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双曲线及其标准方程

§9.6双曲线1.双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|=2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c),则点P的轨迹叫____________.这两个定点叫双曲线的________,两焦点间的距离叫________.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a、c为常数且a>0,c>0:(1)当________时,P点的轨迹是双曲线;(2)当a=c时,P点的轨迹是____________;(3)当________时,P点不存在.标准方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)图形性质范围x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±bax y=±abx离心率e=ca,e∈(1,+∞),其中c=a2+b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的半实轴长,b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0) [难点正本疑点清源]1.双曲线中a,b,c的关系双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如右图),它的三边长分别是a 、b 、c .易见c 2=a 2+b 2,若记∠AOB =θ,则e =c a =1cos θ.2.双曲线的定义用代数式表示为||MF 1|-|MF 2||=2a ,其中2a <|F 1F 2|,这里要注意两点:(1)距离之差的绝对值. (2)2a <|F 1F 2|.这两点与椭圆的定义有本质的不同:①当|MF 1|-|MF 2|=2a 时,曲线仅表示焦点F 2所对应的一支; ②当|MF 1|-|MF 2|=-2a 时,曲线仅表示焦点F 1所对应的一支; ③当2a =|F 1F 2|时,轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线; ④当2a >|F 1F 2|时,动点轨迹不存在. 3.渐近线与离心率x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的斜率为ba =b 2a 2=c 2-a 2a2=e 2-1.可以看出,双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小.1.已知点F 1(-4,0)和F 2(4,0),一曲线上的动点P 到F 1,F 2距离之差为6,该曲线方程是_____________________________________________________________________. 2.双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m =___________________________. 3.已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为60°,则双曲线C 的离心率为________.4.(2011·山东)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)和椭圆x 216+y 29=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________.5.若双曲线x 2a 2-y 2b2=1 (a >0,b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为 ( ) A . 5B .5C . 2D .2题型一 双曲线的定义例1 已知定点A (0,7)、B (0,-7)、C (12,2),以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆,求另一焦点F 的轨迹方程.探究提高 双曲线的定义理解到位是解题的关键.应注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是双曲线的两支,还是双曲线的一支.若是一支,是哪一支,以确保解答的正确性.在平面直角坐标系xOy 中,已知△ABC 的顶点A (-6,0)和C (6,0),若顶点B 在双曲线x 225-y 211=1的左支上,则sin A -sin Csin B =________.题型二 双曲线的标准方程例2 根据下列条件,求双曲线方程:(1)与双曲线x 29-y 216=1有共同的渐近线,且过点(-3,23); (2)与双曲线x 216-y 24=1有公共焦点,且过点(32,2).探究提高 求双曲线的方程,关键是求a 、b ,在解题过程中应熟悉各元素(a 、b 、c 、e )之间的关系,并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程为ax ±by =0,可设双曲线方程为a 2x 2-b 2y 2=λ (λ≠0).(1)若双曲线的渐近线方程为y =±3x ,它的一个焦点是(10,0),求双曲线的方程;(2)已知双曲线的渐近线方程为y =±43x ,并且焦点都在圆x 2+y 2=100上,求双曲线的方程.题型三 双曲线的几何性质例3 中心在原点,焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F 2,且|F 1F 2|=213,椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4,离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程;(2)若P 为这两曲线的一个交点,求cos∠F 1PF 2的值.探究提高 在研究双曲线的性质时,半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容;双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e =ca是一个比值,故只需根据条件得到关于a 、b 、c 的一个关系式,利用b 2=c 2-a 2消去b ,然后变形求e ,并且需注意e >1.如图,已知F 1、F 2为双曲线x 2a 2-y 2b2=1 (a >0,b >0)的焦点,过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P , 且∠PF 1F 2=30°,求:(1)双曲线的离心率; (2)双曲线的渐近线方程. 题型四 直线与双曲线的位置关系例4 过双曲线x 23-y 26=1的右焦点F 2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A ,B 两点,O 为坐标原点,F 1为左焦点.(1)求|AB |; (2)求△AOB 的面积;(3)求证:|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|BF 1|.探究提高 双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系.解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程,然后把直线方程和双曲线方程组成方程组,消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程,利用根与系数的关系及整体代入的思想解题.设直线与双曲线交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,直线的斜率为k ,则|AB |=1+k 2|x 1-x 2|.直线l :y =kx +1与双曲线C :2x 2-y 2=1的右支交于不同的两点A 、B .(1)求实数k 的取值范围;(2)是否存在实数k ,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F 若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由.10.忽视直线与双曲线相交的判断致误试题:(14分)已知双曲线x 2-y 22=1,过点P (1,1)能否作一条直线l ,与双曲线交于A 、B 两点,且点P 是线段AB 的中点学生解答展示审题视角 (1)本题属探索性问题.若存在,可用点差法求出AB 的斜率,进而求方程;也可以设斜率k ,利用待定系数法求方程.(2)求得的方程是否符合要求,一定要注意检验. 规范解答解 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在双曲线上,且线段AB 的中点为(x 0,y 0), 若直线l 的斜率不存在,显然不符合题意. [2分]设经过点P 的直线l 的方程为y -1=k (x -1),即y =kx +1-k . [3分]由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1-k ,x 2-y 22=1,得(2-k 2)x 2-2k (1-k )x -(1-k )2-2=0 (2-k 2≠0).①[7分]∴x 0=x 1+x 22=k (1-k )2-k 2. 由题意,得k (1-k )2-k2=1,解得k =2.[9分]当k =2时,方程①成为2x 2-4x +3=0.Δ=16-24=-8<0,方程①没有实数解. [12分]∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ,B 两点,且点P (1,1)是线段AB 的中点.[14分] 批阅笔记 (1)本题是以双曲线为背景,探究是否存在符合条件的直线,题目难度不大,思路也很清晰,但结论却不一定正确.错误原因是考生忽视对直线与双曲线是否相交的判断,从而导致错误,因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的. (2)如将本题中点P 的坐标改为(1,2),看看结论怎样方法与技巧1.两条双曲线的渐近线的交点就是双曲线的中心. 2.焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b .3.共用渐近线的两条双曲线可能是:共轭双曲线;放大的双曲线;共轭放大或放大后共轭的双曲线.所以与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1共用渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2-y 2b2=t(t ≠0).4.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程x 2a 2-y 2b 2=0就是双曲线x 2a 2-y 2b2=1的两条渐近线方程. 失误与防范1.区分双曲线中的a ,b ,c 大小关系与椭圆中的a ,b ,c 大小关系,在椭圆中a 2=b 2+c 2,而在双曲线中c 2=a 2+b 2.2.双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率e ∈(0,1).3.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)的渐近线方程是y =±b a x ,y 2a 2-x 2b2=1 (a >0,b >0)的渐近线方程是y =±abx .4.若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.5.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.课时规范训练(时间:60分钟)A 组 专项基础训练题组 一、选择题1.双曲线中心在原点,且一个焦点为F 1(-5,0),点P 位于该双曲线上,线段PF 1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是( ) -y 2=1 B .x 2-y 24=1-y 23=1-y 22=1 2.设F 1、F 2分别是双曲线x 2-y 29=1的左、右焦点,若点P 在双曲线上,且PF 1→·PF 2→=0,则|PF 1→+PF 2→|等于 ( )B .210D .253.若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)的实轴长是焦距的12,则该双曲线的渐近线方程是( )A .y =±32x B .y =±2x C .y =±3xD .y =±22x4.(2011·课标全国)设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为 ( )C .2D .3二、填空题5.已知中心在原点的双曲线C ,过点P (2,3)且离心率为2,则双曲线C 的标准方程为______________________.6.如图,点P 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1上除顶点外的任意一点,F 1、F 2分别为左、右焦点,c 为 半焦距,△PF 1F 2的内切圆与F 1F 2切于点M , 则|F 1M |·|F 2M |=________.7.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1 (a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 2的直线交双曲线右支于A ,B 两点.若△ABF 1是以B 为顶点的等腰三角形,且△AF 1F 2,△BF 1F 2的面积之比S △AF 1F 2∶S △BF 1F 2=2∶1,则双曲线的离心率为________. 三、解答题8.已知双曲线的中心在原点,焦点F 1、F 2在坐标轴上,离心率为2,且过点P (4,-10). (1)求双曲线方程;(2)若点M (3,m )在双曲线上,求证:MF 1→·MF 2→=0; (3)求△F 1MF 2的面积. B 组 专项能力提升题组 一、选择题1.已知点F 1(-2,0)、F 2(2,0),动点P 满足|PF 2|-|PF 1|=2,当点P 的纵坐标是12时,点P 到坐标原点的距离是 ( )D .22.已知点F 是双曲线x2a2-y 2b2=1 (a >0,b >0)的左焦点,点E 是该双曲线的右顶点,过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点,若△ABE 是钝角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A .(1,+∞)B .(1,2)C .(1,1+2)D .(2,+∞)3.若点O 和点F (-2,0)分别为双曲线x 2a2-y 2=1 (a >0)的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP →·FP →的取值范围为 ( )A .[3-23,+∞)B .[3+23,+∞)二、填空题4.设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1 (a >0,b >0)的右焦点为F ,O 为坐标原点.若以F 为圆心,FO 为半径的圆与双曲线C 的渐近线y =bax 交于点A (不同于O 点),则△OAF 的面积为________.5.设点F 1,F 2是双曲线x 2-y 23=1的两个焦点,点P 是双曲线上一点,若3|PF 1|=4|PF 2|,则△PF 1F 2的面积为________.6.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1 (a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在双曲线的右支上,且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为________. 三、解答题7.设A ,B 分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1 (a >0,b >0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y =33x -2与双曲线的右支交于M 、N 两点,且在双曲线的右支上存在点D ,使OM →+ON →=t OD →,求t 的值及点D 的坐标.8.已知椭圆C 1的方程为x 24+y 2=1,双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点,而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点.(1)求双曲线C 2的方程;(2)若直线l :y =kx +2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ,且OA →·OB →>2 (其中O 为原点),求k 的取值范围.答案要点梳理1.双曲线 焦点 焦距 (1)a <c (2)两条射线 (3)a >c 基础自测-y 27=1 (x ≥3) 2.-14 -y 23=1 题型分类·深度剖析例1 解 设F (x ,y )为轨迹上的任意一点, ∵A 、B 两点在以C 、F 为焦点的椭圆上,∴|FA |+|CA |=2a ,|FB |+|CB |=2a (其中a 表示椭圆的长半轴长), ∴|FA |+|CA |=|FB |+|CB |, ∴|FA |-|FB |=|CB |-|CA | =122+92-122+(-5)2=2, ∴|FA |-|FB |=2<14.由双曲线的定义知,F 点在以A 、B 为焦点,2为实轴长的双曲线的下支上, ∴点F 的轨迹方程是y 2-x 248=1 (y ≤-1).变式训练1 56例2 解 (1)设所求双曲线方程为x 29-y 216=λ (λ≠0),将点(-3,23)代入得λ=14,∴所求双曲线方程为x 29-y 216=14,即x 294-y 24=1. (2)设双曲线方程为x 216-k -y 24+k=1, 将点(32,2)代入得k =4,(k =-14舍去). ∴所求双曲线方程为x 212-y 28=1.变式训练2 (1)x 2-y 29=1(2)x 236-y 264=1或y 264-x 236=1 例3 解 (1)由已知:c =13,设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ,双曲线半实、虚轴长分别为m 、n ,则⎩⎪⎨⎪⎧a -m =47·13a =3·13m ,解得a =7,m =3.∴b =6,n =2. ∴椭圆方程为x 249+y 236=1,双曲线方程为x 29-y 24=1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点,P 是第一象限的一个交点,则|PF 1|+|PF 2|=14, |PF 1|-|PF 2|=6, 所以|PF 1|=10,|PF 2|=4. 又|F 1F 2|=213, ∴cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=102+42-(213)22×10×4=45.变式训练3 (1) 3 (2)y =±2x例4 (1)解 由双曲线的方程得a =3,b =6, ∴c =a 2+b 2=3,F 1(-3,0),F 2(3,0).直线AB 的方程为y =33(x -3).设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =33(x -3),x 23-y 26=1,得5x 2+6x -27=0.∴x 1+x 2=-65,x 1x 2=-275.∴|AB |=1+k 2|x 1-x 2| =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫332·(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =43·3625+1085=1635. (2)解 直线AB 的方程变形为3x -3y -33=0. ∴原点O 到直线AB 的距离为 d =|-33|(3)2+(-3)2=32. ∴S △AOB =12|AB |·d =12×1635×32=1235.(3)证明 如图,由双曲线的定义得 |AF 2|-|AF 1| =23, |BF 1|-|BF 2| =23,∴|AF 2|-|AF 1|=|BF 1|-|BF 2|,即|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|BF 1|.变式训练4 解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.①依题意,直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点,故⎩⎪⎨⎪⎧k 2-2≠0,Δ=(2k )2-8(k 2-2)>0,-2k k 2-2>0,2k 2-2>0.解得k 的取值范围是-2<k <- 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=2k2-k2,x 1·x 2=2k 2-2.②假设存在实数k ,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0). 则由FA ⊥FB 得: (x 1-c )(x 2-c )+y 1y 2=0.即(x 1-c )(x 2-c )+(kx 1+1)(kx 2+1)=0. 整理得(k 2+1)x 1x 2+(k -c )(x 1+x 2)+c2+1=0.③把②式及c =62代入③式化简得5k 2+26k -6=0. 解得k =-6+65或k =6-65∉(-2,-2)(舍去),可知存在k =-6+65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点. 课时规范训练 A 组1.B -y 29=1或y 253-x 25=1 8.(1)解 ∵e =2,∴可设双曲线方程为x 2-y 2=λ.∵过点(4,-10),∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线方程为x 2-y 2=6. (2)证明 方法一 由(1)可知, 双曲线中a =b =6,∴c =23,∴F 1(-23,0),F 2(23,0), ∴kMF 1=m 3+23,kMF 2=m3-23,kMF 1·kMF 2=m 29-12=-m 23. ∵点(3,m )在双曲线上,∴9-m 2=6,m 2=3, 故kMF 1·kMF 2=-1,∴MF 1⊥MF 2, ∴MF 1→·MF 2→=0.方法二 ∵MF 1→=(-3-23,-m ),MF 2→=(23-3,-m ),∴MF 1→·MF 2→=(3+23)×(3-23)+m 2=-3+m 2. ∵M 点在双曲线上,∴9-m 2=6, 即m 2-3=0,∴MF 1→·MF 2→=0. (3)解 △F 1MF 2的底|F 1F 2|=43, 由(2)知m =± 3.∴△F 1MF 2的高h =|m |=3, ∴S △F 1MF 2=12×43×3=6.B 组1.A7.解 (1)由题意知a =23,一条渐近线为y =b ax ,即bx -ay =0,∴|bc |b 2+a 2=3,∴b 2=3,∴双曲线的方程为x 212-y 23=1. (2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),D (x 0,y 0), 则x 1+x 2=tx 0,y 1+y 2=ty 0,将直线方程代入双曲线方程得x 2-163x +84=0,则 x 1+x 2=163,y 1+y 2=12,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0=433,x 212-y 203=1,∴⎩⎨⎧x 0=43,y 0=3,∴t =4,点D 的坐标为(43,3).8.解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2-y 2b2=1,则a 2=4-1=3,c 2=4,由a 2+b 2=c 2,得b 2=1, 故C 2的方程为x 23-y 2=1.(2)将y =kx +2代入x 23-y 2=1,得(1-3k 2)x 2-62kx -9=0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点,得⎩⎨⎧1-3k 2≠0.Δ=(-62k )2+36(1-3k 2) =36(1-k 2)>0.∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=62k 1-3k 2,x 1x 2=-91-3k2.∴x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=(k 2+1)x 1x 2+2k (x 1+x 2)+2=3k 2+73k 2-1.又∵OA →·OB →>2,得x 1x 2+y 1y 2>2,∴3k 2+73k 2-1>2,即-3k 2+93k 2-1>0, 解得13<k 2<3,②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33,1.。

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