双曲线的标准方程及其简单的几何性质一、选择题1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( ) －y 2＝1B ．y 2－x 23＝1 －y 24＝1－x 24＝15．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2， |PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) －y 23＝1－y 22＝1 －y 2＝1D ．x 2－y 24＝17．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( ) －y 27＝1 －y 27＝1(y >0) －y 27＝1或x 27－y 29＝1 －y 27＝1(x >0)8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16B ．18C ．21D ．269．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( ) －y 24＝1 －y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 212＝110．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( ) －y 224＝1－x 224＝1 －x 212＝1－y 212＝111．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43xD ．y ＝±34x13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ) A ．214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ) B ．3 C ．4 D ．2二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________． 16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________． 17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________. 18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________． 19．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.20．双曲线以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程21.如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右分支分别交于A ，B 两点．若AB ：BF 2：AF 2=3：4：5，则双曲线的离心率为______．求双曲线方程及离心率练习题1．已知双曲线22214y x a -=过点()2,1-，则双曲线的离心率为（ ） A.2 B. 2 C.3 D. 42．双曲线221()mx y m R +=∈2，则m 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C. 1± D ．22．已知双曲线Γ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）的一条渐近线为l ，圆C ： ()228x a y -+=与l 交于A ， B 两点，若ABC V 是等腰直角三角形，且5OB OA =u u u r u u u r（其中O 为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（ ） A.133 B. 2133 C. 135 D. 21353．若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，则该双曲线的离心率为（ ） A.B.C. 2D.4．设F 为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，若OF 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为1||2OF ，则双曲线的离心率为（ ） A ．22B ．23C ．23D ．35．双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率等于 （ ） A ．2 B ．3 C. 2 D ．36．双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的14 ，则此双曲线的离心率是（ ） A. 2 B.2 C.3 D. 37．过双曲线()222210 0x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A.2B.3D.58．已知双曲线的方程为，过左焦点作斜率为的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段，则双曲线的离心率为（ ）.A.B.C.D.9．已知双曲线，其一渐近线被圆所截得的弦长等于4，则的离心率为( ) A.B.C. 或D. 或10．已知双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）的渐近线与圆()228223x y -+=相切，则该双曲线的离心率为（ ） A.62 B. 32C. 3D. 311．设F 为双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点,P Q ，若2PQ QF =， 60PQF ∠=o，则该双曲线的离心率为（ ） A.3 B. 13+ C. 23+ D. 423+12．双曲线的左右焦点分别为，直线经过点及虚轴的一个端点，且点到直线的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.13．设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的值为（ ） A.2 B.C.3 D. 214．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）A. 6B. 3C.D.15．已知O 为坐标原点，F 是双曲线C ：的左焦点，A ，B 分别为双曲线C 的左、右顶点，P 为双曲线C 上的一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若，则双曲线C 的离心率为A.2 B.3 C. 2 D. 316．已知双曲线的左，右焦点分别为，点P 为双曲线右支上一点，若，则双曲线的离心率取值范围为（ ）A.B.C.D.17．已知双曲线 的一条渐近线方程为,,分别是双曲线的左, 右焦点, 点P 在双曲线上, 且, 则等于（ ）A. 4B. 6C. 8D.18．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ） A. 30m -<< B. 32m -<< C. 34m -<< D. 13m -<<19．已知直线l 过点()1,0A -且与22:20B x y x +-=e 相切于点D ，以坐标轴为对称轴的双曲线E 过点D ，其一条渐近线平行于l ，则E 的方程为（ ）A. 223144x y -=B. 223122x y -=C. 22513y x -= D. 223122y x -= 20．已知双曲线的右顶点为A ，过右焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B ，则（） A. B.C.D.双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ， x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23＝1.5、[答案] C [解析] ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0.6、[答案] C [解析] ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)8、[答案] D [解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21， ∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45， ∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)， 又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1. 11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2. 12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34.又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ， ∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝ca ＝ 2.14、[答案] C [解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎨⎧9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案]833 [解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833.17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b2∈(1,2)，∴－12<b <0.19、[答案] 62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案] y 2254－x 2394＝1 [解析] 椭圆x 29＋y 225＝1中，a ＝5，b ＝3，c 2＝16，21、求双曲线方程及离心率练习题1．C 【解析】由题意可得：221411,42a a -=⇒= ，据此有： 2222219,4,22a b c a b ===+=，则： 2229,3c e e a=== .本题选择C 选项.2．B【解析】因为,所以,选B.2．A3．D【解析】不妨设双曲线的焦点为，则其中一条渐近线为，焦点到其距离，又知，所以，故选D．4．B【解析】由题意得的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点为，因此到另一条渐近线的距离为选B.5．A【解析】因为双曲线的焦点到渐近线的距离为b，所以选A.6．A7．A8．A，解得，选A.9．D 【解析】 的渐近线为 渐近线被截得的弦长为或或.选D.10．A 【解析】由题意知圆心()22,0到渐近线0bx ay -=的距离等于83,化简得2232a c =,解得6e =, 11．B12．D13．B14．A15．C【解析】因为轴，所以设，16．A 【解析】根据双曲线定义，，且点在左支，则，设，，则,,则,,在中,,则离心率.∴.故选A.17．C 【解析】由题知双曲线的渐近线方程为 ，据所给渐近线方程，又，知，根据双曲线的定义可得，又，则．故本题答案选．【解析】由题意知， ()()23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选A.19．D 【解析】可设直线方程： 22(1),:20y k x B x y x =++-=e 的圆心为(1,0)半径为1，由相切得条件可得： 203d=131k k k k +-=⇒=±+，所以直线方程： 3(1),3y x =±+，联立圆解得： 1313,(,)2222x y D ==±⇒±，故渐近线方程为32y x =±，设双曲线方程为2213y x m -=代入D 可得双曲线方程： 223122y x -= 20．A【解析】 渐近线为 与的一条渐近线平行，不妨用，即的纵坐标.选B.。