Q 点坐标。
解:(1)42033y x =-+3AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD 翻折,使点A落在BC边上的点F处.(1)直接写出点E、F的坐标;(2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴...于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式;(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.(第245解:(1)(31)E ,;(12)F ,.(2)在Rt EBF △中,90B ∠=, 2222125EF EB BF ∴+=+=设点P 的坐标为(0)n ,,其中0n >,顶点(12)F ,, ∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠.①如图①,当EF PF =时,22EF PF =,221(2)5n ∴+-=.解得10n =(舍去);24n=.(04)P ∴,.24(01)2a ∴=-+.解得2a =.∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+②如图②,当EP FP =时,22EP FP =,22(2)1(1)9n n ∴-+=-+.解得52n =-(舍去).6③当EF EP =时,53EP =<,这种情况不存在.综上所述,符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+.(3)存在点M N ,,使得四边形MNFE 的周长最小. 如图③,作点E 关于x 轴的对称点E ',作点F 关于y轴的对称点F ',连接E F '',分别与x 轴、y 轴交于点M N ,,则点M N ,就是所求点.(31)E '∴-,,(12)F NF NF ME ME '''-==,,,.43BF BE ''∴==,.FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345=+=.又5EF =∴55FN NM ME EF +++=此时四边形MNFE的周长最小值是553、如图,在边长为2的等边△ABC中,AD⊥BC,点P为边AB 上一个动点,过P点作PF//AC交线段BD于点F,作PG⊥AB交AD于点E,交线段CD于点G,设BP=x.(1)①试判断BG与2BP的大小关系,并说明理由;②用x的代数式表示线段DG的长,并写出自变量x的取值范围;(2)记△DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值;(3)以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似?如果能相似,请求出BP的长,如果不能,请说明理由。
78解:(1)①在等边三角形ABC中,∠B=60°,∵PG⊥AB,∴∠BGP=30°,∴BG=2BP.②∵PF//AC,∴△PBF为等边三角形,∴BF=PF=PB=x . 又∵BG=2x ,BD=1,∴DG=2x -1,∴0<2x -1≤1,∴112x .CB 第39(2)S=12DE×DF=)()12112x x --=2326x x -+-当34x =时,48maxS =.(3)①如图1,若∠PFE=Rt∠,则两三角形相似,此时可得DF=DG 即121xx 解得:23x.②如图2,若∠PEF=Rt∠,则两三角形相似,此时可得DF=12EF=14BP, 即114xx .解得:45x.4、如图,二次函数cbx x y ++-=241的图像经过点()()4,4,0,4--B A ,且与y 轴交于点C .CBCB(1)试求此二次函数的解析式;(2)试证明:CAO∠(其中O是原点);BAO∠=(3)若P是线段AB上的一个动点(不与A、B重合),过P作y轴的平行线,分别交此二次函数图像及x轴于Q、H两点,试问:是否存在这样的点P,使QH=?若存在,请求出点P的坐标;若不存PH2在,请说明理由。
10解:(1)∵点()0,4A 与()4,4--B 在二次函数图像上,∴⎩⎨⎧+--=-++-=cb cb 444440,解得⎪⎩⎪⎨⎧==221c b ,∴二次函数解析式为221412++-=x xy .(2)过B 作x BD ⊥轴于点D ,由(1)得()2,0C ,则在AOC Rt ∆中,2142tan ===∠AO CO CAO ,又在ABD Rt ∆中,2184tan ===∠AD BD BAD ,∵BAD CAO ∠=∠tan tan ,∴BAO CAO ∠=∠.(3)由()0,4A 与()4,4--B ,可得直线AB 的解析式为221-=x y ,设()44,221, x x x P -⎪⎭⎫ ⎝⎛-,则⎪⎭⎫⎝⎛++-22141,2x xx Q ,∴22141,2122212++-=-=-=x x QH x x PH .∴2214122122++-=-x x x . 当4212122++-=-x x x ,解得 4,121=-=x x(舍去),∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--25,1P .当4212122--=-x xx ,解得 4,321=-=x x(舍去),∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--27,3P .综上所述,存在满足条件的点,它们是⎪⎭⎫⎝⎛--25,1与⎪⎭⎫ ⎝⎛--27,3.5、如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8厘米,点D在AC上,CD=3厘米.点P、Q分别由A、C两点同时出发,点P沿AC方向向点C 匀速移动,速度为每秒k厘米,行完AC全程用时8秒;点Q沿CB方向向点B匀速移动,速度为每秒1厘米.设运动的时间为x秒()80<x<,△DCQ的面积为y1平方厘米,△PCQ的面积为y2平方厘米.(1)求y1与x的函数关系,并在图2中画出y1的图象;(2)如图2,y2的图象是抛物线的一部分,其顶点坐标是(4,12),求点P的速度及AC的长;(3)在图2中,点G是x轴正半轴上一点(0图C Q → 图<OG <6=,过G 作EF 垂直于x 轴,分别交y 1、y 2于点E 、F .①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义;②当0<x <6长的最大值.解:(1)∵CD CQ SDCQ⋅⋅=∆21,CD =3,CQ =x ,∴x y 231=. 图象如图所示.(2)方法一:CP CQ SPCQ⋅⋅=∆21,CP =8k -xk ,CQ =x ,∴()kxkxx kx k y 42182122+-=⋅-⨯=.∵抛物线顶点坐标是(4,12), ∴12444212=⋅+⋅-k k .解得23=k .则点P 的速度每秒23厘米,AC =12厘米.方法二:观察图象知,当x=4时,△PCQ 面积为12.此时PC =AC -AP =8k -4k =4k ,CQ =4.∴由CPCQ S PCQ ⋅⋅=∆21,得 12244=⨯k .解得23=k .则点P 的速度每秒23厘米,AC =12厘米.方法三:设y 2的图象所在抛物线的解析式是cbx ax y ++=2.∵图象过(0,0),(4,12),(8,0), ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.0864124160c b a c b a c ,,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.0643c b a ,,∴xx y64322+-=. ①∵CPCQ S PCQ ⋅⋅=∆21,CP =8k -xk ,CQ =x ,∴kxkxy 42122+-=. ②比较①②得23=k .则点P 的速度每秒23厘米,AC =12厘米.(3)①观察图象,知线段的长EF =y 2-y 1,表示△PCQ 与△DCQ 的面积差(或△PDQ 面积).②由⑵得xx y 64322+-=.(方法二,xx x x y 643232382122+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=)∵EF=y 2-y 1,∴EF=x x x x x29432364322+-=-+-,∵二次项系数小于0,∴在60<x<范围,当3=x 时,427=EF 最大.6、如图,在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、AC上的两个动点(D不与A、B重合),且保持BCDE∥,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG.(1)试求ABC∆的面积;(2)当边FG与BC重合时,求正方形DEFG的边长;(3)设x∆与正方形DEFG重叠部分的AD=,ABC面积为y,试求y关于x的函数关系式,并写出定义域;(4)当BDG∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长。
C解:(1)过A 作BC AH ⊥于H ,∵6,5===BC AC AB ,∴321==BC BH .则在ABHRt ∆中,422=-=BH AB AH ,∴1221=•=∆BC AH S ABC .(2)令此时正方形的边长为a ,则446aa -=,解得512=a . (3)当20≤x 时,22253656xx y =⎪⎭⎫⎝⎛=.当52 x 时,()2252452455456x x x x y -=-⋅=. (4)720,1125,73125=AD .7、如图已知点A (-2,4) 和点B (1,0)都在抛物线22y mx mx n =++上. (1)求m 、n ;(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A 的对应点为A ′,点B 的对应点为B ′,若四边形A A ′B ′B 为菱形,求平移后抛物线的表达式;(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为点C ,试在x 轴上找点D ,使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与ABC △相似.解:(1)根据题意,得:⎩⎨⎧=++=+-02444n m m n m m 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=434n m(2)四边形 A A ′B ′B 为菱形,则 AA ′=B ′B= AB=5 ∵438342+--=x x y=()3164342+--x∴ 向右平移5个单位的抛物线解析式为B A O 11 --x y AB()3164342,+--=x y(3)设D (x ,0)根据题意,得:AB=5,5',10,53===C B BC AC∵∠A =∠B B ′Aⅰ) △ABC ∽△B ′CD 时,∠ABC =∠B ′CD ,∴BD=6-x ,由 得=55(3,0)ⅱ)△ABC ∽△B ′DC ∴55365=-x解得313=x ∴)0,313(D8、如 图,已知直角梯形ABCD 中,AD∥BC,A B⊥BC ,AD =2,AB =8, CD =10.(1)求梯形ABCD 的面积S ;(2)动点P 从点B 出发,以1cm/s 的速度、沿B→A→D→C 方向,向点C 运动;动点Q 从点C 出发,以1cm/s 的速度、沿C→D→A 方向,向点A 运动,过点Q 作QE⊥BC 于点E .若P 、Q 两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个DB ACC B AB ''=运动随之结束,设运动时间为t 秒.问:①当点P 在B→A 上运动时,是否存在这样的t ,使得直线PQ 将梯形ABCD 的周长平分?若存在,请求出t 的值,并判断此时PQ 是否平分梯形ABCD 的面积;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t ,使得以P 、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t 的值;若不存在,请说明理由.解:1D DH BC H ABHDDH AB 8BH AD 2⊥∴====()过作于点显然四边形是矩形;在Rt △DCH 中,=ABCD 11S AD BC AB 28822∴=+=+⨯()()40=(2)① ECBCBECB(备10;8CQ BP -=-=∴==tDQ t AP t周长平分。