n =−∞ +∞ +∞
∑
πe −2π|n | 绝对收敛, g (x ) 连续, 故其傅立叶级数收敛到自身.
令 x = 0 , 得到
+∞
n =−∞
∑
f (n ) =
n =−∞
∑
fˆ( 2πn )
或者 π
n =−∞
∑
e
−2 π|n |
=
n =−∞ 1 + n
∑
+∞
1
2
, 命题证毕.
注: 我们实际上是把泊松求和公式证了一遍, 方法具有一般性. 坦白说, 我觉得科大这题出 的有点偏了, 倘若没学过傅立叶分析方面的知识的话, 是很难证出此题的.
而 ∫ f 2 (x )dx = 0 , 再由 f (x ) 的连续性知 f (x ) ≡ 0 .
0
(5). 是否存在二元函数 f (x , y ) , 使得 df =
xdy − ydx x +y
2 2
.
假设存在这样的二元函数 f (x , y ) , 则对于任意的简单闭曲线 C 应有 ∫ v df = 0 .
−1
都是有限集合推出"定义域"是有限集合, 矛盾. 其次, lim an 存在, 即 ∀ε > 0, ∃N , n > N ,| an − a |< ε . 显然对满足 f (n ) > N 的那些 n
n →∞
也有 | a f (n ) − a |< ε . 固定 N, 记 bn = a f (n ) , A = {n | f (n ) ≤ N } , 则 A 是有限集合. 取 Δ = max A , 则当 n > Δ 时, | bn − a |< ε . 若不然, 存在 n 0 > Δ,| bn0 − a |≥ ε . 则依集合 A 的定义有 n 0 ∈ A , 这与 n 0 > Δ = max A 矛盾! 命题得证.
本文由 SCIbird 编辑
关于 2009 年中科大数学分析试题的评注
之前已经说过不再写试题解答了， 一来没有那么多的时间和精力； 二来也不想与小部分 人进行一些毫无技术含量的“解答专业不专业的”口头之争--------这种没有技术含量的口舌 之争毫无意义，反而会使人远离数学，得不偿失。我本人十分厌恶毫无技术含量的空话，这 种习惯一旦养成，真的是后患无穷（不论你是不是数学专业的） 。下面是我对 09 年中科大数 学分析试题的一点评注，写的不是很详细，但关键地方都点到了，相信需要的人补充完整后 会有收获的。写成评注式的随笔风格比较灵活，但又不失重点。评注不同于解答，更侧重于 展现我的思维痕迹。说白了，就是我是怎么想的（没拆掉脚手架） ，这也许对大家更有帮助。 感谢博士家园提供这个交流平台，感谢提供试题的热心网友！ SCIbird 2009 年 3 月 28 日 (1). 略。题目貌似有点问题?! (2). a. 试问方程 sin x = x 有几个根, 说明理由. 1 个根 跟去年的试题差不多, 容易看出 0 是一个根. 先考虑右半平面, 当 x ∈ [0,1] 时由单调性
−1
n →∞
存在, 证明 lim a f (n ) 也存在.
n →∞
本题粗一看还以为出错题了, 收敛列的子列不是一定收敛吗? 可细一想发现问题了, 我们 平常说的子列是单调列(至多除有限项外), 但是 {f (n )} 却不一定是单调列. 看来本题还真不 是白送的. 首先, {f (n )} 是无界数列, 否则 {f (n )} 是有限集合, 由已知关于每个自然数 n , f (n )
q ∈S


2 3
本题让我有些费解, 我觉得 xy 2z 3 = 1 是显式曲面啊?! 即 x = x (y , z ) = 1 / y 2z 3 . 因为只要 y 和 z 固定了, x 就随之确定了. 表达式也可求出. 不知道 x = 1 / u 2v 3 , y = u , z = v 算不算参数 方程. 至于紧致性, 比较容易否定, 因为无界. 比如固定 y, 让 x 任意大, 调节 z 可任意小. 曲面 也不是连通的, 因为曲面在 y=0 这个平面出现间断, 但平面两侧都有曲面的部分(x,z 同号), 未能连成一片(有点像双叶双曲面). 直接求出 inf || q || 就行了. 我们尝试求出曲面到原点的最短距离, 下面提供两种方法:
3
本文由 SCIbird 编辑
+∞
题目要求证明
n =−∞ +∞
∑
f (n ) =
n =−∞
∑
+∞
fˆ(2πn ) -------这实际上是泊松求和公式!
为此, 设 g (x ) =
n =−∞
∑
f (x + n ) , x ∈ [0,1] , 则级数是一致收敛的.
先求 g (x ) 的傅立叶展开式. 注意到 g (x ) 是以 1 为周期的周期函数, 其傅立叶系数为
q ∈S
方法 1: 由已知得 1 = x 2y 4z 6 = x 2y 2y 2z 2z 2z 2 = 由均值不等式得到
1 ⋅ 6x 2 ⋅ 3y 2 ⋅ 3y 2 ⋅ 2z 2 ⋅ 2z 2 ⋅ 2z 2 432
6 ⎛ 6x 2 + 6y 2 + 6z 2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ = (x 2 + y 2 + z 2 )6 432 = 6x ⋅ 3y ⋅ 3y ⋅ 2z ⋅ 2z ⋅ 2z ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 6 ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2
故最短距离为 min x 2 + y 2 + z 2 = 12 432 = r .
p 点的集合为 {p ∈ R 3 || p ||= r } , 为一球面.
方法 2: 无比经典的条件极值中套路方法-------拉格朗日乘数法. 即令 F (x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 + λ (xy 2z 3 −1) , 然后在求偏导数, 解方程组. 注: 套路方法是必须熟记在心的, 这是基础. 初等方法也要适当掌握, 这样处理问题才能 灵活多变.
+∞ +∞
(8). 证明恒等式 π
n =−∞
∑
e −2π|n | =
n =−∞ 1 + n
∑
1
2
本题需要用到傅立叶变换理论, 所谓傅立叶变换(可参考数理方程教材), 即
+∞
F (f ) =
−∞
∫
f (x )e −iωx dx =: fˆ(ω )
如何看出本题涉及傅立叶变换理论呢?(前提是你学过) 主要有两点提示: 一是级数中 n 的变化范围是从负无穷到正无穷; 1 二是如果令 f (x ) = , 则 F ( f ) = πe −|ω| (这是傅立叶变换中的一个很常见的结论) 1+ x 2
2
x − sin x 2 > sin x − sin x 2 > 0 , 显然在 (1, +∞) 上方程无解. 对于左半平面容易知道无解.
注: 多画几个草图就行了. b. 计算级数
n =0
⎟ ⎟ − − 的和. ⎜ ∑⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 2n + 1 4n + 2 4n + 4 ⎠
1 x 2n +2 ( x ∈ [−1,1] ) , 则 f (1) 为即所求. 2 n =0 (2n + 1)(2n + 2)
1 1+ x dx = ln 2 , 所以 ln 2 为所求. 2 1− x
f (1) = ∫
2
ln
注: 其实计算过程还需要对导函数级数的端点进行讨论下, 这里省略没写. (3). 设 f : [0, 1] → \ 是单调递增的且 f ([0, 1]) 是闭集, 证明 f (x ) 在 [0, 1] 上连续. 注意到单调函数的间断点是第一类的(Why?)这个有用的结论就不难找到突破口了. 假设函数不连续, 设 x 0 ∈ (0,1) 为其一个间断点, 记 A = lim f (x ), B = lim f (x ) .
2
本文由 SCIbird 编辑
(7). 记 S = {(x , y, z ) ∈ \ | xy z = 1} a. 证明 S 在 \ 内确定了一张隐式曲面, 并求出在点 (1, 1, 1) 附近的曲面参数方程; b. 曲面 S 是否连通, 是否紧致? 说明理由. c. 点 q ∈ S , || q || 是 q 点到原点的距离, 点 p 满足 || p ||= inf || q || , 求 p 点的集合.
f (u )e
−i 2 πnu
du =
−∞ +∞
∫
f (x )e −i 2πnx dx = fˆ(2πn ) = πe −2π|n | .
+∞
所以 g (x ) 的傅立叶展开式为: g (x ) =
+∞
n =−∞
∑
fˆ(2πn )e i 2πnx =
n =−∞
∑
πe−2π|n |ei 2πnx
注意到优级数
1 + 1, ) 2
再由 B (p ,q ) =
Γ( p )Γ(q ) 1 及 Γ( ) = π 可知, Γ( p + q ) 2
∫∫ (x
S
2
+ y 2 )β dS =
2π π Γ(β + 1) . 3 Γ(β + ) 2
一点后记:
这套题是寒假做的, 今天所幸打出来. 试题总的感觉除第 8 题有点偏之外, 整体还是不错的.计算和证明都有,知识点有琢头, 可以挖掘下, 值得推荐. 关 于计算题的那些得数是我自己算的, 没进行核对.这份评注不同于以前我在论 坛发的试题解答.只追求想法, 不追求解答的完美.出于时间和精力的限制, 我 也没打算把文章再修改完善. 不过还是希望有朋友来补充这份试题的, 相信论 坛上热心人总会有的, 哪怕是考研时顺手写份解答也行.最后祝大家新年新气 象, 万事如意!