在该模型下，
(ˆ j j) / se(ˆ j) tNk1
在实践中，我们经常对 1是否为零的假设感
兴趣，显然在假设体系： H0 : 1 0
H1 : 1 0
下，此时的t统计量是 ˆ1/ se(ˆ1)
如果原假设被拒绝，那么我们就说在某某显 著水平上x是统计上显著的；如果不能被拒绝， 则就说x在某某显著水平上是统计上不显著的。
F U / m ~ F (m, n) V /n
5. x1, x2,
,
xn
iid
~
N(,
2 ), S 2
1 n 1
xi2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
6.正态分布的线性组合仍然服从正态分布
经典线性模型假定
对于模型 yi 0 1xi i ，利用OLS有：
在高斯ˆ1-马 尔1 科夫(假(xxii定x下x))，2i OLS估计量的抽样
服从以上所有假设条件(1-7)的线性回归模型称为 CNLRM(经典正态线性回归模型 ).
ˆ1
1
(xi x)i (xi x)2
1
1 N
1
(xi
x)2
•
(xi
N
x)i
考虑x非随机这种简单情况，显然，当样本容 量很大时，只要误差项是独立同分布的（并不 需要要假定误差项服从正态分布），那么根据
中心极限定理，ˆ1 应该近似服从正态分布。当
利用标准正态分布作假设检验
某一经济经济理论预言β1＝w 。如果你手中掌 握一组样本，一个问题是，你所掌握的样本支 持这个预言吗？ 现在来考察标准正态分布。在该分布上，存在
对称的两点：z0.025与z0.025 ，其中：
Pr(Z z0.025) Pr(Z z0.025) 0.025
如果把概率为5%的事件称为小概率事件，那么，
然，为了保证误差项的独立性，抽样的随机性 十分关键。
假定 yi 0 1xi i是真实模型，当然我
们并不知道各参数的真实值是多少。
在经典线性模型假定下，ˆ1 N
z= (ˆ11)/ sd(ˆ1) N(0,1) 其中
(1,
2ˆ1)
或者
sd
(ˆ1)2＝2ˆ1
(
xi
2
x)2
练习
练习：确定 ˆ 的分布。 0
U z12 z22 zn2 ~ 2 (n)
3. t distibution :Z ~ N (0,1),U ~ 2 (n), Z,U independent
t Z ~ t(n) U /n
必要的数理统计知识(2)
4. F distibution :U ~ 2 (m),V ~ 2 (n), U ,V independent
1]
2
e1服从正态分布。即
e1 E(e1) e1 y f yˆ f N (0,1)
Sd (e1) Sd (e1) Sd (e1)
因此，
Pr ob(za/2
对yf的区间预测是：
y f yˆ f Sd (e1)
za/2) 1 a
[za/2Sd (e1) yˆ f , za/2Sd (e1) yˆ f ]
( y f yˆ f ) / Sd (e1) ＝( y f yˆ f ) （t N k 1)
N
( ˆi2 / 2 ) （/ N k 1)
Se(e1)
i 1
因此，在置信水平a下，对的区间预测是：
[ta/2Se(e1) yˆ f ,ta/2Se(e1) yˆ f ]
练习
请给出E(yf)的区间预测。
假设检验的正式步骤
H0 : 1 （1）建立原假设与备择假设： H1 : 1
原假设与备择假设互斥；假设体系应该是完备的，即原假设与 备择假设两者之一必为真，但两者不能同时为真。
（2）确定小概率标准a。
经常我们把1%、5%或者10%作为小概率标准。对a更加正式的 称呼是“显著水平”。
（3）考察统计量值 (ˆ1)/ sd(ˆ1) 是否落在拒绝
那么在显著水平a下，拒绝域应该是 [za , )
问题1：为何要设置这样的假设体系？
答案：这依赖于先验的理论与判断。例 如，假定 1是某正常商品的消费收入弹 性，那么 1 不可能为负。我们可以通过 建立如下的假设体系：H0 : 1 0
H1 : 1 0
并基于样本来判断 1 0是否为真。
问题2：为什么 [, za/ 2 )并不是拒绝域？
下，以10%为显著水平，我们是否拒绝原假设？
t检验
(ˆ11)/ sd(ˆ1) N(0,1) 中，sd(ˆ1)
2ˆ1
2
(xi x)2
2常常是未知的，就不能利用正态分布进
行假设检验。
ˆ2 RSS
ˆi2
N k 1 N k 1
定义 se(ˆ1) ˆ2 / (xi x)2 标准误
注意！标准误与标准差之间的差别
1. 标准误(Standard error)是标准差 (Standard deviation)的估计量（值）。 2.标准差是常数，当样本可变时，标准 误为随机变量。
t检验
(ˆ1 1) / sd(ˆ1) (ˆ1 1) /
2
(xi x)2
N
(0,1)
ˆi2 / 2 （2 N 2)
(ˆ1 1)
间估计量，而1-a是置信水平。
区间预测
假定真实模型是：y 0 1x ，模型满足经典
线性模型假定。以作为对yf的预测。此时预测误 差是： e1 y f yˆ f (0 ˆ0) (1 ˆ1)xf f
显然，E(e1)=0，
1 Var(e1) [ N
(x (xi
xf )2 x)2
应该注意：即使的绝对值很小很小（即所谓的变量x无经济 显著性或者实际显著性（economic significance/practical significance），但在统计上， 它可能显著地与0不同。
思考题：
样本容量为30，建立回归模型：
yi 0 1x1i 2x2i 3x3i i
tˆ1 等于-2.3，请判断在显著水平1%、
5%与10%下是否拒绝原假设。
置信区间
在 yi 0 1x1i 2x2i 3x3i i 模型下， 有： ˆ1 1/ se(ˆ1) t(N-k -1) 则有：Pr[ˆ1 ta/2se(ˆ1) 1 ˆ1 ta/2se(ˆ1)]1a
ˆ1 ta/2se(ˆ1), ˆ1 ta/2se(ˆ1) 被称为 1 的区
N
( ˆi2 / 2 ) （/ N k 1)
Se(e2 )
i 1
因此，在置信水平a下，对的区间预测是：
[ta/2Se(e2 ) yˆ f ,ta/2Se(e2 ) yˆ f ]
F检验
现在我们把简单线性回归模型扩展为多元线 性模型，例如模型是：
yi 0 1x1i 2x2i 3x3i i
如果我们对原假设 H0:1 w1;2 w2
域： (, za/ 2 ] [za/ 2, ) 之内.
如果落在上述区间之内，那么在a显著水平上，我们拒 绝原假设，接受备择假设；反之，我们不拒绝原假设， 拒绝备择假设。
利用标准正态分布作假设检验
双侧检验
如果拒绝域是 (, za/2 ] [za/2, )
单侧检验
如果假设体系是： H0 : 1 H1 : 1
问题3：为什么拒绝域是 [za , ) ?
思考题：
在假设体系： H0 : 1 H1 : 1
下，计量软件包计算出为正的统计量值z，而 且P值为0.120【注：计量软件包默认的P值是 双尾的概率，当z为正时，它计算的是
Pr(Z z Z z) 】。
在假设体系 H0 : 1
H1 : 1
N
See2 ˆ
[
1 N
(
x (
xi
xf
)2
x)2
],ˆ
ˆi2
i 1
N k 1
N
ˆi2 / 2 （2 N k 1)
i 1
E( y f ) yˆ f N(0,1) Sd (e1)
(E( y f ) yˆ f ) / Sd (e2 ) ＝(E( y f ) yˆ f ) （t N k 1)
3 普通最小二乘法假设检验
模型检验内容
经济意义的检验
统计检验
计量经济学检验 预测检验
本节主要讲述统计检验的内容
方程显著性检验及变量显著性检验
必要的数理统计知识(1)
1. normal distribution : z ~ N (, 2 ),密度函数为
1
( x )2
e 2 2
2
iid
2. 2 distribution : z1, z2 , , zn ~ N (0,1)
分布完全取决于误差项的分布。
经典线性模型假定
假设7：ε服从正态分布
i
~
N
(0,
2
)
仅仅参数估计（点估计），假设1-6足矣。要进行假设检 验，就必须对ε的概率分布作出假定。假设误差项服从 正态分布的合理性在于，误差项是由很多因素构成的， 当这些因素是独立同分布时，依照中心极限定理，那么 这些因素之和应该近似服从正态分布。除少数情形（如 Cauchy分布）外，随着样本容量的增加，该假设都会得 到满足。
2
(xi x)2
ˆi2 / 2
N 2
(ˆ1 1)
2
ˆi2 / 2
(xi x)2 N 2
（t N 2)
(ˆ1 1) / se(ˆ1) （t N 2)
假设检验的正式步骤
（1）建立原假设与备择假设： H0 : 1
H1 : 1
（2）确定小概率标准a 。
（3）考察统计量值 (ˆ1 ) / se(ˆ1) 是否落在
拒绝域：(,ta/2(n 2)] [ta/2(n 2),) 之内.