2011上海大学插班生模拟题
一． 填空
1．1cos(1)1
lim()lim(2sin )x x x x c
x x x c x x +→∞→∞
-+=++，则c=__________ 2.设()f x 在0x 处连续且00
()
lim x x f x A x x →=-（A 为常数），则0'()f x =_________
3.已知32()f x x ax b =++在x=4处有极值-2，则()f x 极大值是___________
4.已知'(ln )1ln (0)0f x x x f =+=且，则()f x =_______________
5.若当()
(),()lim (0)
()x f x x f x g x l l g x →+∞→+∞→+∞→+∞=>时且有限则
ln ()
lim ln ()x f x g x →+∞=_______________
二．选择
1.下列广义积分收敛的是（ ）
A ．211x dx x +∞+⎰ B.12011
sin dx x x ⎰ C.10ln xdx ⎰
D.0a a +∞>⎰常数）
2.已知x y=f(e ),'()1f x x =-，则0lim ||x dy
dx →=_________
A.1
B.e
C.2
D. 0
3.
曲线0,04y x π=≤≤⎰的弧长为（ ）
A ．2
C.
D. 1 4.2
,1()cos x f x x a x π⎧≥⎪=⎨⎪⎩，x<1
处处连续，则a=（ ）
A ．2 B.-2 C.1 D.-1
5. 设()f x 是以2π为周期的函数，在区间[),ππ-上表达式为,0(),0x x f x x x πππ+-≤≤⎧=⎨
<<⎩，则()f x 的Fourier 级数在x π=-处收敛于（ ）
A ．0 B.π C. 2π-
D. 2
π 三．计算 1.求22000
()lim ()x x x x f u du
f u du →⎰⎰，其中'()f x 连续，(0)0,'(0)1f f == 2.设函数()f x 可导，求21()(tan )1
x y f x x =++的导数 3.已知()y y x =由方程1y xy e =-所确定的隐函数，求"(0)y
4.已知(sin cos )(cos sin )x a t t t y a t t t =-⎧⎨=+⎩求222d y t dx
π=在处的值 5.2(1)x dx e -+⎰ 6.ln cos 1cos 2x dx x +⎰
7.求过直线34210:230x y z L x y z --+=⎧⎨-+-=⎩
，且垂直于平面:41x y z π--=的平面方程，并求直线L 在平面π上的投影直线方程。

8.已知0()2,
(()"())sin 5f f x f x xdx ππ=+=⎰，求(0)f 四．应用题
1. 设a,b 满足条件：①0a b ≤≤，②
1||2
b a x dx =⎰，试求曲线2y x ax =+与直线y bx =所围图形面积的最大值和最小值。

2.
求由上半圆周y =与直线y x =所围成的图形绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积。

3.
判断00(1)
n n ∞=-∑敛散性。

4. 已知()'1x P x y e y y x
=+
=为的特解，求通解。

五．证明题 设()f x 在[],a b 连续，（a ，b ）内可导且()()1f a f b ==试证明存在(),,[()'()]1a b e f f εηεηηη-∈+=使得
参考答案：
一．填空 1.1ln 22
c =- 2. 0'()f x A =
3.30
4.()(1)1x
f x x x e =+-+
5.1
二．选择
1.C
2. D
3.A [此答案可能有误]
4.B
5.D
三．计算
1. 1
2. 213ln(1)2sin ''(tan )(1)(1)cos x x x x x y f x x x x
++=--+++ 3."(0)0y = 4.22"|x t y a
ππ==-
5.1ln(1)1
x
x e C e -+-++ 6.111ln cos tan tan 222x x x x C +-+ 7. 1317260x y z --+=，投影直线方程为131726041x y z x y z --+=⎧⎨
-+=⎩
[此答案可能有误] 8.(0)3f =
四．应用题 1. 最大值3，最小值16
2. 2
223
ππ- 3. 收敛
4. x
x x e y e Ce -+=+
五．证明题
构造辅助函数()[()1],()()0x g x e f x g a g b =-==则。

由罗尔定理，使得'()0ξ=g ')) 1.f f ξξ+=即(( ξη=再令即得。