第七章 非线性方程求根教学目的与要求：理解二分法求根的思想；掌握二分法求解过程；了解二分法的优点和缺点。

了解迭代法的基本思想，迭代法的收敛条件以及局部收敛性的定义；理解基本迭代法的迭代思路，收敛条件的产生与求证过程；掌握基本迭代法的迭代格式，收敛条件的应用以及局部收敛定理。

重点和难点：迭代法的基本思想，迭代法的收敛性 ■ 教学内容：基本概念： 的零点； 的m 重零点。

)(x f )(x f 非线性方程的求根通常分为两个步骤：一是对根的搜索，二是根的精确化，求得根的足够精确的近似值。

求方程的有根区间有如下方法：(1)描图法。

画出的简图，从曲线与)(x f y =x 轴交点的位置确定有根区间。

(2)解析法。

根据函数的连续性、介值定理以及单调性等寻找有根区间。

§ 1 二分法分析二分法的基本原理例1 用二分法求方程的一个正根，要求误差不超过.01)(6=−−=x x x f 2105.0−ק 2 迭代法及其收敛性一、迭代法的定义二、基本迭代法定义：将方程改写成以下等价形式() x x ϕ=取定初始值0x ，由迭代公式1()(0,1,2,)n n x x n ϕ+==L 产生迭代序列{}n x 。

显然，若{}n x 收敛于*x ,()x ϕ在*x 处连续，就有**1lim lim ()()n n n n x x x ϕϕ+→∞→∞===x 即*x 是方程() x x ϕ=的解，从而也是0)(=x f 的解。

故当充分大时，可取作为方程根的近似值。

用迭代格式求得方程近似根的方法称为基本迭代法，n n x )(x ϕ称为迭代函数。

由于收敛点*x 满足*()*x x ϕ=，故称*x 为)(x ϕ的不动点例 求方程的一个实根，要求精确到六位小数。

032)(3=−−=x x x f 注意：把此方程转换成三种等价形式 ,32)(31+==x x x ϕ)3(21)(32−==x x x ϕ, 3)(33−−==x x x x ϕ三、迭代法的收敛条件定理1 （压缩映像原理）设函数()x ϕ在区间上满足条件：],[b a （1）对任意[,]x a b ∈，都有()a x b ϕ≤≤；（2）存在常数0<L<1，使得对一切,[,]x y a b ∈，都有()()x y L x y ϕϕ−≤−则（1）方程()x x ϕ=在内有唯一的根],[b a *x 。

（2） 对任何初值0[,]x a b ∈，迭代序列1() (0,1,)n n x x n ϕ+==L 均收敛于*x 。

（3）*11n n L n x x x x L −−≤−− *101n n L x x x L x −≤−− 注意：(I) 定理1中的条件(2)不容易检验。

如果函数)(x ϕ在区间上可导，那么条件(2)可用更强的条件),(b a ),(,1)(b a x L x ∈∀<≤′ϕ代替。

事实上，若此式成立，则由微分中值定理，对任何都有],[,b a y x ∈()()()x y x y L x ϕϕϕξ′−=−≤−y其中ξ在x 与y 之间，从而条件(2)成立。

如32'1)32(32)(−+=x x ϕ，在区间上，]2,1[1)('1<x ϕ，所以迭代格式(1)收敛；,23)(2'2x x =ϕ13)(2'3−=x x ϕ在区间上，其导数的绝对值均大于1，故发散。

当]2,1[L 较小时，可以用相邻两次迭代结果之差的绝对值是否小于允许误差ε来判断迭代可否终止。

但若L 很接近1，则收敛可能很慢。

四、迭代法的局部收敛性定理2 如果函数()ϕx 在的一邻域*x **(,)O x δ内连续可微，为方程（7-3）的根，且*x *()1x ϕ′<，则存在正数δ，*δδ≤，使得对任意**0[,x x x ]δδ∈−+，迭代序列1()(0,1,2,)n n x x n ϕ+==L 收敛于。

*x 定理2给出了初值在根邻近时，基本迭代法收敛的充分条件，称为局部收敛性定理。

这一定理表明，只要构造迭代函数，使其在根的邻近满足导数的绝对值有小于1的上界，即可保证基本迭代法收敛。

因此,定理7.2对初值的要求较高。

如果已知的大概位置,为的一个较好的近似值，则可用0x *x 0x *x 0()1x ϕ′<代替*()1x ϕ′<，然后用定理7.2判断迭代格式的局部敛散性。

小结：1. 二分法的思路和误差估计式2. 基本迭代法：迭代的具体过程3. 迭代收敛性分析作业：习题7 第3，4，5，6题§ 3 Newton 法与弦截法教学目的与要求：理解Newton 法的构造过程，了解Newton 法的几何意义，掌握用Newton 迭代法、重根法求根的具体过程以Newton 迭代法的局部收敛性分析；最后掌握弦截法的迭代格式、几何意义以及两种迭代法的优缺点的比较。

简单的了解求解非线性方程组的Newton 法的思想。

重点：Newton 法与弦截法；难点：非线性方程组的求解。

■ 教学内容：一、Newton 迭代法Newton 迭代法的基本思想：将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解。

1．定义2．几何意义例 用Newton 迭代法求方程在内的一个根，要求精度。

01)(23=−−=x x x f ]6.1,4.1[510−=ε二、Newton 迭代法的局部收敛性定理4 设函数()f x 在其零点*x 邻近二阶连续可微，且*()0f x ′≠，则存在0δ>，使得对任意**0[,x x x ]δδ∈−+，Newton 法所产生的序列{}n x 至少二阶收敛于*x 。

需要注意的是，Newton 法虽具有收敛快，形式简单等优点，但它对初值的要求较高。

当初始值不够好时，Newton 法可能发散。

一般可由问题的实际背景来预测或由二分法求得较好的初始值。

另外当*x 是0)(=x f 的重根时也可用Newton 法求方程的近似解。

为了改善重根时Newton 法的收敛性，可将Newton 迭代格式做一些修改。

*x 是的重根，则0)(=x f )2(≥m m *x 是0)]([1=m x f 的单根，对此方程应用Newton 迭代法，则有L ,2,1,0,)()(1=′−=+k x f x f m x x k k k k 三、弦截法1．定义2．几何意义3．Newton 法与弦截法的比较Newton 法和弦截法都是先将线性化再求根，但线性化的方式不同：Newton 法是作切线的方程，而弦截法是作弦线的方程；Newton 法只需一个初始值，而弦截法需要两个初始值。

)(x f例2 用弦截法求方程在内的一个根，要求精度。

01)(23=−−=x x x f ]6.1,4.1[510−=ε§ 4 解非线性方程组的Newton 法（略讲）对于非线性方程组，也可以构造类似于一元方程的Newton 迭代法，而且同样具有二阶局部收敛性。

设有非线性方程组 11221212(,,,)0(,,,)0(,,,)0n n n n f x x x f x x x f x x x =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩L L LL L 若记=x 12(,,,)T n x x x L ,12()((),(),,())=L T n F x f x f x f x ，则方程组可简记成向量形式()=F x 0，如果存在向量,使，则称为非线性方程组的解。

n R x ∈*0)(*=x F *x 像单个方程的Newton 迭代法一样，采用逐次线性化的方法构造方程组的Newton 迭代法。

在某个近似解处，将向量函数作泰勒(Taylor)展开，则有： )(k x )(x F ()())()()()()(k k k x x x F x F x F −′+≈从而得方程的近似方程()()0)()()()(=−′+k k k x x x F x F即()()()()(′Δ=−k k k )F x x F x ，其中()()′=k F x ()1111212k n n nn n x x f f f x x x f f f x x x =∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦L L L 称为向量函数()F x 的Jacobi 矩阵，。

线性方程组称为Newton 方程组。

如果()()Δ=−k k x x x ()()1(,,)k k n x x =ΔΔL T ()F x 的Jacobi 矩阵在处非奇异，方程组（7-16）有唯一解，则为方程组（7-15）的第次近似解。

按上述过程求方程组的近似解称为Newton 方法。

可以证明，当初始值()k x ()Δk x (1)()()+=+Δk k x x x k 1+k (0)x 与解充分接近时，Newton 法是平方收敛的。

例3 求解方程组给定初值，用Newton 迭代法求解。

⎪⎩⎪⎨⎧=+−+=++−081008102122122121x x x x x x x T x )0,0()0(=小结： 1. 牛顿法的基本思想；2. 用牛顿法解非线性方程的具体方法；3. 弦截法与牛顿法的区别；4. 弦截法的定义及解题方法作业：习题7 第7，8，9题★ 数值实验：1． 程序设计基础知识：Solve 和FindRoot 都能求方程的根，Solve 主要用于多项式方程组的求根，FindRoot 计算非线性方程或方程组的一个数值解。

下列FindRoot 的求解形式及其意义： 函数FindRoot意义 FindRoot[方程，{x ，x0}] 从x=x0开始，计算方程的一个数值解FindRoot[方程，{x ，{x0，x1}}]以x0和x1为初始值，计算方程的一个数值解．当找不出f 的显式的导数表示时使用FindRoot[方程，{x ，xstart ，xmin ，xmax}]在xmin ，xmax 范围内计算方程的一个数值解FindRoot[{方程组}，{x ，x0}，{y ，u0}，…] 计算联立方程组的数值解2．编写一个非线性方程求解的Mathematica 程序：用迭代法求方程在0543)(35=−−=x x x f 10=x 附近的实根，要求精确到四位小数。

将方程改写成53)54(31)(+==x x x ϕ迭代格式为 521)54(31+=+n n x x L ,2,1,0=nf[x_]:=3x^5-4x^3-5;Plot[f[x],{x,-3,3}]x[n_]:=((4x[n-1]^3+5)*(1/3))^(1/5)x[0]=1.;N[Table[x[n],{n,1,20}],10];MatrixForm[%]N[Solve[f[x]==0,x],10][[5]]运行结果为：（1）图形（2）迭代结果1.245730941.3352421781.370826848… …1.3953037571.395303781.39530379{x -> 1.395303796}则取为方程在1附近的近似根。