《万有引力与航天》典型题练习一、选择题1．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是() A．第一宇宙速度又叫脱离速度B．第一宇宙速度又叫环绕速度C．第一宇宙速度跟地球的质量无关D．第一宇宙速度跟地球的半径无关2．火星的质量和半径分别约为地球的110和12，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为()A．0.2g B．0.4gC．2.5g D．5g3.嫦娥二号卫星已成功发射，这次发射后卫星直接进入近地点高度200公里、远地点高度约38万公里的地月转移轨道直接奔月．当卫星到达月球附近的特定位置时，卫星就必须“急刹车”，也就是近月制动，以确保卫星既能被月球准确捕获，又不会撞上月球，并由此进入近月点100公里、周期12小时的椭圆轨道a.再经过两次轨道调整，进入100公里的近月圆轨道b.轨道a和b相切于P点，如右图所示．下列说法正确的是()A．嫦娥二号卫星的发射速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/sB．嫦娥二号卫星的发射速度大于11.2 km/sC．嫦娥二号卫星在a、b轨道经过P点的速度v a＝v bD．嫦娥二号卫星在a、b轨道经过P点的加速度分别为a a、a b则a a>a b4．我们在推导第一宇宙速度的公式v＝gR时，需要做一些假设和选择一些理论依据，下列必要的假设和理论依据有()A．卫星做半径等于2倍地球半径的匀速圆周运动B．卫星所受的重力全部作为其所需的向心力C．卫星所受的万有引力仅有一部分作为其所需的向心力D．卫星的运转周期必须等于地球的自转周期5．全球定位系统(GPS)有24颗卫星分布在绕地球的6个轨道上运行，距地面的高度都为2万千米．已知地球同步卫星离地面的高度为3.6万千米，地球半径约为6 400 km，则全球定位系统的这些卫星的运行速度约为() A．3.1 km/s B．3.9 km/sC．7.9 km/s D．11.2 km/s6．有两颗质量均匀分布的行星A和B，它们各有一颗靠近表面的卫星a和b，若这两颗卫星a和b的周期相等，由此可知()A．卫星a和b的线速度一定相等B．行星A和B的质量一定相等C．行星A和B的密度一定相等D．行星A和B表面的重力加速度一定相等7．1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元．“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为439 km和2 384 km，则()A．卫星在M点的势能大于N点的势能B．卫星在M点的角速度小于N点的角速度C．卫星在M点的加速度大于N点的加速度D．卫星在N点的速度大于7.9 km/s8．如图所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是()A．M＝4π2(R＋h)3Gt2，ρ＝3π·(R＋h)3Gt2R3B．M＝4π2(R＋h)2Gt2，ρ＝3π·(R＋h)2Gt2R3C．M＝4π2t2(R＋h)3Gn2，ρ＝3π·t2·(R＋h)3Gn2R3D．M＝4π2n2(R＋h)3Gt2，ρ＝3π·n2·(R＋h)3Gt2R39．“嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞月历时433天，标志我国一期探月工程圆满结束．其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行．若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的1/6，月球半径为地球半径的1/4，根据以上信息得()A．绕月与绕地飞行周期之比为3∶ 2B．绕月与绕地飞行周期之比为2∶ 3C．绕月与绕地飞行向心加速度之比为6∶1D．月球与地球质量之比为96∶110．宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为m的小星体和一个质量为M的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行，轨道半径为r.关于该三星系统的说法中正确的是()①在稳定运行情况下，大星体提供两小星体做圆周运动的向心力②在稳定运行情况下，大星体应在小星体轨道中心，两小星体在大星体相对的两侧③小星体运行的周期为T＝4πr32G(4M＋m)④大星体运行的周期为T＝4πr32G(4M＋m)A．①③B．②③C．①④D．②④二、非选择题11．如下图所示，三个质点a、b、c质量分别为m1、m2、M(M≫m1，M≫m2)．在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比为r a∶r b＝1∶4，则它们的周期之比T a∶T b＝________；从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了________次．12．如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G.(1)求两星球做圆周运动的周期；(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留3位小数)《万有引力与航天》典型题练习参考答案一、选择题1．解析： 由于对第一宇宙速度与环绕速度两个概念识记不准，造成误解，其实第一宇宙速度是指最大的环绕速度．答案： B2．解析： 在星球表面有G MmR 2＝mg ，故火星表面的重力加速度g 火＝0.4g ，则g 火g ＝M 火R 2地M 地R 2火＝0.4，故B 正确．答案： B 3.答案： A4．解析： 第一宇宙速度是卫星的最大环绕速度，只有其运行轨道半径最小时，它的运行速度才最大，而卫星的最小轨道半径等于地球半径，故A 错误；在地球表面附近我们认为万有引力近似等于重力，故B 正确，C 错误；同步卫星的运转周期等于地球的自转周期，而同步卫星的运行轨道半径大于地球半径，即大于近地轨道卫星半径，故同步卫星的周期大于近地轨道卫星，D 错误．答案： B5．解析： 由万有引力定律得，G Mmr 2＝m v 2r ，GM ＝r v 2，即v 1＝v 2r 2r 1，代入数值得，v 1≈3.9 km/s.答案： B6．解析： 对卫星，由ω＝2πT 可得，它们的运行角速度一定相等，但它们的轨道半径关系不能确定，故线速度大小不一定相等，A 项错；设行星的质量为M ，卫星的质量为m ，行星的半径为r ，由G Mm r 2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2和M ＝43πr 3ρ可得，卫星的周期T ＝3πGρ，由此公式可得行星A 和B 的密度一定相同．但由于它们的半径不同，故B 、D 两项均不能确定．答案： C7．解析： 卫星从M 点到N 点，万有引力做负功，势能增大，A 项错误；由开普勒第二定律知，M 点的角速度大于N 点的角速度，B 项错误；由于卫星在M 点所受万有引力较大，因而加速度较大，C 项正确；卫星在远地点N 的速度小于其在该点做圆周运动的线速度，而第一宇宙速度7.9 km/s 是线速度的最大值，D 项错误．答案： C8．解析： 设“卡西尼”号的质量为m ，土星的质量为M ，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，GMm (R ＋h )2＝m (R ＋h )⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2，其中T ＝t n ，解得M ＝4π2n 2(R ＋h )3Gt 2.又土星体积V ＝43πR 3，所以ρ＝M V ＝3π·n 2·(R ＋h )3Gt 2R 3.答案： D9．解析： 由G MmR 2＝mg 可得月球与地球质量之比： M 月M 地＝g 月g 地×R 2月R 2地＝196，D 错误． 由于在近地及近月轨道中，“嫦娥一号”运行的半径分别可近似为地球的半径与月球的半径，由G Mm R 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ，可得：T 月T 地＝R 3月M 地R 3地M 月＝32，A 正确． 由G MmR 2＝ma ，可得：a 月a 地＝M 月R 2地M 地R 2月＝16，C 错误． 正确答案为A. 答案： A10．解析： 三星应该在同一直线上，并且两小星体在大星体相对的两侧，只有这样才能使某一小星体受到大星体和另一小星体的引力的合力提供向心力．由G Mm r 2＋G m 2(2r )2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2解得：小星体的周期T ＝4πr 32G (4M ＋m )，所以选项B 正确．答案： B 二、非选择题 11．解析： 万有引力提供向心力，则G Mm 1r 2a ＝m 1r a 4π2T 2a ，G Mm 2r 2b ＝m 2r b 4π2T 2b ，所以T a ∶T b ＝1∶8，设每隔时间t ，a 、b 共线一次，则(ωa －ωb )t ＝π，所以t ＝π(ωa －ωb )，所以b 运动一周的过程中，a 、b 、c 共线的次数为：n ＝T b t ＝T b (ωa －ωb )π＝T b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2T a －2T b ＝2T bT a－2＝14.答案： 1∶8 1412．解析： (1)设两个星球A 和B 做匀速圆周运动的轨道半径分别为r 和R ，相互作用的引力大小为F ，运行周期为T .根据万有引力定律有F ＝G Mm(R ＋r )2①由匀速圆周运动的规律得 F ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ②F ＝M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ③由题意得L ＝R ＋r ④ 联立①②③④式得T ＝2πL 3G (M ＋m ).⑤(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O 不在地心，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出T 1＝2πL ′3G (M ′＋m ′)⑥式中，M ′和m ′分别是地球与月球的质量，L ′是地心与月心之间的距离．若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则G M ′m ′L ′2＝m ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 22L ′⑦ 式中，T 2为月球绕地心运动的周期．由⑦式得 T 2＝2πL ′3GM ′⑧ 由⑥⑧式得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2T 12＝1＋m ′M ′代入题给数据得T 22T 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2T 12＝1.012.答案： (1)T ＝2πL 3G (M ＋m ) (2)T 22T 21＝1.012。