【注】 逆不真,即有相同特征多项式的矩阵不一定相似.
反例1 A 1 0 0 1
B 1 1 0 1
（3）相似矩阵有相同的秩
【注】逆不真,即秩相同的矩阵不一定相似.——反例1
推论：相似矩阵同为可逆或不可逆，若可逆，逆矩阵也相似.
（4）如果 A～B，则 Ak ~ Bk（k 为非负整数）
【注】逆命题不成立.
1
1 0 2
例2 判断 A 1 2 1 是否可以相似对角化.
1
3
0
解： 解出A的特征值为 1 1 ，2 1(二重)
属于特征值-1的特征向量为
3
1 1
0
属于特征值 1 的特征向量为
1
2 0
1
因为仅有2个线性无关的特征向量
所以，A不能相似于对角阵.
定理2 矩阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关.
P(a0 Bn a1 Bn1 an1 B an E) P1
P(B) P1.
若A～B , 则 ( A) ~ (B)
特别地,若可逆矩阵P使 P1 AP 为对角矩阵,
Ak P k P1, ( A) P() P1. 对于对角矩阵,有
k
1
( )
1
k
k 2
,
()
( ) 2
,
定理3 设 是矩阵 A 的 k 重特征值，则A 的属于的
线性无关的特征向量最多 k 个.
即 设 A 的不同的特征值：
1，2，… m
重数分别为：
k1，k2，… km
线性无关特征向量的个数： s1，s2，… sm
则有 si ki ， i=1,2,…,m，及
s1＋ s2＋ … ＋ sm k1＋ k2＋ … ＋ km n
3 3 1 3 5 2
3
1 3 6
3 1 2 1
（2）AT与A有相同的特征值1，2，3
U 1 AU
1
2
U T
AT
(U 1 )T
AT
(U
T
的线性无关的特征向量最多 k 个.
【推论】 (1)若n阶矩阵A在数域F上有n个不同的特征值，
A可以相似对角化. (充分条件, 不必要) (2) k1 k2 km n A不能相似对角化.
(3)当 k1 k2 km n 时 A ki si (i 1, 2, , m)
[选择题] 如果( D ), 则矩阵A与B相似.
反例2 A 0 1 0 0
B 0 0 0 0
说明 性质(2)~(4)不能用来判断矩阵相似,但可判断不相似.
利用相似矩阵计算矩阵多项式 A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a0 P Bn P1 a1 P Bn1 P1 an1 PB P1 an PE P1
相互对应.
例1
判断
1 A 2
2 1
2 2
是否可以相似对角化.
2
2
1
A的属于特征值5的特征向量为
1
1 1
1
A的属于特征值
-1（二重）2
1
的特征向量为
0
1
3
1,2 ,3 线性无关 ，A可以相似对角化
1
0
1
令U
1 1
1
1 1
1 0 ,
则
0
1
5
U
1 AU
1
A 有n 个线性无关的特征向量.
【注】 ①若矩阵 A 相似于对角阵，则称 A可相似对角化.
②证明过程给出找与 A 相似的对角阵的方法： 即用 A 的n个线性无关的特征向量 1,2 ,,n
构成可逆矩阵U，U (1 2 n ) ，则
1
U 1 AU
2
n
其中i 是属于特征 值i 的特征向量.
【注】矩阵U的列向量和对角阵中特征值的位置要
（1）求矩阵 A;
1
3 3
6
（2）求AT的特征值及所属的特征向量. 【注】这是由特征值和特征向量求矩阵的问题，
是由矩阵求特征值和特征向量的反问题.
解 （1）
1 1 1
令U
(1 ,2 ,3 )
1
2
3
,
则
1
3
6
1
U
1 AU
2
3
1 A U 2
U
1
1 1
1 2
1 1 3
2
§5.2 相似矩阵与矩阵相似于对角阵的条件
一、相似矩阵的概念与性质 1．定义 设A,B为n阶方阵，如果存在可逆矩阵U，
使得 U 1 AU B，则称A与B相似，记作A～B .
例 A 1 1
2 4
，取 U 1 1
1 2
U
1
2 1
1
1
U
1 AU
2 1
1
1
1 2
1 1 1 2 0 4 1 2 0 3
【推论】每个特征值的线性无关的特征向量（即相应齐
次线性方程组的基础解系）构成的向量组线性无关.
即：若1，2，… m是 A 的不同的特征值， 设属于i的线性无关的特征向量有si个:
1 11 ,12 , ,1s1
2 21 ,22 , ,2s2
m m1 ,m2 , ,msm
共 s1 s2 sm 个向量是线性无关的.
k n
(
)
n
利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式 ( A) .
*两个常用公式*
➢ P1 A1A2 P P1A1P P1A2P .
➢ P1 k1A1 k2 A2 P k1P1A1P k2P1A2P
其中k1 , k2是任意常数.
二、矩阵相似于对角矩阵的条件
定理1 数域 F 上的n 阶矩阵 A 相似于对角阵
n 阶矩阵 A的特征值为：1, 2 , , m 特征值的重数为：k1, k2 , , km
所属无关特征向量个数为： s1, s2 , , sm 定理1 数域 F 上的n 阶矩阵 A 相似于对角阵
A 有n 个线性无关的特征向量. 定理2 矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量线性无关.
定理3 设 是矩阵 A 的 k 重特征值，则A 的属于
～A
【注】单位矩阵 E 只与自己相似
因为对任意可逆矩阵 U，U 1 EU E
数量矩阵 aE 只与自己相似 U 1a性质
反身性，即A～A， 对称性，即A～B，则B～A 传递性， 如果A～B，B～C，则A～C
（2）相似矩阵有相同的特征多项式
相同的特征值(包括重数),迹,行列式.
(A) A B
(B) r( A) r(B)
(C) A与B有相同的特征多项式
(D) n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同
可对角化矩阵的应用1: 由特征值及特征向量反求矩阵
例3 已知三阶矩阵 A 的三个特征值1, 2, 3以及分别属
于它们的特征向量
1
1 1
1
1
2 2
3